资源简介

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第2讲 复杂数阵图
四年级 春季
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知识点
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复杂数阵图（四下）
1、学会观察一个数阵图，找出其中哪些数是可以直接确定的，哪些数之间是向关联的，哪些位置是最特殊的，要填进去的数当中，有没有哪些数对位置有特殊要求．
2、重数分析与整体分析的思想．即想清楚每个数与几个幻和相关联，这些幻和与所有数之和又有什么联系．通过整体分析与重数分析，往往能求出题中公共的“和数”并确定一些特殊位置上的数之间的关联．
3、这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：
第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）．
第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上的和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍．
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和．第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相互关系，找出问题关键．
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方法精讲
)
一、 已知数差 差越大越好填，从大的数字开始填 二、 已知公共和 几个全和＋几个中心数=几个公共和，求出中心数是多少 三、 未知公共和 数清每个圈的重数是多少 根据几个全和＋几个中心数=几个公共和，找到所有符合要求的中心数和公共和
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课堂例题
)
从特殊数与特殊位置入手
1、如下图所示，每条直线上都恰好有3个圆圈，填入适当的数，使每条直线上位置居中的圆圈中所填的数，恰好等于另外两个数的和．那么，“☆”等于__________．
【答案】
8
【解析】
对含1的两条直线的分析可知，右边竖线上的上面两个数时相等的，所以右下角的数是0．进而可得中间为9，所以☆=8．
2、在图中的7个圆圈内各填一个数，要求对于每条直线上的3个数，居中的数是另外两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．
【答案】
(
13
17
15
13
17
19
16
15
17
15
)
【解析】
由中间的数是旁边两个数的平均数，易得最下面一条直线中间的数应该是
．如图，把图中圆圈的数标上字母，由题意知，C加15的和等于2A，B加
17的和也等于2A，因此，可以得到C比B大2．由于B是13和C的平均数，
所以B与13的差应该等于C与B的差，为2．则，，
，最后一个数是．
(
13
17
15
13
17
A
B
C
15
)．
3、请将1～10填入图中的10个圆圈中（其中两个数已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．
【答案】
【解析】
9是突破口，和9相连的上方两个数只能是10和1．那么10和1的位置是不确定的．10如果填在右面的圆圈内，根据数不能重复出现，8经过试验可以知道只能出现在第一行．8在右边的情况如下面右图．接下来只要在余下的4个圆圈中填入3、4、5、6即可．
4、图中一共有10个方格，现在把10个连续的自然数填到里面（9是这10个自然数中第三大的），每个方格填一个．如果要求图中的3个的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出一种填法．
【答案】
答案不唯一，中间两数和是7，公共和是24．
【解析】
10个数是2、3、……、10、11，．这个相等的和是2×2正方形中4个数之和，，则A和B的和可以是4、7、……要使得和最小，这个和只能是7，所以A、B可以填2、5；3、4．而这个相等的和是24．经过尝试后其他格均可以填出，答案是其中两种填法．
5、下图中有三个圆环，将1～8填入图中的8个圆圈内，使得每个圆环上4个顶点的数字之和都相等．那么这个和最大可能是多少？请给出一种填法．
【答案】
答案不唯一，必须满足27，公共和是21．
【解析】
重数有三种，A、B格的重数是2，C格的重数是3，其他格都是1；所以A、B、C是特殊格．．所有和是36，所以可能是9、12、15、…要这个和最大，所以只能是27，此时公共和是21．A、B、C可以是4、7、8．答案不唯一．
6、下图中一共有13个圆圈，现在把1~13这13个数填到里面，每个圆圈填一个．如果要求图中的4个圆环上的4个数加起来的和都相等，那么这个和最大可能是多少？请给出一种填法．
【答案】
答案不唯一．
【解析】
13个数是，．这个相等的和是4个圆环上的4个数之和，4和，则A、B、C的和可以是1、5、9……要使得和最大，这三个数的和最大只能是33，则A、B、C分别填8、12、13或9、11、13．而这个相等的和是31．经过尝试后其他格均可以填出，答案不唯一．
7、将1至12这12个自然数填入图中的“灯笼”中，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和均相等．这个和数最大是多少？请给出一种填法．
【答案】
28；见解析
