资源简介

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第1
4
讲 复杂抽屉原理
四年级 春季
)
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知识点
)
复杂抽屉原理（四下）
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方法精讲
)
一、利用抽屉原理计算。 二、利用抽屉原理证明。 三、最不利原则与反证法。
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课堂例题
)
利用抽屉原理计算
1、（龙校四年级春季）有100名学生，他们都订阅了甲、乙、丙三种杂志中的一种，两种，或三种．请问：至少有多少名学生订阅的杂志种类完全相同？
2、把196个桃子分给若干只猴子，每只分得的桃子不超过5个，那么至少有______________只猴子分得桃子一样多．
3、一次聚会上，大家发现，有40人都是在同一年的10月出生的．试说明：他们中一定有2个人是在同一天出生的，但不一定有3个人在同一天出生．
4、盒子里有四色球各100个，每次从中摸出2个球，请问：至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出球的颜色情况是相同的？
5、（1）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有两个颜色相同？
（2）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有四个颜色相同？
利用抽屉原理证明
6、能否在4×4方格表的每个格子中填入1、2、3中的数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上的和互不相同？
7、将下图3行7列的方格纸的每格染成红色、黄色或绿色，要求每列的三个方格所染的颜色互不相同．请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．
8、有一块的棋盘，每一小格可任意染成黑色或白色．证明：对于任意的染法，棋盘中一定有一个长方形的四个角的颜色相同．
9、（1）在一个边长为2的正方形里随意放入3个点，这3个点所能连出的三角形面积最大是多少？
（2）在边长为4的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过2．（本题中的点都可以放在正方形的边界上）
10、试说明：任意六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人．
利用抽屉原理求苹果总数
11、篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有______________个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的．
12、（龙校四年级春季）有一群人，如果要保证其中至少有5个人的出生日期相同（月份可以不同），但不能保证6个人的出生日期相同，总人数应该在什么范围内？
13、1至30这30个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于31？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于3？
14、从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不是3的倍数，则最多能取出多少个数？
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随堂练习
)
1、箱子里有12种形状不同的积木，每种都足够多，一次至少要取几个，才能保证其中一定有三个形状相同？
2、小高把一副围棋混装在一个盒子里，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，请问：他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）
3、将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．
4、1至20这20个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于21？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于5？
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课后作业
)
1、小高把一副围棋棋子混装在一个盒子里，然后每次从盒子里摸出2枚棋子，那么他至少要摸__________次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的．（围棋子有黑、白两种颜色）
2、17个同学参加一次考试，考试只有4道判断题（答案只有对或错），每道题做对得10分，做错或不做得0分．那么至少有__________个同学的总分是一样的．
3、从1至29这29个自然数中，最多可以取出__________个数，使得其中任意两个数的和都不等于30．
4、从1到100这100个自然数中，至少选出__________个数，才能保证其中必有2个数之和为100．
5、能否在6行6列的方格表的每个空格中分别填上0、1、2这三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数字之和互不相同？（）
A．能
B．否
6、能否在边长为2的正三角形中，任意放入5个点．一定能从中找到两个点，它们的距离不大于1？（）
A．能
B．否
