资源简介

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第4讲 排列组合应用
四年级 春季
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知识点
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排列组合应用（四下）
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方法精讲
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一、 熟练区分排列和组合． 二、 熟练掌握排列和组合之间的联系． 三、 掌握排列中的重复问题．
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课堂例题
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比赛中的排列组合
1、9支球队进行足球比赛：
（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场．每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？
（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场．那么一共要举行多少场比赛？
几何中的排列组合
2、如图所示，从端点O出发的射线共有7条，图中一共有_________个锐角？
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P
1
P
7
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2
P
5
P
6
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3
P
4
O
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3、图中两条直线上各有4个点，请问：以这8个点为顶点可以画出多少个三角形？
4、如右图，在一个扇形的两条半径以及弧线上共有7个点，以这些点为顶点可画出________个三角形．
一组人分成两队
5、（1）6个人，平均分为甲、乙两组，每组3人，共有多少种分法？
（2）6个人，平均分为两组，每组3人，共有多少种分法？
排列组合的区别与联系
6、在新学期的班会上，大家要从11名候选人中选出班干部．
（1）选出三人组成班委会，一共有多少种选法？
（2）从剩下的候选人中，再选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法？
7、周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生．
（1）如果随意选择，一共有多少种选择方法？
（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？
8、高思城堡从20个精灵中挑选出5个人，让其中3个人担任守护精灵，另外2个人担任先锋精灵．那么一共有多少种不同的结果？
9、围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：
（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？
（2）如果从中选出3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？
10、魔法学校有10名魔法师竞选精灵魔法师，竞选过程：10进5、5进3、3进1．那么一共有多少种不同的选举过程？
11、王老师带着小高、卡莉娅、萱萱一行四人去参加一次聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12个．
（1）小高是第一个取球的人，他一共选出了4个球，准备回头分给大家，那么一共有多少种选法？
（2）小高回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法？
（3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？
圆周排列
12、父母和四个孩子围圆桌而坐，若父、母要相邻而坐，有_____________种不同的坐法．
13、从6个学生中选出4人，围圆桌而坐，有_____________种不同的坐法．
14、从7个人中选出5个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法
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随堂练习
)
1、棋王争霸赛在8名选手间展开：
（1）如果实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？
（2）如果实行双循环赛制，共要进行多少场比赛？
2、一次厨艺大赛中，主办方给定的菜谱中有7道菜，请问：
（1）如果要求从这7道菜中选做2道菜，共有多少种不同的选法？
（2）如果要求从这7道菜中选做1道作为主菜，另外1道作为副菜，共有多少种不同的选法？
3、先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？
4、老师要从9名男生和7名女生中挑出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？
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课后作业
)
1、8名同学每两人都握手一次，一共要握手________次．
2、8名同学每个人都给其他人打一次电话，共需要打________次电话．
3、午饭时，小高要从7个菜中选出1个作为主菜、另1个作为副菜，共有________种不同的选法．
4、晚饭时，墨莫要从7个菜中选2个来吃，共有________种不同的选法．
5、小高从5件不同的礼物中选出2件送给爸爸、妈妈，共有________种不同的送法．