【解析】
设4个椭圆和2条直线上各数之和为S．把2条直线上的各数相加，有，因为这6个数的和最小21，所以，所以S最大28．
按下图进行填数，恰好可使这6个和都是28．
(
5
1
8
11
9
7
10
12
6
2
3
4
)
8、如图，4个小三角形的顶点处有6个圆圈．在这些圆圈中分别填上6个质数（可以重复），使得它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等．那么这6个质数的乘积是________．
【答案】
900
【解析】
用虚线框起来的两个三角形有两个顶点是共用的，而两个三角形的和又相等，所以剩下的那个点一定是相等的．这个数阵图的结构如下，分别表示三个质数．于是，，
又因为是质数，要找三个质数凑成10，满足条件的解就只有2，3，5了．
这6个数的积就应该是．
公共和与重数分析
9、请在下图中的六块区域内填入1，2，3，4，5，6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．
【答案】
答案不唯一，幻和是14．
【解析】
两种重数，其中正中间三个区域的重数是3，外围的重数是2，所以中间三个区域可以看作是特殊数．，其中所有和是21，其中特殊格三个数之和又是一个幻和，所以3×幻和=2×所有和，所以幻和是14．其中A、B、C可以是3、5、6，其它格可以根据幻和填出，答案不唯一．
10、如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等（图中粗线框起来部分即为靠近某一边的5个数）．这5个数的和最大可能是多少？请给出一种填法．
【答案】
答案不唯一．
【解析】
把三角形三条边的每边5个数加在一起，右图的A、B、C位置的数只算1次，其余每个数都算2次．所有数的和是，所以，当A、B、C分别是1、2、3时幻和最大为28．
11、将1~9填入图中的九个圆圈内，使四条直线上三个圆圈内所填数之和都是15．
【答案】
答案如下图
【解析】
有两种重数，中间的圆圈是特殊格，重数是4，，公共和是15，所有和是45，所以中间数就是5，那么同一条直线上的另外两个数的和就是10，即1、9；2、8；3、7；4、6．
12、把1~7这七个数填入下图中的方框中，使得每条直线上的三个数之和都相等．如果中心方框内填的数相等，那么就视为同一种填法．请填出所有的可能性．
【答案】
【解析】
，，有三种情况：中=1，公共和=10；（2）中=4，公共和=12；（3）中=7，公共和=14．
13、将数字1，2，3，4，5，6，7填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等．
【答案】
【解析】
，，所以中间数只能为4，公共和=12．直线上除最里面的4，剩下两个数之和为8，分别是、和，然后尝试调整使得圆周的和也都等于12．
(
随堂练习
)
1、请将1~8填入下图的8个方格中，使得a、b、c、d四个方格中的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中所填数的差．其中b填7．那么d填几？
【答案】
2
【解析】
b为7，只可能：，而8最大，所以只能在边上，最中间填1．然后注意尝试即可得答案．
2、把1~8这八个数填入下边的圆圈内，使得每条直线上的数之和都等于14．
【答案】
【解析】
有两种重数，中间的圆圈是特殊格，重数是3，，公共和是14，所有和是36，所以中间数就是3，那么同一条直线上的另外两个数的和就是11，即1、2、8；4、7；5、6．
3、把1~9这九个数填入图中的圆圈内，使得三条直线上的所有数之和都是相等．请至少填出两种情况．
【答案】
【解析】
，，有三种情况：（1）尖=3，公共和=17；（2）中=6，公共和=19；（3）中=9，公共和=21．
4、如图所示，将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9填入图中的小圆圈内，使得圆周上的4个数之和与每条直线上的3个数之和都相等，那么这个和是多少？
【答案】
【解析】
，，所以中间数可以为3、6、9．（1）如果中=3，则公共和=16，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为13，题目数据无法满足，排除；（2）如果中=6，则公共和=17，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为11，题目数据无法满足，排除；（3）如果中=9，则公共和=18，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为9，则分别为、、和．然后尝试调整使得圆周的和也都等于18即可．
(
课后作业
)
1、将数字1，2，3，4，5，6，7，8填入中上图中的小圆圈内，使得每条直线上的所有数之和都等于14，那么中心数是________．
【答案】
3
【解析】
特殊格只有一个，即正中心的圆圈，这个正中心的数我们称为中心数．
，已知公共和为14，可求出中心数为3．
2、将数字1，3，5，7，9，11，13填入右上图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等，那么公共和是________．
【答案】
答案不唯一．
【解析】
13个数是1、2、3、…、13，．这个相等的和是4个圆环上的4个数之和，，则A、B、C的和可以是1、5、9…要使得和最大，这三个数的和最大只能是33，则A、B、C分别填8、12、13或9、11、13．而这个相等的和是31．经过尝试后其他格均可以填出，答案不唯一．
