资源简介

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第1
3
讲 容斥原理
四年级 春季
)
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知识点
)
容斥原理（四下）
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方法精讲
)
一、两个对象的容斥原理。 二、三个对象的容斥原理。 三、容斥原理中的最值问题。
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课堂例题
)
一、两个对象的容斥原理
1、（1）一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两者都喜欢吃的有多少人？
（2）暑假里，小高和墨莫一起讨论金陵十八景．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小高去过其中的十二景，那么墨莫去过其中的几景？
（3）在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看过这两部中的一部动画片？
2、（金帆四年级春季）某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人．这个班共有学生多少人？
3、渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？
二、三个对象的容斥原理
4、（龙校四升五暑期）在一个炎热的夏日，11名学生一起去冷饮店，每人都买了冷饮．其中，6人要了汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了果汁．请问：三样都要的有几人？
5、森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种．爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜．如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？
6、三位基金经理投资若干支股票．张经理买过其中66支，王经理买过其中40支，李经理买过其中23支．张经理和王经理都买过的有17支，王经理和李经理都买过的有13支，李经理和张经理都买过的有9支，三个人都买过的有6支．请问：这三位经理一共买过多少支股票？
7、课间，王老师出了三道脑筋急转弯让学生做，其中只答对第1道题的人有10人，只答对第2道题的人有6人，只答对第3道题的人有4人．至少答对两道题的学生有8人，还有5名同学一道题也没答对．（1）请问王老师的班上有多少名学生？（2）若既答对第1道又答对第2道题的同学有4人，三道题都答对的有1人，那么答对第3道题的同学有多少人？
8、四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的4倍，又是3项活动都参加人数的8倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的3倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．请问参加文艺小组的人数是多少？
三、容斥原理中的最值问题
9、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？
10、甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个
11、五年级三班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加英语竞赛的有20人．规定每人最多参加两科竞赛，请问：
（1）若参加数学竞赛的有22人，该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？
（2）若参加数学竞赛的有23人，该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？
（3）若参加数学竞赛的有5人，该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？
12、一次考试共有5道试题．做对第1，2，3，4，5题的分别占参加考试人数的81%，91%，85%，79%，74%．如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？
13、图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问：(1)这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？（2）这批图书中最多有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？
四、可转化为容斥原理的问题
14、（龙校四升五暑期）有一根长240cm的绳子，从一端开始每隔4cm做一个记号，同时每隔6厘米也做一个记号，然后在标有记号的地方将绳子剪断．请问：最后绳子被剪成了多少段？
15、（1）在1~100中，既不是2的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？
（2）在1~200中，既不是2的倍数，也不是3的倍数，同时也不是5的倍数的数有多少个？
16、（龙校四年级春季）50名同学面向老师站成一排，按老师口令，从左到右按1，2，3，···的顺序报数，报完后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是6的倍数的同学向后转，问：现在仍然面向老师的有多少名？
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随堂练习
)
1、四年级同学参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀．其中语文成绩优秀的有42人，数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的有15人，请问四年级共多少名同学？
