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2.1一元二次方程
浙教版 八年级下册
内容总览
教学目标
01
情境导入
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
一元二次方程是“浙教版八年级数学（下）”第二章第一节的内容。本节课的主要内容是让学生在具体问题情境中根据数量关系列方程，经历一元二次方程概念的发生过程，使学生理解一元二次方程的概念并了解一元二次方程的一般形式,要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础，与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教材中有着非常重要的地位和作用.
教学目标
1.经历一元二次方程概念的发生过程.
2.理解一元二次方程的概念.
3.了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
4.提高分析问题、解决问题的能力及合作交流能力.
情境导入
将一个容积为 750cm3的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示．图中x(cm)应满足怎样的方程？
长：(30-2x)÷2=15-x(cm)
宽：x(cm)
高：15(cm)
列方程：(15- x)x×15=750
x2-15x+50=0
探究新知
列出下列问题中关于未知数的方程：
(1)把面积为 4m2的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长.
设正方形的边长为x(m),可列出方程　　　　　　.
(2)某放射性元素经2天后,质量衰变为原来的，这种放射性元素平均每天减少率为多少？
设平均每天减少率为x ，可列出
方程：　　　 　.
x2+3x=4
（1-x）2=
探究新知
思考：观察x2-15x+50=0、x2+3x=4、(1-x)2= 三个方程,说出这些方程与一元一次方程的相同和不同之处．
相同之处：1.只含有一个未知数
2.方程的两边都是整式
不同之处：一元一次方程所含未知数的最高次数为1次,上述三个方程所含未知数的最高次数为2次.
探究新知
一元二次方程的三个条件：
1.两边都是整式；
2.只含有一个未知数；
3.未知数的最高次数是2次.
方程x2-15x+50=0、x2+3x=4、(1-x)2= 的两边都是整式，只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次.我们把这样的方程叫做一元二次方程. 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）
探究新知
判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)10x2=9 (2)2(x-1)=3x
(3)2x2-3x-1=0 (4)+
2.判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根
1.(1)(3)是一元二次方程，(2)(4)不是
2. x=-1, x=2是方程x2-2=x的根, x=0不是
探究新知
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式.我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2 ,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
思考：为什么要限制a≠0？b,c可以为零吗？
若a=0，则未知数的最高次数不是2次，所以该方程不是一元二次方程.b,c可以为零.
注意：我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项.
例题精讲
例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) 9x2=5-4x.
(2) (2-x)(3x+4)=3.
解：(1) 移项,整理,得9x2+4x-5=0.
这个方程的二次项系数是9,一次项系数是4,常数项是-5.
(2)方程左边多项式相乘，得-3x2+2x+8=3,
移项，整理,得-3x2+2x+5=0.
这个方程的二次项系数是-3,一次项系数是2,常数项是5.
例题精讲
解：将x1=和x2=-3代入方程2x2+ bx+c=0,
得
解得
所以这个一元二次方程是2x2+x-15=0.
例2 已知一元二次方程2x2+ bx+c=0的两个根为x1=和x2=-3,求这个方程.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列方程一定是一元二次方程的是(　　)
A.3x2+-1=0
B.5x2-6y-3=0
C.ax2-x+2=0
D.3x2-2x-1=0
D
课堂练习
2.若(a-1)x2-x+a2-1=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是(　　)
A.a>1
B.a≠0
C.a≠1
D.任意实数
【知识技能类作业】
必做题
C
课堂练习
3.把一元二次方程(x+2)(x-3)=4化成一般形式是 (　　)
A.x2+x-10=0
B.x2-x-6=4
C.x2-x-10=0
D.x2-x-6=0
【知识技能类作业】
必做题
C
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
1.有下列方程:①x2+2x+1=0;②x2+x=(x+1)·(x-2);③-x2=1-;④0.1x2-x+1=0;⑤x2=x.其中一元二次方程有 (　　)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
课堂练习
2.若将关于x的一元二次方程3x2+x-2=ax(x-2)化成一般形式后,其二次项系数为1,则该方程中的一次项系数为(　　)
A.5
B.3
C.-5
D.-3
【知识技能类作业】
选做题
A
课堂练习
3.把方程2(x2+1)=5x化成一般形式ax2+bx+c=0后，a+b+c的值是(　　)
A.8
B.9
C.﹣2
D.﹣1
【知识技能类作业】
选做题
D
课堂练习
【综合实践类作业】
已知关于x的方程(m＋3)(m－3)x2＋(m＋3)x＋2=0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
解： (1)由题意，得(m＋3)(m－3)=0且m＋3≠0，
所以m－3=0，即m=3.