3、把0至8这9个数填入右上图中的9个圆圈中，使得每条直线上的三个数之和都相等，那么公共和是_______．
【答案】
21
【解析】
重数有两种，有的是2，有的是3，其中特殊格有一个，即正中间的格，其重数是3，这个正中心的数我们称为中心数．，其中全和是，所以中心数只能是7．这个相等的和只能是21．
4、图中一共有10个方格，现在把1~10这10个自然数填到里面，每个方格填一个．如果要求图中的3个的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最小可能是________．
【答案】
20
【解析】
10个数是1、2、3、……、10，．这个相等的和是2×2正方形中4个数之和，，则A和B的和可以是2、5、8……要使得和最小，则A和B分别填1、4或2、3．而这个相等的和是20．
5、下图中一共有10个方格，现在把1~10这10个自然数填到里面，每个方格填一个．如果要求图中的3个的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最大可能是________．
【答案】
24
【解析】
10个数是1、2、3、……、10，．这个相等的和是2×2正方形中4个数之和，，则A和B的和可以是2、5、8……要使得和最大，则A和B分别填7、10或8、9．而这个相等的和是24．
6、图中一共有13个方格，现在把1~13这13个数填到里面，每个方格填一个．如果要求图中的4个的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最小可能是________．
【答案】
25
【解析】
13个数是1、2、3、……、13，．这个相等的和是2×2正方形中4个数之和，，则A、B、C的和可以是1、5、9……要使得和最小，则A、B、C分别填1、2、6；1、3、5或者2、3、4．而这个相等的和是25．
7、图中一共有13个方格，现在把1~13这13个数填到里面，每个方格填一个．如果要求图中的4个的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最大可能是________．
【答案】
31
【解析】
13个数是1、2、3、……、13，．这个相等的和是正方形中4个数之和，，则A、B、C的和可以是1、5、9……要使得和最大，则A、B、C分别填8、12、13；9、11、13；10、11、12．而这个相等的和是31．
8、请将2~9填入左下图的8个方格中，使得a、b、c、d四个方格中的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中所填数的差．其中b填7．
【答案】
【解析】
b填7所以b是一个突破口，只能是．a可能是2或者9．当a是9的时候，在它上方有公共边的两个格无法填，所以a只能是2．剩下几个数是3、4、5、6、8．根据尝试c、d只能是3、4或者4、3．当c、d是4、3的时候不成立．所以c、d是3、4．其他格可以依次确认，其中6、8的位置是可以对调的．
9、如图所示，请将1~9填入下面这个的方格表内，使得每个的田字格中四个数的和都等于23．
【答案】
中间填6、7、8或9，填法不唯一
【解析】
每个2×2正方形中四个数的和都是23，每个格的重数如右图．中间数的3倍和边上多算的四个格的数之和是．边上四个数之和最小是10，最大是30，所以中间数的3倍只能是17~37，所以中间数只能是6、7、8、9．其他格经尝试后可填出，方法不唯一．
10、（思考题）在如图所示数阵图的每个方格里填上一个数，使得每行、每列任意连续三个方格中所填数的和都是18．已知※格中填的数是7，那么全部13个方格中填的数之和是多少？
【答案】
76
【解析】
如果中间行一个格是A，第二个格是B，根据连续三个格的和都相等，可以知道中间行第四个格是A，第五个格是B．其他格可以根据这种方法依次填出．其中，这十三个数中有5个A，5个B，3个7，所以这十三个数的和是．(
第2讲 复杂数阵图
四年级 春季
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知识点
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复杂数阵图（四下）
1、学会观察一个数阵图，找出其中哪些数是可以直接确定的，哪些数之间是向关联的，哪些位置是最特殊的，要填进去的数当中，有没有哪些数对位置有特殊要求．
2、重数分析与整体分析的思想．即想清楚每个数与几个幻和相关联，这些幻和与所有数之和又有什么联系．通过整体分析与重数分析，往往能求出题中公共的“和数”并确定一些特殊位置上的数之间的关联．
3、这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：
第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）．
第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上的和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍．
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和．第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相互关系，找出问题关键．
(
方法精讲
)
一、 已知数差 差越大越好填，从大的数字开始填 二、 已知公共和 几个全和＋几个中心数=几个公共和，求出中心数是多少 三、 未知公共和 数清每个圈的重数是多少 根据几个全和＋几个中心数=几个公共和，找到所有符合要求的中心数和公共和
