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第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
教学设计
教学目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
教学重难点
教学重点：等比数列的前n项和公式.
教学难点：等比数列的前n项和公式及应用.
教学过程
新知积累
1.等比数列的前n项和公式的推导
设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是.
根据等比数列的通项公式，上式可写成.①
用公比q乘①的两边，可得.②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得，即.
此方法为错位相减法.
因此，当时，等比数列的前n项和公式为.
因为，所以上述公式还可以写成.
例题巩固
例1 已知数列是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求n.
解：（1）因为，，所以.
（2）由，，可得，即.
又由，得，所以.
（3）把，，代入，得.
整理，得.解得.
例2 已知等比数列的首项为-1，前n项和为.若，求公比q.
解：若，则，所以.
当时，由，得.
整理，得，即.所以.
例3 已知等比数列的公比，前n项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：当时，，，，
所以，，成等比数列，公比为1.
当时，，
，
.
所以.
因为为常数，所以，，成等比数列，公比为.
例4 如图，正方形ABCD的边长为5 cm.取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
解：设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，则.
由于第个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，
所以.
因此是以25为首项，为公比的等比数列.
设的前n项和为.
（1）.
所以前10个正方形的面积之和为.
（2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和，
而，
随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50.
所以所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
例5 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，，
.
当时，.所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
例6 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，….
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中k，r为常数；
（3）求的值（精确到1）.
解：（1）由题意，得，并且.①
（2）将化成.②
比较①②的系数，可得.解方程组得.
所以（1）中的递推公式可以化为.
（3）由（2）可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则.
所以.
课堂练习
1.设等比数列的前n项和为，且，，则( )
A.128 B.127 C.64 D.63
答案：D
解析：由，解得，所以公比，所以.故选D.
2.已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，，，，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：设等差数列的公差为d，由得，解得，则，所以，，设等比数列的公比为q，则，则，故选D.
3.（多选）已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则( )
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：A项，由两端同除以，得，解得或-1.又是正项等比数列，所以，故A正确；
B项，，故B正确；
C项，，故C错误；
D项，，故D正确.故选ABD.
4.已知等比数列的前3项和为168，，则__________.
答案：24
解析：设等比数列的公比为q，则，，即，解得，.
小结作业
小结：本节课学习了等比数列的前n项和公式及应用.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
4.3.2 等比数列的前n项和公式
1.等比数列的前n项和公式
2.等比数列的前n项和公式的应用

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