7、能否任意写一个由数字1，2，3，4组成的十八位数，从这个十八位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，在从各个不同位置上截得的所有两位数中，至少有两个相等？（）
8、箱子里有5种颜色相同的积木，每种都足够多，请问一次至少要取多少个，才能保证一定有5个颜色相同？
9、从1至50中，至少取出多少个数，才能保证一定有两个数的和是奇数？
10、（思考题）（1）从1至50这50个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不是7的倍数，则最多能取多少个数？（2）从1至50这50个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不是8的倍数，则最多能取多少个数？(
第1
4
讲 复杂抽屉原理
四年级 春季
)
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知识点
)
复杂抽屉原理（四下）
(
方法精讲
)
一、利用抽屉原理计算。 二、利用抽屉原理证明。 三、最不利原则与反证法。
(
课堂例题
)
利用抽屉原理计算
1、（龙校四年级春季）有100名学生，他们都订阅了甲、乙、丙三种杂志中的一种，两种，或三种．请问：至少有多少名学生订阅的杂志种类完全相同？
【答案】
15
【解析】
订阅情况有种．，根据抽屉原理，至少有名学生订阅的杂志种类完全相同．
2、把196个桃子分给若干只猴子，每只分得的桃子不超过5个，那么至少有______________只猴子分得桃子一样多．
【答案】
14
【解析】
尽量使得每只猴子分得桃子个数不一样多，1,2,3,4，5，1…这样循环下去．每一组15个桃子，，所以一共有14只猴子分得的桃子一样多．
3、一次聚会上，大家发现，有40人都是在同一年的10月出生的．试说明：他们中一定有2个人是在同一天出生的，但不一定有3个人在同一天出生．
【答案】
见解析
【解析】
先从40个人里抽出31个人，如果其中有2个人是在同一天出生，那么已经满足题目要求了．如果这31个人分别在10月的1号到31号出生，那么那么剩下的9个人里在抽出1个人，这个人必定会和之前的31个人中的某一个人在同一天出生．由此可见，他们中一定有2个人是在同一天出生的．但是可以是31个人分别在1号到31号出生，剩下的9个人分别在1号到9号出生，所以不一定有3个人在同一天出生．
4、盒子里有四色球各100个，每次从中摸出2个球，请问：至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出球的颜色情况是相同的？
【答案】
21
【解析】
摸出两个球，颜色共有10种可能（枚举可得），即10个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的情况是，摸出的所有球中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要求．所以至少要取次才能保证一定有三次摸出球的颜色情况是相同的．
5、（1）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有两个颜色相同？
（2）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有四个颜色相同？
【答案】
5；13
【解析】
（1）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有1个，再任意取一个就可以满足要求．所以至少要取个才能保证一定有两个颜色相同．
（2）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有3个，再任取一个就可以满足要求．所以至少要取个才能保证一定有四个颜色相同．
利用抽屉原理证明
6、能否在4×4方格表的每个格子中填入1、2、3中的数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上的和互不相同？
【答案】
不可能
【解析】
最小的和是4，最大的和是12，共9个数，横竖斜共10个和，所以不可能．
7、将下图3行7列的方格纸的每格染成红色、黄色或绿色，要求每列的三个方格所染的颜色互不相同．请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．
【答案】
见解析
【解析】
每一列三个方格染色情况共有种可能．一共有7列，，所以一定至少有两列染色方式是一样的．
8、有一块的棋盘，每一小格可任意染成黑色或白色．证明：对于任意的染法，棋盘中一定有一个长方形的四个角的颜色相同．
【答案】
见解析
【解析】
第一行7个必有4个点同色，可以假设前四个小格图黑色，第二行的前四格最多只能有一个黑色格，最少3个白色格，假设前三个为白色格，这样不管最后一行3个格中至少相同的两个格为什么颜色，都会出现四个角的颜色相同．
9、（1）在一个边长为2的正方形里随意放入3个点，这3个点所能连出的三角形面积最大是多少？
（2）在边长为4的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过2．（本题中的点都可以放在正方形的边界上）
【答案】
（1）2；（2）见解析
【解析】
面积最大为正方形的一半，即．此时，其中两个点恰好为某一条边的两个端点，第三个点在该边的对边上．把边长为4的正方形分成4个的小正方形．9个点放进去，，那么一定至少有3个点是在同一个小正方形中的．那么这3个点所构成的三角形面积一定不超过2（即第1问）．
10、试说明：任意六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人．
【答案】
不能
【解析】
用实线相连表示认识，虚线相连表示不认识，如图，A和其他5个人，要么认识，要么不认识，所以一定有三条线是相同的，假设有3条是实线：接下来连接B、C、D三个人，每两个人只有两种连接方法，要么实线、要么虚线．如果有实线，则这两个人与A三人互相认识；如果全是虚线相连，则B、C、D三人互相不认识．即证．