(
课堂例题
)
从特殊数与特殊位置入手
1、如下图所示，每条直线上都恰好有3个圆圈，填入适当的数，使每条直线上位置居中的圆圈中所填的数，恰好等于另外两个数的和．那么，“☆”等于__________．
2、在图中的7个圆圈内各填一个数，要求对于每条直线上的3个数，居中的数是另外两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．
3、请将1～10填入图中的10个圆圈中（其中两个数已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．
4、图中一共有10个方格，现在把10个连续的自然数填到里面（9是这10个自然数中第三大的），每个方格填一个．如果要求图中的3个的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出一种填法．
5、下图中有三个圆环，将1～8填入图中的8个圆圈内，使得每个圆环上4个顶点的数字之和都相等．那么这个和最大可能是多少？请给出一种填法．
6、下图中一共有13个圆圈，现在把1~13这13个数填到里面，每个圆圈填一个．如果要求图中的4个圆环上的4个数加起来的和都相等，那么这个和最大可能是多少？请给出一种填法．
7、将1至12这12个自然数填入图中的“灯笼”中，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和均相等．这个和数最大是多少？请给出一种填法．
8、如图，4个小三角形的顶点处有6个圆圈．在这些圆圈中分别填上6个质数（可以重复），使得它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等．那么这6个质数的乘积是________．
公共和与重数分析
9、请在下图中的六块区域内填入1，2，3，4，5，6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．
10、如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等（图中粗线框起来部分即为靠近某一边的5个数）．这5个数的和最大可能是多少？请给出一种填法．
11、将1~9填入图中的九个圆圈内，使四条直线上三个圆圈内所填数之和都是15．
12、把1~7这七个数填入下图中的方框中，使得每条直线上的三个数之和都相等．如果中心方框内填的数相等，那么就视为同一种填法．请填出所有的可能性．
13、将数字1，2，3，4，5，6，7填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等．
(
随堂练习
)
1、请将1~8填入下图的8个方格中，使得a、b、c、d四个方格中的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中所填数的差．其中b填7．那么d填几？
2、把1~8这八个数填入下边的圆圈内，使得每条直线上的数之和都等于14．
3、把1~9这九个数填入图中的圆圈内，使得三条直线上的所有数之和都是相等．请至少填出两种情况．
4、如图所示，将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9填入图中的小圆圈内，使得圆周上的4个数之和与每条直线上的3个数之和都相等，那么这个和是多少？
(
课后作业
)
1、将数字1，2，3，4，5，6，7，8填入中上图中的小圆圈内，使得每条直线上的所有数之和都等于14，那么中心数是________．
2、将数字1，3，5，7，9，11，13填入右上图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等，那么公共和是________．
3、把0至8这9个数填入右上图中的9个圆圈中，使得每条直线上的三个数之和都相等，那么公共和是_______．
4、图中一共有10个方格，现在把1~10这10个自然数填到里面，每个方格填一个．如果要求图中的3个的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最小可能是________．
5、下图中一共有10个方格，现在把1~10这10个自然数填到里面，每个方格填一个．如果要求图中的3个的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最大可能是________．
6、图中一共有13个方格，现在把1~13这13个数填到里面，每个方格填一个．如果要求图中的4个的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最小可能是________．
7、图中一共有13个方格，现在把1~13这13个数填到里面，每个方格填一个．如果要求图中的4个的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最大可能是________．
8、请将2~9填入左下图的8个方格中，使得a、b、c、d四个方格中的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中所填数的差．其中b填7．
9、如图所示，请将1~9填入下面这个的方格表内，使得每个的田字格中四个数的和都等于23．
10、（思考题）在如图所示数阵图的每个方格里填上一个数，使得每行、每列任意连续三个方格中所填数的和都是18．已知※格中填的数是7，那么全部13个方格中填的数之和是多少？

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