2、某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生．已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，请问只参加一科竞赛的女生有多少人？
3、卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖．已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米和27平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7平方分米，而第一块和第三块则重叠了4平方分米．如果三块重叠的部分等于2平方分米，那么这张桌子的面积是多少？
4、高思学校有学生1000人，现有《中国少年报》、《少年文艺》和《数学报》三种报刊，其中只订阅一种报刊的有600人，只订阅两种报刊的有200人，三种报刊都订阅的有50人，请问：这个学校有多少人没有订报？
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课后作业
)
1、一个班有50个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书．借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人．语文、数学两种课外书都借的有________人．
2、某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有_______人．
3、有100名同学回答A、B两个问题．都没有回答对的有10人，答对A的有75人，答对B的有83人，两题都答对的有_______人．
4、五年级共有110人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，58人参加了数学小组，至少参加2个小组的有80人，参加了三个小组的有20人．那么五年级有________人没有参加小组．
5、现有A、B、C三道题，每个同学至少答对了一道题．没答对A题的有30人，没答对B题的有24人，没答对C题的有20人，只答对一道题的同学有30人，有3人三道题都答对了．那么有_______名同学参与答题了．
6、有一个棋友俱乐部共77人，每人都至少会下象棋、围棋和军棋中的一种．其中既会下象棋也会下围棋的人有20人，既会下象棋也会下军棋的有15人，既会下围棋也会下军棋的人有10人．只会下一种棋的人数是三种棋都会下的人数的10倍．那么只会下一种棋的有_______人．
7、一本习题集包含100道题目，甲做过其中的78道，乙做过68道，丙做过58道，那么3人都做过的题目最少有_______道．
8、1~100中，既不是2的倍数又不是3的倍数同时也不是5的倍数的数有多少个？
9、五年级共有150人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，30人只参加了数学小组，既参加语文也参加英语小组的人有35人．请问五年级有多少人没有参加小组？
10、（思考题）某班老师建议学生读A、B、C三本课外书，每人至少读一本，结果有25人没有读A，有17人没有读B，有21人没有读C，恰读了1本书的人数是恰读过2本书人数的3倍，有10人三本书全读过，那么该班有多少人？(
第1
3
讲 容斥原理
四年级 春季
)
(
知识点
)
容斥原理（四下）
(
方法精讲
)
一、两个对象的容斥原理。 二、三个对象的容斥原理。 三、容斥原理中的最值问题。
(
课堂例题
)
两个对象的容斥原理
1、（1）一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两者都喜欢吃的有多少人？
（2）暑假里，小高和墨莫一起讨论金陵十八景．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小高去过其中的十二景，那么墨莫去过其中的几景？
（3）在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看过这两部中的一部动画片？
【答案】
6；11；17
【解析】
画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域．
（1）人．
（2）小高去过其中的12景，那么只有墨莫一个去过的景有景，墨莫共去过景．
（3）这里要把重复的区域去掉两次才是只看过一部的，共有人．
2、（金帆四年级春季）某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人．这个班共有学生多少人？
【答案】
45
【解析】
这个班共有学生人．
3、渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？
【答案】
55
【解析】
画出文氏图，游泳和长跑这两项比赛会有重叠，要区别游泳的男生和游泳女生，且这两部分不会重叠，这时我们用一条直线把一个区域分成两部分，这两部分没有重叠．如果不考虑性别，参加长跑比赛的人有人，参加游泳比赛的人有人．总人数是305人，那么游泳和长跑都参加的人有人，其中男生有110人，那么两样都参加的女生有人．那么只参加游泳的女生有人．此题的方法不唯一，也可以看图算出男生有人，那么女生有人．只参加游泳的人有人．
三个对象的容斥原理
4、（龙校四升五暑期）在一个炎热的夏日，11名学生一起去冷饮店，每人都买了冷饮．其中，6人要了汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了果汁．请问：三样都要的有几人？
【答案】
1
【解析】
设三样都要的有x人．根据容斥原理，，解得．
5、森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种．爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜．如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？
【答案】
74
【解析】
爱吃萝卜的小白兔中不爱吃白菜的部分是①③，共12只；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草，所以②⑤是23只；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜，所以⑥⑦是34只；三种都喜欢的小白兔有5只，所以④是5只；以上4部分正好构成小白兔的全部，所以只需将它们相加即可，共有只．