利用抽屉原理求苹果总数
11、篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有______________个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的．
【答案】
11
【解析】
两个水果是相同的有4种，两个水果不相同的有种，共10种．看成10个抽屉，至少需要个．
12、（龙校四年级春季）有一群人，如果要保证其中至少有5个人的出生日期相同（月份可以不同），但不能保证6个人的出生日期相同，总人数应该在什么范围内？
【答案】
125人至155人
【解析】
根据抽屉原理，要保证其中至少有5个人的出生日期相同，人数最少为人；为不能保证有6个人的出生日期相同，人数最多为人．
13、1至30这30个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于31？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于3？
【答案】
16个；16个
【解析】
（1）把1~30这30个数分为如下15组——（1，30）、（2，29）、（3，28）、……、（15，16），每一组的两个数之和都是31，而且不是同组的两个数之和一定不等于31．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出个数，才能保证一定有两个数的和等于31．
（2）把1~30这30个数进行如下分组：
（1，4，7，10，13，16，19，22，25，28）
（2，5，8，11，14，17，20，23，26，29）
（3，6，9，12，15，18，21，24，27，30）共3组，每组有10个数，连续两个数的差都是3，不连续的3个数的差都不为3，而且不同组的两个数之差一定不是3．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取5个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出个才能保证一定有两个数的差为3．
14、从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不是3的倍数，则最多能取出多少个数？
【答案】
11
【解析】
将1-30按照除以3的余数分类，余数为0的有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，余数为1的有4、7、10、13、16、19、22、25、28，余数为2的有10个，任意两个数的和都不是3的倍数余数为1的和余数为2的只能取出一类10个，余数为0的只能取出一个，所以最多能取出11个数．
(
随堂练习
)
1、箱子里有12种形状不同的积木，每种都足够多，一次至少要取几个，才能保证其中一定有三个形状相同？
【答案】
25
【解析】
利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的积木中，每种形状都有且仅有2个，再任取一个就可以满足要求．所以至少要取个才能保证一定有四个颜色相同．
2、小高把一副围棋混装在一个盒子里，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，请问：他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）
【答案】
11
【解析】
摸出4枚棋子，颜色共有5种可能（枚举可得），即5个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的情况是，摸出的所有棋子中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要求．所以至少要取次才能保证一定有三次摸出棋子的颜色情况是相同的．
3、将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．
【答案】
见解析
【解析】
每一列两个方格染色情况共有种可能．共5列，．
4、1至20这20个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于21？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于5？
【答案】
11个；11个
【解析】
（1）把1~20这20个数分为如下10组——（1，20）、（2，19）、（3，18）、……、（10，11），每一组的两个数之和都是21，而且不是同组的两个数之和一定不等于21．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出个数，才能保证一定有两个数的和等于21．
（2）把1~20这20个数进行如下分组：
（1，6，1，16）（2，7，12，17）（3，8，13，18）（4，9，14，19）（5，10，15，20）共5组，每组有4个数，连续两个数的差都是5，不连续的2个数的差都不为5，而且不同组的两个数之差一定不是5．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取2个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出个才能保证一定有两个数的差为3．
(
课后作业
)
1、小高把一副围棋棋子混装在一个盒子里，然后每次从盒子里摸出2枚棋子，那么他至少要摸__________次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的．（围棋子有黑、白两种颜色）
【答案】
7
【解析】