(2)由题意，得(m＋3)(m－3)≠0，即m≠±3.
课堂总结
一元二次方程的三要素是什么？
1.两边都是整式；
2.只含有一个未知数；
3.未知数的最高次数是2次.
一元二次方程的一般形式是什么？
ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0)是一元二次方程的一般形式,其中ax2 ,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
作业布置
【知识技能类作业】
1.下表是某同学求代数式x2-x的值的情况,根据表格可知方程x2-x=2的根是(　　)
A.x=-1
B.x=-1或x=2
C.x=0或x=1
D.x=0
B
x … -2 -1 0 1 2 3 …
x2-x … 6 2 0 0 2 6 …
作业布置
【知识技能类作业】
2.某学校要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者邀请x个队参赛,则x满足的方程为(　　)
A.x(x+1)=28
B.x(x-1)=28
C.x(x+1)=28
D.x(x-1)=28
B
作业布置
【知识技能类作业】
3.关于x的方程(m-1)x2＋(m＋1)x＋3m-1＝0，当m________ 时，是一元一次方程；当m ________时，是一元二次方程.
4.若方程2x﹣4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值为________ ．
5.把一元二次方程(x+1)(1-x)=2x化成二次项系数大于零的一般式为 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
=1
≠1
-3
x2+2x-1=0
1
2
-1
作业布置
【综合实践类作业】
已知x3-a+3x﹣10=0和x3b-4+6x+8=0都是一元二次方程,求(- )2022
×(+)2024的值.
解：由题意得3-a=2,3b-4=2,解得a=1,b=2.
则(- )2022×(+)2024
=[(+)(- )]2022 (+)2
=(a﹣b)2022(+)2,
当a=1,b=2时，原式=(1-2)2022(+)2= (+)2 =3+2
板书设计
一元二次方程的定义：
一元二次方程的三要素：
一元二次方程的一般形式：
2.1一元二次方程
习题讲解书写部分
谢谢
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《一元二次方程》教学设计
第一课时《一元二次方程》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 一元二次方程是“浙教版八年级数学（下）”第二章第一节的内容。本节课的主要内容是让学生在具体问题情境中根据数量关系列方程，经历一元二次方程概念的发生过程，使学生理解一元二次方程的概念并了解一元二次方程的一般形式,要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础，与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教材中有着非常重要的地位和作用.
学习者分析 学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程、分式方程，知道根据具体问题中的数量关系列方程，且学生具备一定的独立思考、合作探究、归纳概括的能力，这些都有利于学生理解一元二次方程的概念.教师可以通过具体问题情境引导学生发现一元二次方程的共同特征，理解一元二次方程的概念.同时教师在教学过程中要注意面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来.
教学目标 1.经历一元二次方程概念的发生过程. 2.理解一元二次方程的概念. 3.了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 4.提高分析问题、解决问题的能力及合作交流能力.
教学重点 一元二次方程的概念,包括它的一般形式.
