资源简介

4.5 一元二次方程根的判别式
教学目标
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 　
3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围.
教学重难点
一元二次方程根的判别式的运用
教学过程
新课引入
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0)时，总是要求b-4ac≥0.这是为什么？
把方程ax+bx+c = 0(a≠0) 配方后得到：
由于a≠0，所以＞0 ，因此我们不难发现：
当>0时，＞0
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
此时，原方程有两个不相等的实数根.
（2）当=0时，=0
由于0的平方根为0，所以原方程的根为
此时，原方程有两个相等的实数根.
（3）当<0时，<0
由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根.
课内知识小结
1、一元二次方程根的判别式:
一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)中根的情况由b-4ac的值的符号来决定,所以把b-4ac叫做一元二次方程根的判别式. 通常用符号“△”表示:即△=b-4ac。
2、一元二次方程根的情况:
①当△=b-4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当△=b-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根；
③当△=b-4ac<0时,一元二次方程没有实数根；
例1、不解方程，判断方程根的情况:
（1）2x+x-4=0;
解:由题意,得
a=2,b=1,c=-4
∴原方程有两个不相等的实数根
（2）4y2 +9=12y
解:整理,得
4y -12y+9=0
∴a=4,b=-12,c=9
∴原方程有两个相等的实数根.
例2、已知方程根的情况,求方程中字母系数的值:
（1）已知关于x的一元二次方程kx -3x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解:∵一元二次方程kx -3x+1=0有
两个不相等的实数根
尝试与探索
上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？
结论2 对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；
当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；
当方程没有实数根时，Δ＜0。
即一元二次方程：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ＜0时，方程没有实数根。
反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0 ；
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＝0；
当方程没有实数根，Δ＜0。
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
解：（1）2x+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x-x+ =0,a=1,b=-1,c= .
∴b-4ac=(-1)2-4×1× =0.
∴方程有两个相等的实数根．
(3) x-x+1=0.
x-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.
∴方程无实数根．

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