从盒子里摸出2枚围棋棋子，共有2黑、2白、1黑1白三种可能．要保证有三次摸出棋子颜色情况相同，应用最不利原则，当每种情况都出现了两次时，再随意摸出一次，就一定有三次的颜色情况是相同的，即至少要摸出2×3+1=7次．
2、17个同学参加一次考试，考试只有4道判断题（答案只有对或错），每道题做对得10分，做错或不做得0分．那么至少有__________个同学的总分是一样的．
【答案】
4
【解析】
这4道题最后的得分情况共有0分、10分、20分、30分、40分这5种情况．共17个同学参加，应用抽屉原理，17÷5=3……2，至少有4个同学的总分是一样的．
3、从1至29这29个自然数中，最多可以取出__________个数，使得其中任意两个数的和都不等于30．
【答案】
15
【解析】
1至29，根据“和为30”进行如下分组：（1，29）、（2，28）、（3，27）、…、（14，16）、（15）共15组，其中第15组比较特殊，只有15一个数．要想让任意两个数的和都不等于30，则不能在同一组中取数，所以最多只能在每组中取一个数，即最多可以取出15个数．
4、从1到100这100个自然数中，至少选出__________个数，才能保证其中必有2个数之和为100．
【答案】
52
【解析】
1至100，根据“和为100”进行如下分组：（1，99）、（2，98）、（3，97）、…、（49，51）、（50）、（100）共51组，其中最后两组比较特殊，分别只有50、100一个数．要保证必有2个数之和为100，即要保证所取出的数中必有2个数是属于同一组的．应用最不利原则，首先，每组中取一个数，接下来再任取一个即可，所以至少要选出个数．
5、能否在6行6列的方格表的每个空格中分别填上0、1、2这三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数字之和互不相同？（）
A．能
B．否
【答案】
【解析】
的方格表，行和、列和、对角线和共有14个．当把0、1、2填进去时，6个数的和最小为0，最大为，共有13种可能，所以行和、列和、对角线和这14个数不可能互不相同．
6、能否在边长为2的正三角形中，任意放入5个点．一定能从中找到两个点，它们的距离不大于1？（）
A．能
B．否
【答案】
A
【解析】
连接三条边的三个中点，把边长为2的正三角形分成4个边长为1的小正三角形，即构造出4个抽屉，此时，把5个点放进去，则必定有一个小正三角形中至少放了2个点，那么这2个点的距离一定不会大于这个小三角形的边长，即不大于1．
7、能否任意写一个由数字1，2，3，4组成的十八位数，从这个十八位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，在从各个不同位置上截得的所有两位数中，至少有两个相等？（）
【答案】
A
【解析】
由数字1、2、3、4组成的十八位数，任意截取相邻两位，所得的两位数所包含的十位、个位两个数字只可能是1、2、3、4，所以这样的两位数一共有种可能．而从十八位数字中截取的两位数一共会有17个，，所以至少有两个所截两位数是相等的．
8、箱子里有5种颜色相同的积木，每种都足够多，请问一次至少要取多少个，才能保证一定有5个颜色相同？
【答案】
21
【解析】
应用最不利原则，要保证一定有5个颜色相同，则首先每种颜色都取4个，再任取1个即可．所以至少要取个．
9、从1至50中，至少取出多少个数，才能保证一定有两个数的和是奇数？
【答案】
26
【解析】
要保证一定有两个数的和是奇数，即要保证一定有两个数奇偶性不同，1至50中，共有25个奇数、25个偶数，所以至少要取出个数，才能保证一定有两个数奇偶性不同．
10、（思考题）（1）从1至50这50个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不是7的倍数，则最多能取多少个数？（2）从1至50这50个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不是8的倍数，则最多能取多少个数？
【答案】
（1）23个；（2）22个
【解析】
根据余数分组：（1）根据除以7的余数，把1至50这50个数分成以下几组：
①余0：7，14，21，…，49——共7个②余1：1，8，15，…，50——共8个③余2：2，9，16，…，44——共7个④余3：3，10，17，…，45——共7个⑤余4：4，11，18，…，46——共7个⑥余5：5，12，19，…，47——共7个⑦余6：6，13，20，…，48——共7个其中，①的任意两个数的和都是7的倍数，②和⑦各取一个数和即为7的倍数，③和⑥各取一个数和即为7的倍数，④和⑤各取一个数和即为7的倍数．所以，要使得任意两个数都不是7的倍数，则①中最多可取一个数，②、⑦中最多能取②中的8个数，③、⑥中最多能取其中一组中的7个数，④、⑤中也最多能取其中一组中的7个数，所以做多能取个数．（2）根据除以8的余数，把1至50这50个数分成以下几组：①余0：8，16，24，32，40，48——共6个②余1：1，9，17，25，33，41，49——共7个③余2：2，10，18，26，34，42，50——共7个④余3：3，11，19，27，35，43——共6个⑤余4：4，12，20，28，36，44——共6个⑥余5：5，13，21，29，37，4——共6个⑦余6：6，14，22，30，38，46——共6个⑧余7：7，15，23，31，39，47——共6个其中，①的任意两个数的和都是8的倍数，⑤的任意两个数的和也都是8的倍数，②和⑧各取一个数和即为8的倍数，③和⑦各取一个数和即为8的倍数，④和⑥各取一个数和即为8的倍数．所以，要使得任意两个数都不是8的倍数，则①中最多可取1个数，⑤中最多可取1个数，②、⑧中最多能取②中的7个数，③、⑦中最多能取③中的7个数，④、⑥中也最多能取其中一组中的6个数，所以做多能取1+1+7+7+6=22个数．

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