．
6、三位基金经理投资若干支股票．张经理买过其中66支，王经理买过其中40支，李经理买过其中23支．张经理和王经理都买过的有17支，王经理和李经理都买过的有13支，李经理和张经理都买过的有9支，三个人都买过的有6支．请问：这三位经理一共买过多少支股票？
【答案】
96
【解析】
首先画出文氏图，找到相应的数字所表示的区域．计算股票之和把张、王、李股票数相加，其中129支股票中G、E、F算了两次，H算了三次．去掉这些重复计算的区域（G、E、F去掉一次，H去掉两次），，发现G、E、F去掉了一次，但H去掉了三次，最后还要把H加上一次．90+6=96支．
7、课间，王老师出了三道脑筋急转弯让学生做，其中只答对第1道题的人有10人，只答对第2道题的人有6人，只答对第3道题的人有4人．至少答对两道题的学生有8人，还有5名同学一道题也没答对．（1）请问王老师的班上有多少名学生？（2）若既答对第1道又答对第2道题的同学有4人，三道题都答对的有1人，那么答对第3道题的同学有多少人？
【答案】
33人；9人
【解析】
（1）难点是至少答对二道题的学生指的是哪个区域．至少答对二道题的区域是指这些重叠的区域A、B、C、D，那么王老师班上有人．
（2）通过画文氏图，D=1，A=3，，答对第3道题的同学有人．
8、四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的4倍，又是3项活动都参加人数的8倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的3倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．请问参加文艺小组的人数是多少？
【答案】
24人
【解析】
数学有24人参加，语文有20人参加，既参加数学又参加语文的有10人，所以参加语文和数学至少一门的人有人，那么只参加文艺的人有人，这部分人有，人，文艺小组有人．
容斥原理中的最值问题
9、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？
【答案】
6人
【解析】
要想三项都会的人尽量少，那么要让会游泳、骑自行车、乒乓球的人尽量分散开来．画图如下，最后可得至少有4名学生三项都会．
(
27
21
48
12
36
4
同理，会乒乓球的人可再接着骑自行车的人后面画
③
) (
48
27
21
12
②
骑自行车的人数尽量不和游泳的人重复，故接着游泳的后面画

27
48
用直线长度表示会游泳的人数

)
10、甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个
【答案】
12
【解析】
如图最少12个．
11、五年级三班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加英语竞赛的有20人．规定每人最多参加两科竞赛，请问：
（1）若参加数学竞赛的有22人，该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？
（2）若参加数学竞赛的有23人，该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？
（3）若参加数学竞赛的有5人，该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？
【答案】
（1）15（2）14（3）23
【解析】
（1）未参加的人数最多则参加三科比赛的人数就最少，这所有参加比赛的人都参加了2科，所以最少有人参加比赛，所以未参加比赛的人数最多是15人．（2）同第一问，但三个数的和不是偶数，，最少36人参加比赛，所以未参加比赛的最多有14人．（3）20+5=25小于28，最少的情况下应该是参加数学的参加语文，参加英语的也参加语文，这样参加比赛的最少是28人，未参加比赛的应该是22人．
12、一次考试共有5道试题．做对第1，2，3，4，5题的分别占参加考试人数的81%，91%，85%，79%，74%．如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？
【答案】
70%
【解析】
设总人数为100人，5个题做对的人数分别是81、91、85、79、74，则做对的总题数是（题），错题数为（题），（题），错三题的人为30人，则及格率为：．
13、图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问：(1)这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？（2）这批图书中最多有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？
【答案】
（1）33（2）58
【解析】
，三个人都读的数最多不能超过25本所以没有被借阅的最少有33．对于第2问，要求三人共同读的书最少，这里边甲乙丙共同读的书可以为0，所以最多有58本书三个人都没有度过。
可转化为容斥原理的问题
14、（龙校四升五暑期）有一根长240cm的绳子，从一端开始每隔4cm做一个记号，同时每隔6厘米也做一个记号，然后在标有记号的地方将绳子剪断．请问：最后绳子被剪成了多少段？
【答案】
80
【解析】
在1-240中，是4的倍数或6的倍数的有个．由于240处无法剪，故剪了次，绳子被分成了段．
15、（1）在1~100中，既不是2的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？
（2）在1~200中，既不是2的倍数，也不是3的倍数，同时也不是5的倍数的数有多少个？
【答案】
（1）40（2）54
【解析】
（1）2的倍数有50个，5的倍数有20个，2和5的倍数也就是10的倍数共有10个，所以2或5的倍数的数有60个．不是2或5的倍数的数有40个．
（2）2的倍数有100个，3的倍数有66个，5的倍数有40个，2和3的倍数共有33个，2和5的倍数共有20个，3和5的倍数共有13个，2和3和5的倍数共有6个，所以2、3、5的倍数的数共有．不是2、3、5的倍数的数共有54个．
16、（龙校四年级春季）50名同学面向老师站成一排，按老师口令，从左到右按1，2，3，···的顺序报数，报完后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是6的倍数的同学向后转，问：现在仍然面向老师的有多少名？
