资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式 （请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 §7.3二元函数的极值
教学目的 （1）理解二元函数极值的概念； （2）学会求二元函数的极值； （2）会求解一些较简单的最大最小值的应用问题。
教学重点 二元函数极值的概念及其计算。
教学难点 二元函数最大最小值的应用问题。
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
引入 观察二元函数的图像，点是开口向上的椭圆抛物面的顶点（图7－9）．函数的定义域为面内的平面点集．在面内，点对应的函数值为，点及其附近异于的点，其函数值都大于．所以，点的函数值比其周围近旁点的函数值都小，是函数的极小值． (
图
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) (
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) 新授 一、极值及其判别法 1、二元函数极值的定义 定义7.7 设二元函数在点及其附近有定义，如果在附近异于的点处，都有 （或）成立， 则称是函数在点有极大（小）值，而 是极大（小）值点。 函数的极大值和极小值统称为极值．取得极值的点称为极值点． 例如，函数在点处有极大值，因为在点附近任意的，都有 从几何上看是显然的，函数的图形是上半球面，而点是球面的最高点（图7－10）． 可以证明，若函数在点可微，且在点处有极值，则在该点的偏导数必然为零．即 ， ． 与一元函数类似，使，同时成立的点称为函数的驻点． 从上面可知，可微函数的极值点一定是驻点．反之，函数的驻点不一定是极值点． 如何判定一个驻点是否是极值点呢？通常依据下面的结论． 设函数在点的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又，，令 ，，． 则在点处的极值情况如下： （1）当时取得极值，且当时有极大值，当时有极小值； （2）当时没有极值； （3）当时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论． 由此得到求函数的极值的一般步骤为： （1） 解方程组；求得一切实数解，即求得一切驻点； （2） 对于每个驻点，求出二阶偏导数的值、和； （3） 求出，按极值存在的充分条件判定是否为极值，是极大值还是极小值． 例1 求函数的极值． 解 ，． 解方程组 求得驻点为和． 因为 ，，． 列表判定如下 结论0－30不是极值点6－36极小值点
即函数在点取得极小值，且极小值为． 例2 求函数的极值． 解 ， 解方程组 得驻点为和． 因为 ，，． 列表判定如下 结论不是极值点极小值点
即函数在点处取得极小值，且极小值为 ． 练习 1. 求下列函数的极值． （1）； （2）； 实际问题中的二元函数极值问题比较复杂，如果根据问题的性质特点，知道其最大值（或最小值）一定在定义域的内部取得，并且函数在定义域内只有一个驻点，那么该驻点的函数值就是函数在上的最大值（或最小值）． 例3 本章开始的问题：要做一个容积为32立方米的长方体的无盖水箱，如何设计，才能用材料最省？ 解 设底面长为米，宽为米，则高为米，于是所用材料的面积为 ， 则 ， 解方程组 得唯一驻点． 由于驻点唯一，且由问题的实际意义可知最小值一定存在，故这唯一的驻点就是最小值点．所以当长、宽都为米，高为米时，用料最省． 练习 建造一个长方形水池，其底和壁的总面积为，问水池的尺寸如何设计时，其容积最大？ 小结 二元函数极值的概念及其计算，求解较简单的二元函数最大最小值的应用问题。 作业 P137.10。11.12 观察引入新课，增加学生学习兴趣 二元函数极值是在一元函数极值的基础上建立的概念 理解二元函数极值的概念 通过例子掌握概念 巩固练习，加深理解 总结课堂内容，加深所学知识

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