教学难点 代数式的变形和等式的变形.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境导入教师活动1： 将一个容积为750cm3的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示．图中x(cm)应满足怎样的方程？ 教师讲授： 长：(30-2x)÷2=15-x(cm) 宽：x(cm) 高：15(cm) 列方程：(15- x)x×15=750 x2-15x+50=0学生活动1： 学生认真思考，完成习题，举手回答问题教师进行评价和讲解 学生认真听讲 活动意图说明：通过具体问题情境引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识.环节二：探究新知教师活动2： 列出下列问题中关于未知数的方程： (1)把面积为 4m2的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长. 设正方形的边长为x(m),可列出方程　　　　　　. (2)某放射性元素经2天后,质量衰变为原来的，这种放射性元素平均每天减少率为多少？ 设平均每天减少率为x ，可列出方程：　　　 　. 答案：x2+3x=4、(1-x)2= 思考：观察x2-15x+50=0、x2+3x=4、(1-x)2= 三个方程,说出这些方程与一元一次方程的相同和不同之处． 教师讲授： 相同之处： 1.只含有一个未知数 2.方程的两边都是整式 不同之处：一元一次方程所含未知数的最高次数为1次，这些方程所含未知数的最高次数为2次. 教师讲授： 方程x2-15x+50=0、x2+3x=4、(1-x)2= 的两边都是整式，只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次.我们把这样的方程叫做一元二次方程. 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根） 一元二次方程的三个条件： 1.两边都是整式； 2.只含有一个未知数； 3.未知数的最高次数是2次. 小试牛刀： 1.判断下列方程是否为一元二次方程： (1)10x2=9 (2)2(x-1)=3x (3)2x2-3x-1=0 (4)+ 2.判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根 答案：1.(1)(3)是一元二次方程，(2)(4)不是 2. x=-1, x=2是方程x2-2=x的根, x=0不是 教师讲授： 一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式.我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2 ,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数. 思考：为什么要限制a≠0？b,c可以为零吗？ 教师讲授：若a=0，则未知数的最高次数不是2次，所以该方程不是一元二次方程.b,c可以为零. 注意：我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项.学生活动2： 学生认真思考，完成习题，举手回答问题教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，合作交流，回答问题 学生认真听讲 学生认真思考，回答问题 学生认真听讲，理解一元二次方程的概念，探究一元二次方程的共同特征 学生认真思考，完成习题，举手回答问题教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真听讲 学生认真思考，合作交流，回答问题 学生认真听讲 活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精讲教师活动3： 例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) 9x2=5-4x. (2) (2-x)(3x+4)=3. 解： (1) 移项,整理,得9x2+4x-5=0. 这个方程的二次项系数是9,一次项系数是4,常数项是-5. (2)方程左边多项式相乘，得-3x2+2x+8=3, 移项，整理,得-3x2+2x+5=0. 这个方程的二次项系数是-3,一次项系数是2,常数项是5. 例2 已知一元二次方程2x2+ bx+c=0的两个根为x1=和x2=-3,求这个方程. 解：将x1=和x2=-3代入方程2x2+ bx+c=0, 得 解得 所以这个一元二次方程是2x2+x-15=0.学生活动3： 学生认真思考，完成习题，举手回答问题教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，完成习题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂小结
教师活动4： 教师提问：一元二次方程的三要素是什么？ 教师讲授： 1.两边都是整式； 2.只含有一个未知数； 3.未知数的最高次数是2次. 教师提问：一元二次方程的一般形式是什么？ 教师讲授：ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0)是一元二次方程的一般形式,其中ax2 ,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列方程一定是一元二次方程的是(　　) A.3x2+-1=0 B.5x2-6y-3=0 C.ax2-x+2=0 D.3x2-2x-1=0 2.若(a-1)x2-x+a2-1=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是(　　) A.a>1 B.a≠0 C.a≠1 D.任意实数 3.把一元二次方程(x+2)(x-3)=4化成一般形式是 (　　) A.x2+x-10=0 B.x2-x-6=4 C.x2-x-10=0 D.x2-x-6=0 选做题： 1.有下列方程:①x2+2x+1=0;②x2+x=(x+1)·(x-2);③-x2=1-;④0.1x2-x+1=0;⑤x2=x.其中一元二次方程有 (　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.若将关于x的一元二次方程3x2+x-2=ax(x-2)化成一般形式后,其二次项系数为1,则该方程中的一次项系数为(　　) A.5 B.3 C.-5 D.-3 3.把方程2(x2+1)=5x化成一般形式ax2+bx+c=0后，a+b+c的值是(　　) A.8 B.9 C.﹣2 D.﹣1 【综合拓展类作业】 已知关于x的方程(m＋3)(m－3)x2＋(m＋3)x＋2=0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下表是某同学求代数式x2-x的值的情况,根据表格可知方程x2-x=2的根是(　　) A.x=-1 B.x=-1或x=2 C.x=0或x=1 D.x=0 2.某学校要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者邀请x个队参赛,则x满足的方程为(　　) A.x(x+1)=28 B.x(x-1)=28 C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28 3.关于x的方程(m-1)x2＋(m＋1)x＋3m-1＝0，当m________ 时，是一元一次方程；当m ________时，是一元二次方程. 4.若方程2x﹣4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值为________ ． 5.把一元二次方程(x+1)(1-x)=2x化成二次项系数大于零的一般式为 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 【综合拓展类作业】 已知x3-a+3x﹣10=0和x3b-4+6x+8=0都是一元二次方程,求(-)2022 ×(+)2024的值.