6、从8名男生和5名女生中选2名男生、1名女生参加植树活动，共有________种不同的选择方法．
7、从8个人中选出4人围坐在一张圆桌旁，共有________种不同的坐法．
8、如果让你从10本不同的书中挑3本，共有多少种不同的挑法？挑出书之后，要把这3本书分给爸爸、妈妈和你各一本，共有多少种不同的分法？最后每人手中拿到的书共有多少种可能？
9、小高从5件不同的礼物中选出2件作为节日礼物，请问一共有多少种不同的选法？
10、将五把互不相同的钥匙穿在一个钥匙圈上，有多少种方法？如果这五把钥匙中有两把完全相同呢？（钥匙圈可以翻转）(
第4讲 排列组合应用
四年级 春季
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知识点
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排列组合应用（四下）
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方法精讲
)
一、 熟练区分排列和组合． 二、 熟练掌握排列和组合之间的联系． 三、 掌握排列中的重复问题．
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课堂例题
)
比赛中的排列组合
1、9支球队进行足球比赛：
（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场．每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？
（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场．那么一共要举行多少场比赛？
【答案】
6场，108分；72场
【解析】
区分单循环制和双循环制，（1）单循环是9支球队中选取2支队伍即可，2支队伍不需要排序，是组合问题，即场比赛．如果是分出胜负的则一场比赛会得3分，如果不分胜负则一场比赛会得2分，所以如果要让得分最多，那么36场都应该是分出胜负的，即分．（2）双循环制是9支球队中选取2支队伍后要排序，分主客场的，是排列问题，即场比赛．也可以根据第一问场比赛得到，因为单循环制的时候两支队伍比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系．
几何中的排列组合
2、如图所示，从端点O出发的射线共有7条，图中一共有_________个锐角？
(
P
1
P
7
P
2
P
5
P
6
P
3
P
4
O
)
【答案】
21
【解析】
组合共有．
3、图中两条直线上各有4个点，请问：以这8个点为顶点可以画出多少个三角形？
【答案】
62个
【解析】
个三角形．
4、如右图，在一个扇形的两条半径以及弧线上共有7个点，以这些点为顶点可画出________个三角形．
【答案】
34
【解析】
任意选取三个点，共有个三角形．其中选取底边上的三个点，不能构成三角形．因此共有个三角形．
一组人分成两队
5、（1）6个人，平均分为甲、乙两组，每组3人，共有多少种分法？
（2）6个人，平均分为两组，每组3人，共有多少种分法？
【答案】
20，10
【解析】
（1）分组的时候，两组是有名称区别的，先给甲组选人，再给乙组选人，共种分法．（2）分组的时候，两个组完全对等，没有区别，例如先选出1，2，3一组，剩下4，5，6一组和先选出4，5，6一组，剩下1，2，3一组是重复的，所以共种分法．
排列组合的区别与联系
6、在新学期的班会上，大家要从11名候选人中选出班干部．
（1）选出三人组成班委会，一共有多少种选法？
（2）从剩下的候选人中，再选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法？
【答案】
165种；336种
【解析】
（1）从11名候选人中选取3个人即可，3个人之间是没有区别的，是组合问题，即种选法；（2）从剩下的8个人中选取3个人分别担任三科的课代表，3个人之间是有区别的，所以3个人需要排序，是排列问题，即种选法．
7、周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生．
（1）如果随意选择，一共有多少种选择方法？
（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？
【答案】
15540种；5400种
【解析】
（1）随意选择，即从所有人中随便选出来5个人即可，种选择方法；
（2）首先从10名男生中选取2名男生，再从10名女生中选取3名女生，这是一个分步的过程，所以一共有种选择方法．
8、高思城堡从20个精灵中挑选出5个人，让其中3个人担任守护精灵，另外2个人担任先锋精灵．那么一共有多少种不同的结果？
【答案】
155040种
【解析】
两种做法：第一种从20个人中选出5个人，再从5个人中选择3个人做守护精灵，另外2个人自然是先锋精灵，即种不同的结果；第二种方法从20个人中选择3个人作为守护精灵，再从剩下的17个人中选择2个人作为先锋精灵，即种不同的结果．
9、围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：
（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？
（2）如果从中选出3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？
【答案】
336；56
【解析】
（1）从8名同学中选3名同学在早上、中午、晚上做值日，那么选出的这三人改变顺序为不同种选法，为排列问题，种选法．
（2）从8名同学中选3人参加比赛，改变这三人的顺序任为一种选法，为组合问题，种选法．
10、魔法学校有10名魔法师竞选精灵魔法师，竞选过程：10进5、5进3、3进1．那么一共有多少种不同的选举过程？
【答案】
7560种
【解析】
从10名魔法师中选取5名，再从5名中选取3名，再从3名魔法师中选取1名，是一个分步的过程，即种不同的选举过程．
11、王老师带着小高、卡莉娅、萱萱一行四人去参加一次聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12个．
（1）小高是第一个取球的人，他一共选出了4个球，准备回头分给大家，那么一共有多少种选法？
（2）小高回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法？
