资源简介

弧度制 教学设计
章节名称 5.1.2弧度制 学时 1
课标要求 掌握弧度制的定义，能进行弧度与角度的互化。 体会引入弧度制的必要性。
内容与学情分析 内容 分析 本节课在内容上起着承上启下的作用。第三章学习了用集合语言和对应关系描述的函数定义。上节课学习了任意角的概念，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为下一节三角函数概念的引入奠定了基础。
学情 分析 知识基础：学生在初中已经学过角度制，上节课也学习了任意角的概念，并且学生已经掌握了一些基本单位的转换方法。 能力基础：学生已经具有了一定的生活经验，能体会不同单位制给解决问题带来了方便。 心理基础：突然引进新的单位制，学生需要突破原有的认知，接受弧度制在今后的运用。
学习目标 了解引进弧度制的必要性； 理解弧度的定义，理解任意角的集合和实数集之间的一一对应关系； 熟练掌握角度与弧度之间的换算，熟记常见特殊角对应的弧度数； 记忆弧度制下的扇形公式、面积公式。
教学重点与难点 重点：理解弧度的定义，熟练掌握弧度与角度的换算。 难点：理解弧度的定义，弧度制的产生过程和所蕴含的数学思想。
学生课前需要做的准备工作 1、预习课本172页到175页； 2、回忆初中角度制是如何定义1度角的。
学习策略 教法：启发、探究、参与式。 学法：动手实践、类比分析、观察总结等
学习环节 学习任务设计与 教师活动 学生活动设计 设计意图 落实目标
情景引入 温故知新 问题一：古书记载，关羽身长9尺，那么关羽究竟多高呢？ 问题二：为什么要引进弧度制？ 通过初中学的锐角三角函数解释说明为什么引进弧度制。 1、角度是60进制，是十进制，进制不同。 2、是角度单位，是实数，单位不统一。 3、根据函数的概念，是数集数集的对应，无法建立函数关系。 问题三：初中几何中1度的角是怎样定义的？ 1度的角：规定圆周的所对的角为1度的角。 通过三个半径大小不同的圆，让学生体会角度制角的度量与方式与半径的大小无关。 学生思考教师提出的问题，回顾初中角度制下1度角的定义方式。 通过两组问题让学生回顾现实中各种不同的单位制，激发学生的学习兴趣。 通过初中学的锐角三角函数，让学生明白引进弧度制的必要性。 回顾初中角度制中1度角的定义，引导学生类比角度制，探究弧度制的定义提高学生概括、类比推理的能力。
探究一 弧度制 圆心角分别为、，半径时，计算弧长。 思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？这种规律的理论支撑是什么？ 通过小组讨论，学生发现是一个定值，并且这个定值由圆心角的度数唯一确定。 类比角度制，规定弧度制下1弧度角的大小。 1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度的单位用符号rad表示，读作弧度。 注：用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，但是“度”、“”为单位时不可以省略。 角度制和弧度制不能混用。 动手实验：教师提供圆形硬纸板以及细绳，邀请两名同学上前演示。让学生更加清晰rad角的概念。 通过Geogebra再次体会这一结论。 的正负由角终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角。这样就可以得到弧度为任意大小的角。一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是。 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每个实数都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。 学生小组讨论完成表格，在计算过程中发现规律。 用自然语言描述1rad角的定义，思考这样规定的合理性。 体会引进弧度制的必要性。 通过小组讨论，理解弧度制并概括1弧度角的定义，培养学生的概括理解能力，提升学生的数学抽象核心素养。 通过学生动手活动和 技术手段让学生进一步感知角确定后比值的不变性以及的大小与半径无关。提升学生数学抽象、逻辑推理、直观想象核心素养。
探究二 角度与弧度互化 建立了弧度制以后，弧度制与角度制是对同一个角的不同度量方式，二者虽然单位不同，但是互相联系、辩证统一，可相互换算。 典例选讲，深化概念 特殊角的度数与弧度数的对应表 寻找角度与弧度相互转化的桥梁，即 练习本上完成题目，记忆特殊角的度数与弧度数的对应表。 通过思考，归纳弧度与角度的互化，提高学生的分析能力和概括能力。 通过例题，使学生熟练掌握角度与弧度之间的相互转化，提高学生分析问题，概括问题的能力。
探究三 弧度制下关于扇形的公式 例：利用弧度制证明下列关于扇形的公式 （1）；（2）；（3）。 其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积。 证明：由公式可得 下面证明（2）（3）。 半径为,圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是 ,， 将转化为弧度得 于是 将代入上式，即得 显然，弧度制下得弧长公式和扇形面积公式形式简单了。 因为题中给的，但是实际上的正负由旋转方向决定。所以弧度制下的扇形的面公式为 （1）（2）（3） 练一练：已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 学生小组讨论，证明弧度制下关于扇形的公式。 运用弧度制证明关于扇形的公式，巩固弧度制的相关知识，有助于学生进一步理解并掌握公式。培养学生的论证能力，提升学生的逻辑推理核心素养。 通过练习，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
达标检测 1、将下列角度与弧度进行互化 (1)20° (2)－800° (3) (4)。 2、正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( ) A． B． C． D． 3、与30°角终边相同的角的集合是( ) A． B． C． D． 4、将化成的形式为_______。 5、在半径为的圆中，的圆心角所对弧长为( ) A． B. C. D.
板书 设计 5.1.1弧度制 1度角：规定圆周的所对的角为1度的角。 一、弧度制 1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。（单位符号rad） 二、角度与弧度的换算 三、弧度制下的关于扇形的公式 （1）（2）（3）

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