资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式 （请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 §8.3 逆矩阵
教学目的 懂得逆矩阵概念；了解逆矩阵的性质；会判定逆矩阵的存在性；掌握初等变换求逆矩阵的方法．
教学重点 逆矩阵的判定和求逆矩阵
教学难点 求逆矩阵
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 演示教学法、小组学习法.
教学过程 设计意图
一、实例引入 破译密文与构造密钥是当今密码学的热点，如何用矩阵理论来 解析密码学中的“加密”和“解密”？呢？ 1.新授 一、逆矩阵的概念 n元线性方程组 可用矩阵表示为AX=B,(8-10) 其中 ，叫做方程组的系数矩阵 ,叫做未知矩阵，叫做常数项矩阵。 式（8—10）叫做矩阵方程，显然解线性方程组的问题就变成求矩阵方程（8—10）中未知矩阵X的问题。 定义1设是n阶方阵，若存在n阶方阵，使得AB=BA=I，则称矩阵A为可逆矩阵（或非奇异方方阵），B称为A的逆矩阵（简称逆阵）。记作。 设n阶方阵A、B均可逆，容易验证逆矩阵满足下列性质: 设和为同阶可逆方阵，数．则 （1）； （2）； （3）； （4）． （5） 二、矩阵可逆的判别与逆矩阵的求法 定理1 设A为n阶方阵，则A可逆的充分必要条件是≠0,且有 （8-11） 其中，称，叫做的伴随矩阵，为行列式 中元素的代数余子式。 例1设，判定A是否可逆，若可逆，求 解：因为 例2设，，判断与是否互为逆矩阵？ 解：，，由定义知与互为逆矩阵． 当矩阵的阶数很大时，用定理1求逆矩阵的计算量很大，下面 介绍更简便的求逆矩阵的方法。 例3、用逆矩阵法解线性方程组 解：将线性方程组写成矩阵方程AX=B，其中 所以 在方程AX=B的两边同时左乘，得 所以原方程组的解为 例4、求解矩阵方程 X=． 解：设,，则原方程可写为 所以， 由于可逆，则由得， 从而． 矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种就是基于利用 可逆矩阵的方法，先在26个英文字母与数字间建立一一对应关系， 例如可以是： 若要发出信息 “I LOVE YOU” ;使用上述代码，则此信息码为：“9,12,15,22,5,25,15,21”,此种编码 很容易被别人破译．我们可以用矩阵乘法对明文“I LOVE YOU”进行加密，进行加密后传送.然后合法 用户进行解密，具体做法如下: （1）选择一个可逆矩阵作为加密矩阵，如选择： 记明文的编码为 (空格对应于0) (2) 即密文编码为”24,3,-3,37,-17,-10,21,-21,0 ”. (3)合法用户解密:只用左乘上述矩阵便可得到“明码”. 四、课堂练习 1．利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆，若可逆， 求其逆. (1)； (2) ; (3)； (4) ． 2．已知矩阵方程X=，求矩阵X． 五、课堂小结 1.逆矩阵概念 2.可逆矩阵的性质 3.矩阵可逆的判别 4.用初等变换法求矩阵的逆 六、布置作业:P158、10、11 用引例引入新课，增加学生学习兴趣 线性方程组用矩阵表示 罗列逆矩阵性质，忽略证明 伴随矩阵法为逆矩阵的判别提供了很不错的方法，但计算较繁 要求知晓计算低阶的伴随矩阵，高阶的另有方法 介绍初等行变换方法 用初等行变换求矩阵的逆时强调最后结果要检验，把结果与已知矩阵相乘看是否为单位阵 逆矩阵在求解线性方程组中的应用 矩阵在密码学中的简单应用，这部分知识的引入，一方面让学生感知数学的应用性，另一方面激发学生对数学的兴趣，引导学生思考：再找出一个3阶矩阵作为加密矩阵，并求出密文编码 总结课堂内容，加深所学知识

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