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过情境导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.3.了解一元二次方程的根与系数的关系.4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是浙教版八年级下册第二章《一元二次方程》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“方程与不等式”.主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用.本单元首先以具体问题情境为导入探究一元二次方程的概念，让学生经历一元二次方程概念的发生过程，了解一元二次方程的一般形式，要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。再通过合作学习体验并掌握一元二次方程的解法。一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础.一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教学过程中让学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言、表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力，提升学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，以及有逻辑地表达与交流的能力。
学情分析 《一元二次方程》这一章是在学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程、分式方程，知道根据具体问题中的数量关系列方程的基础上进行构建的。本章知识是在此基础上，全面研究一元二次方程的概念、解法和应用。一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中注重联系实际，从实际问题中引出引导学生学习一元二次方程的有关知识，并最终回归到建立一元二次方程模型解决实际问题中去.同时教师需加强学生对知识之间内在联系的认识，体会相关的数学思想方法，提高学生的基本能力，在日常教学中注重培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力。
单元目标 （一）教学目标1.理解一元二次方程的概念.2.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.3.会用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程.4.能用一元二次方程的根的判别式判别方程的根的情况.5.了解一元二次方程的根与系数的关系.6.会用一元二次方程解决简单的实际问题.7.体会方程在现实生活中的具体应用.（二）教学重点、难点教学重点：一元二次方程的解法教学难点：列一元二次方程解应用题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1一元二次方程12.2一元二次方程的解法42.3一元二次方程的应用22.4一元二次方程根与系数的关系1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1一元二次方程1.经历一元二次方程概念的发生过程. 2.理解一元二次方程的概念.3.了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动一：情境导入，根据数量关系列方程.活动二：探究新知，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式.活动三：例题精讲，辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动四：针对训练，请学生回答问题.2.2.1一元二次方程的解法1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2.会用因式分解法解一元二次方程.会用因式分解法解一元二次方程.活动一：复习导入，回顾一元二次方程的概念.活动二：合作学习，探究因式分解法解一元二次方程.活动三：例题精讲，用因式分解法解一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.2一元二次方程的解法1.理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.2.会用开平方法解一元二次方程.3.理解配方法.4.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.1.会用开平方法解一元二次方程.2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.活动一：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.活动二：探究新知，理解开平方法，配方法.活动三：例题精讲，用开平方法，配方法解一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.3一元二次方程的解法1.巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.2.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.活动一：复习导入，回顾开平方法，配方法.活动二：探究新知，能够运用二次根式的性质进行运算.活动三：例题精讲，用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.4一元二次方程的解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.会用公式法解一元二次方程.活动一：温故知新，回顾如何用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程活动二：合作学习，一元二次方程求根公式活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.2.3.1一元二次方程的应用1.经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.2.会列一元二次方程解应用题.会列一元二次方程解应用题.活动一：复习导入，回顾一元二次方程的解法.活动二：例题精讲，列一元二次方程解应用题.活动三：巩固练习，请学生回答问题2.3.2一元二次方程的应用1.继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值.2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.活动一：复习导入，回顾如何列一元二次方程解应用题.活动二：例题精讲，列一元二次方程解应用题.活动三：巩固练习，请学生回答问题2.4一元二次方程根与系数的关系1.经历一元二次方程根与系数的关系的推导过程.2.能够理解一元二次方程根与系数的关系.3.会灵活运用一元二次方程根与系数的关系解题.会用一元二次方程根与系数的关系解题.活动一：复习导入，回顾如何列一元二次方程解应用题.活动二：探究新知，经历一元二次方程根与系数的关系的推导过程.活动三：例题精讲，用一元二次方程根与系数的关系解题.活动四：巩固练习，请学生回答问题
《一元二次方程》大单元教学设计
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