（3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？
【答案】
495种；24种；11880种
【解析】
（1）只需要从12个不同的球中选出来4个，不需要排列，是组合问题，即
种选法；（2）把4个球分给大家，这四个球会分给不同的人，所以需要排序，是组合问题，即种分法；（3）其实这一问就是按照上面的两个步骤完成后的方法数，分步是用乘法原理，即种可能；另外一种做法就是从12个球中选出来4个，排列即排列问题，即种可能．
圆周排列
12、父母和四个孩子围圆桌而坐，若父、母要相邻而坐，有_____________种不同的坐法．
【答案】
48
【解析】
先看成是5个元素的圆周排列，再将父母排列，总的方法数是．
13、从6个学生中选出4人，围圆桌而坐，有_____________种不同的坐法．
【答案】
90
【解析】
先从6个人中挑选4个，总的方法数是，4个人再进行圆周排列总的方法数是．
14、从7个人中选出5个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法
【答案】
504种
【解析】
圆桌问题的两种做法，第一种：7个人中选出来5个人按照一定顺序去排列，这是一个排列问题，即；圆桌是可以旋转的，如果这5个人的顺序是ABCDE、BCDEA、CDEAB、DEABC、EABCD这五种排序的方法其实都是一种坐法，所以一共有种不同的坐法；第二种：先从7个人中选出5个人，有种方法，再把选出的5个人排在圆桌上，有种方法，一共有种方法．
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随堂练习
)
1、棋王争霸赛在8名选手间展开：
（1）如果实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？
（2）如果实行双循环赛制，共要进行多少场比赛？
【答案】
28场；56场．
【解析】
（1）单循环是8名选手中选取2名选手即可，2名选手不需要排序，是组合问题，即场比赛．（2）双循环制是8名选手中选取2名选手后要排序，分主客选手，是排列问题，即场比赛．也可以根据第一问场比赛得到，因为单循环制的时候两名选手中比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系．
2、一次厨艺大赛中，主办方给定的菜谱中有7道菜，请问：
（1）如果要求从这7道菜中选做2道菜，共有多少种不同的选法？
（2）如果要求从这7道菜中选做1道作为主菜，另外1道作为副菜，共有多少种不同的选法？
【答案】
21种；42种
【解析】
（1）种选法．（2）种选法．
3、先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？
【答案】
720种
【解析】
两种方法，第一种：先从10个人选出3个人不排序，即，接下来给这三个人排序，即，这是一个分步的过程，所以共有种不同的可能；第二种：从10个人中选出3个人，需要排序，即排列问题，种不同的可能．
4、老师要从9名男生和7名女生中挑出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？
【答案】
1820种；588种
【解析】
（1）随意选择，即从所有人中随便选出来4人即可，种选择方法；（2）首先从9男生中选取3男生，再从7女生中选取1女生，这是一个分步的过程，所以一共有种选择方法．
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课后作业
)
1、8名同学每两人都握手一次，一共要握手________次．
【答案】
28
【解析】
每两个人之间只需要握手一次，所以是不分顺序的，是组合问题，共握手次．
2、8名同学每个人都给其他人打一次电话，共需要打________次电话．
【答案】
56
【解析】
每两个人之间都要打两次电话，是分顺序的，是排列问题，共要打个电话．
3、午饭时，小高要从7个菜中选出1个作为主菜、另1个作为副菜，共有________种不同的选法．
【答案】
42
【解析】
小高从7个菜中选择2个菜分别做主菜和副菜，是分顺序的，是排列问题，共有种不同的选法．
4、晚饭时，墨莫要从7个菜中选2个来吃，共有________种不同的选法．
【答案】
21
【解析】
墨莫从7个菜中选择2个菜，是不分顺序的，是组合问题，共有种不同的选法．
5、小高从5件不同的礼物中选出2件送给爸爸、妈妈，共有________种不同的送法．
【答案】
20
【解析】
小高从5件礼物中选择2个礼物送给爸爸、妈妈，是分顺序的，是排列问题，共有种不同的送法．
6、从8名男生和5名女生中选2名男生、1名女生参加植树活动，共有________种不同的选择方法．
【答案】
140
【解析】
8名男生选2人，有种；5名女生选1人，有种；一共有种．
7、从8个人中选出4人围坐在一张圆桌旁，共有________种不同的坐法．
【答案】
420
【解析】
从8个人中选出4个人，有种方法．再把选出来的4个人排在圆桌上，有种方法，一共有70×6=420种方法．
8、如果让你从10本不同的书中挑3本，共有多少种不同的挑法？挑出书之后，要把这3本书分给爸爸、妈妈和你各一本，共有多少种不同的分法？最后每人手中拿到的书共有多少种可能？
【答案】
120种；6种；720种
【解析】
（1）10本挑3本，种；（2）3本分给3个人，种；（3）最后拿到的书有种可能．
9、小高从5件不同的礼物中选出2件作为节日礼物，请问一共有多少种不同的选法？
【答案】
10
【解析】
小高从5件礼物中选择2个礼物，是不分顺序的，是组合问题，共有种不同的选法．
10、将五把互不相同的钥匙穿在一个钥匙圈上，有多少种方法？如果这五把钥匙中有两把完全相同呢？（钥匙圈可以翻转）
【答案】
12种；6种
【解析】
五个不同的钥匙要排列在钥匙圈上，应该有种排法．但是钥匙是可以旋转的而还可以翻转，如果是旋转的话ABCDE、BCDEA、CDEAB、DEABC、EABCD都是一样的，如果是翻转的话ABCDE和EDCBA都是一样的，所以有10种重复，真正的排法只有120÷10=12种；如果有两把相同的钥匙，那么就需要再“÷2”，有6种方法．

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