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教学设计
必修一第二章不等式 §2.2基本不等式
在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础。
根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.?
学习目标 1.理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；
2.理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵；
教学重点 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；?
2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；?
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.?
教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明；?
2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.?
教具准备 “三环六步”教学法，多媒体及课件
一．教学过程
【课前自学】阅读教材
【导入新课】
探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?
?
提问1设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？XK]
每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.
提问2请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.?
采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.?
【知识归纳】一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
提问3当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.?
即 (a＞0,b＞0).
我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.?
提问4能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？?
要证：，①?
只要证a+b≥2，②
要证②，只要证：a+b-2≥0，③?
要证③，只要证：④?
显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.
［合作探究］
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？?
可证△ACD ∽△BCD,所以可得.?表示半弦长，表示半径长.?由半径大于半弦可得.?当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0).
二．知识梳理
知识点一　重要不等式
一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
知识点二 基本不等式
当a＞0,b＞0时，即 其中a＞0,b＞0，当且仅当a=b时等号成立
知识点三 两种解释
（1）算数平均数与几何平均数
当a＞0,b＞0时，把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.?
几何意义
题型探究
【探究1】基本不等式的理解
例1　给出下面四个推导过程：
①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；
②因为x，y∈(0，＋∞)，所以lg x＋lg y≥2；
③因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；
④因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－＋≤－2 ＝－2.
其中正确的推导过程为(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案　D
解析　从基本不等式成立的条件考虑．
①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；
②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，所以②的推导过程是错误的；
③因为a∈R，a≠0不符合基本不等式的条件，
所以＋a≥2＝4是错误的；
④由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．
拓展提升
基本不等式≥(a>0，b>0)的两个关注点
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：
①当a＝b时，≥的等号成立，
即a＝b ＝；
②仅当a＝b时，≥的等号成立，
即＝ a＝B．
【跟踪训练1】　下列命题中正确的是(　　)
A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2
B．当a＞1，b＞1时，lg a＋lg b≥2
C．当a＞4时，a＋≥2 ＝6
D．∵x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时，等号成立，∴(x2＋1)min＝2
答案　B
解析　A项中，可能＜0，所以不正确；C项中，a＋≥2 ＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，x与1的乘积不是定值，所以不正确；很明显，B项中，当a＞1，b＞1时，lg a＞0，lg b＞0，则lg a＋lg b≥2成立，所以正确．
【探究2】利用基本不等式比较大小
例2　(1)已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m、n之间的大小关系是(　　)
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定
(2)若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是________．
答案　(1)A　(2)P＜Q＜R
解析　(1)m＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2 ＝4.当且仅当a＝3时取等号，而n＝22－b2＜4，∴m＞n.故选A．
(2)∵a＞b＞1, ∴＞，
即lg ＞lg ＝(lg a＋lg b)，
∴R＞Q.
∵lg a＞0，lg b＞0，∴(lg a＋lg b)＞，
∴P＜Q，故P＜Q＜R.
拓展提升
利用基本不等式比较大小
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑．在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式的使用条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．
【跟踪训练2】　已知a、b、c都是非负实数，试比较 ＋＋与(a＋b＋c)的大小．
解　因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
所以≥(a＋b), ≥(b＋c)，
≥(a＋c)，所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)]．
即＋＋≥ (a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
【探究3】　利用基本不等式证明不等式
例3　设a，b，c都是正数且a＋b＋c＝1，
求证：＋＋≥9.
证明　由题意，得＋＋＝＋＋＝3＋＋＋.
又∵＋≥2，＋≥2，＋≥2，
当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c＝时，等号成立，
∴＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
拓展提升
在对代数式进行变换时，并不是只能将代数式中的“元”消去，也可利用整体代换将某些“常数”消去．
【跟踪训练3】　已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
证明　∵a＋b＋c＝1，代入不等式的左端，
∴
＝
＝
＝＋＋＋＋＋＋2
＝＋＋＋2.
∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴＋≥2，
＋≥2，＋≥2，
∴＋＋≥6，
∴≥8，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
四.规律小结
1.对公式a2＋b2≥2ab及≤的理解
两个公式成立的条件是不同的：前者只要求a，b是实数，而后者强调a，b必须是正数．
2.由公式a2＋b2≥2ab和≤可以引申出的常用结论
(1)＋≥2(a，b同号)；
(2)＋≤－2(a，b异号)；
(3)≤≤≤ (a>0，b>0)
.
3.基本不等式的两种解释
(1)数列解释
如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，则该定理可叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
(2)几何解释
以a＋b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝B．过点C作垂直于直径AB的弦DD′，则CD＝.因为圆的半径为，所以≥.其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立，则该定理又可叙述为：半径不小于半弦．
【走出误区】
易错点 忽视基本不等式应用的前提条件致误
[典例]　求函数y＝1－2x－(x<0)的最值．
[错解档案]　y＝1－2x－＝1－.
∵2x＋≥2＝2，
∴y≤1－2，∴y的最大值为1－2.
[误区警示]　错解中没有注意到题目给出的x<0这个条件，误用了基本不等式≥(a>0，b>0)．
[规范解答]　∵x<0，
∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2，即y≥1＋2(当且仅当－2x＝，即x＝－时，取“＝”)，∴y有最小值1＋2.
[名师点津]　基本不等式“≥”成立的条件是a，b都是正数，在解题时如果a，b为负数，可提取负号，创造变量为正数的条件，再利用基本不等式解题.
五．随堂自测
1．设a＞0，b＞0，且a＋b≤4，则有(　　)
A．≥ B．＋≥1
C．≥2 D．≤
答案　B
解析　∵4≥a＋b≥2，∴≤2，∴≥，
∴＋≥≥1.故选B．
2．设a，b是正实数，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≥B B．A≤B
C．A＞B D．A＜B
答案　C
解析　∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，A2－B2＝(a＋b＋2)－(a＋b)＝2＞0，∴A2＞B2，∴A＞B．
3．已知a，b∈R＋，则下列不等式不一定成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C．≥a＋b D．≥
答案　D
解析　取a＝，b＝1试验知D不成立．
4．若a>－b>0，则(1)a＋b>0；(2)<；(3)|a|>|b|；(4)＋<－2中，正确的有________个．
答案　3
解析　∵a>－b>0，∴a＋b>0，且a>0，b<0，|a|>|－b|，即|a|>|b|，
∴>，∴(1)对，(2)错，(3)对．
对于(4)，∵<0，<0，
∴＋＝－≤－2.
∵a>－b，∴－≠－，
∴＋<－2，故(4)对．
5．已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)．
证明　∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1，
∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号．
六．板书设计
基本不等式 一、重要不等式　　　　　　 四、反思小结? 对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab， 当且仅当a=b时，等号成立. 二、基本不等式? 其中a＞0,b＞0，当且仅 当a=b时等号成立 三、两种解释k.Com] 三1
七．巩固练习

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