【答案】
38
【解析】
1至50中，4的倍数有个；6的倍数有个；，故4、6的公倍数有个．是4的倍数但不是6的倍数，以及是6的倍数但不是4的倍数的背向老师，共名，故仍然面向老师的有名．
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随堂练习
)
1、四年级同学参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀．其中语文成绩优秀的有42人，数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的有15人，请问四年级共多少名同学？
【答案】
83
【解析】
画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域．人．
2、某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生．已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，请问只参加一科竞赛的女生有多少人？
【答案】
70
【解析】
如果不考虑性别，参加数学竞赛的人有人，参加语文竞赛的人有人．总人数是260人，那么数学和语文都参加的人有人，其中男生有75人，那么两样都参加的女生有人．那么只参加一科竞赛的女生有人．
3、卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖．已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米和27平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7平方分米，而第一块和第三块则重叠了4平方分米．如果三块重叠的部分等于2平方分米，那么这张桌子的面积是多少？
【答案】
89
【解析】
三个对象容斥原理：平方分米．
4、高思学校有学生1000人，现有《中国少年报》、《少年文艺》和《数学报》三种报刊，其中只订阅一种报刊的有600人，只订阅两种报刊的有200人，三种报刊都订阅的有50人，请问：这个学校有多少人没有订报？
【答案】
150人
【解析】
如图，只订阅一种报刊的是E、F、G三部分，共600人；只订阅两种报刊的是A、B、C三部分，共200分，三种报刊都订阅的是D，有50人，所以订报刊的人一共有人，学校有一共有1000人，所以没有订报的人有人．
(
课后作业
)
1、一个班有50个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书．借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人．语文、数学两种课外书都借的有________人．
【答案】
21
【解析】
利用容斥原理，人．
2、某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有_______人．
【答案】
9
【解析】
至少有一科得满分的有人，利用容斥原理，语文满分的有人．
3、有100名同学回答A、B两个问题．都没有回答对的有10人，答对A的有75人，答对B的有83人，两题都答对的有_______人．
【答案】
68
【解析】
至少答对一道题的有人，利用容斥原理，两题都对的有人．
4、五年级共有110人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，58人参加了数学小组，至少参加2个小组的有80人，参加了三个小组的有20人．那么五年级有________人没有参加小组．
【答案】
9
【解析】
根据容斥原理，有人．
5、现有A、B、C三道题，每个同学至少答对了一道题．没答对A题的有30人，没答对B题的有24人，没答对C题的有20人，只答对一道题的同学有30人，有3人三道题都答对了．那么有_______名同学参与答题了．
【答案】
47
【解析】
画出文氏图，找出相应的数字对应的区域．没答对A、没答对B、没答对C和三题都答对的人数和覆盖了整个文氏图，再去掉重复覆盖的区域（只答对一道题的人数），就是总的人数了．人．
6、有一个棋友俱乐部共77人，每人都至少会下象棋、围棋和军棋中的一种．其中既会下象棋也会下围棋的人有20人，既会下象棋也会下军棋的有15人，既会下围棋也会下军棋的人有10人．只会下一种棋的人数是三种棋都会下的人数的10倍．那么只会下一种棋的有_______人．
【答案】
40
【解析】
设三种棋都会下的人数为“1”，那么只会下一种棋的人数为“10”，根据文氏图，，“1”等于4．那么只会下一种棋的人有40人．
7、一本习题集包含100道题目，甲做过其中的78道，乙做过68道，丙做过58道，那么3人都做过的题目最少有_______道．
【答案】
4
【解析】
通过画图，为使3个人都做过的题目尽量少，就要使每道题尽量被两人做过．最少有道．
(
100
78
22
46
54
4
甲
乙
丙
)
8、1~100中，既不是2的倍数又不是3的倍数同时也不是5的倍数的数有多少个？
【答案】
26个
【解析】
，是2的倍数的数有50个；，是3的倍数的数有33个；，是5的倍数的数有20个．，既是2又是3的倍数的数有16个；，既是2又是5的倍数的数有10个；，既是3又是5的倍数的数有6个．，同时是2、3、5的倍数的数有3个．根据三个对象的容斥原理，有个．
9、五年级共有150人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，30人只参加了数学小组，既参加语文也参加英语小组的人有35人．请问五年级有多少人没有参加小组？
【答案】
12人
【解析】
画出文氏图，先求出至少参加一个小组的人数．至少参加一个小组的人有人．一个小组都没参加的有人．
10、（思考题）某班老师建议学生读A、B、C三本课外书，每人至少读一本，结果有25人没有读A，有17人没有读B，有21人没有读C，恰读了1本书的人数是恰读过2本书人数的3倍，有10人三本书全读过，那么该班有多少人？
【答案】
46名
【解析】
画出文氏图，设恰读过2本书的人数为“1”，恰读过1本书的人数为“3”．没读过A、没读过B、没读过C的人数和是人，同时没读过A、没读过B、没读过C的人数和也是，所以“1”为9．该班的人数和为人．

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