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第3单元 分数除法
2023-2024学年六年级数学上册期末重难点知识讲解
知识点一：倒数的认识
1、倒数的意义。
乘积是1的两个数互为倒数。
“互为”是指两个数的依存关系，所以不能单独说一个数是倒数，能说一个数是另一个数的倒数或两个数互为倒数。
2、求一个数的倒数的方法。
求一个分数的倒数，把这个分数的分子、分母交换位置即可；
求小数的倒数，先把小数化成分数，再求倒数；
求非0整数的倒数，让这个整数作分母，分子是1。
知识点二：分数除以整数
1、分数除以整数的计算方法。
分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。
当分子除以整数能除尽时，用分子除以整数的商作分子，分母不变。
知识点三：一个数除以分数
1、一个数除以分数。
（1） 整数除以分数的计算方法：整数除以分数，用这个整数乘这个分数的倒数。
（2）分数除以分数的计算方法：分数除以分数，用被除数乘除数的倒数。
（3）分数除法的一般方法：一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
2、被除数与商的变化规律。
（1）除以大于 1 的数，商小于被除数：a÷b=c 当 b>1 时，c（2）除以小于 1 的数，商大于被除数：a÷b=c 当 b<1 时，c>a (a≠0 b≠0)
（3）除以等于 1 的数，商等于被除数：a÷b=c 当 b=1 时，c=a
知识点四：分数四则混合运算
1、分数四则混合运算。
对于同一级运算，应按从左往右的顺序计算；
没有小括号的，先算乘除法，再算加减法；
有小括号的，先算小括号里面的，再算小括号外面的。
知识点五：分数除法的应用
1、已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用一个数除以几分之几就等于这个数；
2、已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数的方法：
一个数乘以（1加或减几分之几）就等于已知数；
一个数加减一个数乘以几分之几等于已知数。
3、已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系，求这两个数的方法：根据倍数关系设未知数，根据两个数的和（或差）等于已知量列出方程。
4、方程法：（1）找出单位“1”，设未知量为x；
（2）找出题中的等量关系式；
（3）列出方程并解答；
（4）检验并写出答案。
1、理解倒数的意义,掌握求一个数的倒数的方法。
2、体会分数除法的意义,理解并掌握分数除法的计算方法，会进行分数除法的计算。
3、掌握“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题。
4、掌握“已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系,求这两个数"的实际问题。
1、倒数的意义。
乘积是1的两个数互为倒数。
2、求一个数的倒数的方法。
（1）求分数的倒数：将分数的分子与分母交换位置。
（2）求整数（0除外）的倒数：先把整数（0除外）看作分母是1 的分数，再交换分子、分母的位置。1的倒数是1，0没有倒数。
（3）求小数的倒数：先把小数化成真分数或假分数，再交换分子、分母的位置。
3、分数除法的意义。
分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
4、分数除法转化成分数乘法时，被除数不变，除数变为原数的倒数。
5、分数除法一般不直接约分，只有转化成乘法算式后才能直接约分。
6、计算分数连除时，一定要连续地乘除数的倒数，不能只把第一个除数变倒数。
7、分数四则混合运算的运算顺序。
分数四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算的运算顺序相同。含有两级运算的，要先算乘、除法，再算加、减法;只含有同级运算的，要按照从左到右的顺序依次计算；算式中带有括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。
8、已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法。
方法一：列方程解答，单位“1”的量（这个数）未知。
方法二：用算术法解答，已知量÷已知量占单位“1”的几分之 几=单位“1”的量。
9、已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数的解题方法。
方法一：列方程解答，单位“1”的量（这个数）±单位“1”的量（这个数）×几分之几＝已知量；单位“１”的量（这个数）×(1±几分之几)＝ 已知量。
方法二：用算术法解答，已知量÷（1±几分之几）=单位“1”的量（这个数）。
一、选择题（共16分）
1．如表表示甲、乙两辆汽车行驶的路程和行驶相应路程的耗油量。
路程（千米） 耗油量（升）
甲
乙 100 6
为了判断哪辆车更省油，列出了下面两个算式：÷＝，6÷100＝，下面的说法中正确的是（ ）。
A．因为耗1升汽油，甲、乙两辆汽车分别行驶千米和千米，所以甲更省油
B．因为行驶1千米，甲、乙两辆汽车分别耗油升和升，所以乙更省油
C．因为行驶1千米，甲、乙两辆汽车分别耗油升和升，所以甲更省油
2．一个长方形遮住了甲、乙两条线段的一部分，则甲、乙两条线段的长度相比，（ ）长。

A．甲 B．乙 C．一样
3．楠楠在计算时，探索了下面几种算法，其中错误的是（ ）。
A． B． C．
4．下面（ ）算式可以运用乘法分配律简算。
A． B． C．
5．把L的果汁分装在容量是L的小瓶里，可以装（ ）瓶。
A．3 B．4 C．5
6．甲、乙两根绳子，甲的和乙的同样长，则甲、乙两根绳子相比（ ）。
A．甲长 B．乙长 C．无法确定
7．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行全程的，行了3小时后，距离乙地还有360km。甲、乙两地相距（ ）km。
A．480 B．600 C．900
8．一个水池上装有甲、乙两个进水管，单开甲管小时将空池注满，单开乙管小时将空池注满，两管同时打开，几小时可以注满空池？正确列式（ ）。
A．1÷（＋） B．1÷（2＋5） C．1÷＋1÷5
二、填空题（共16分）
9．学校计划买一批桌椅，单买课桌可以买60张，单买椅子可以买90把，如果成套买可以买( )套。
10．我们平时看到的电影画面实际上是由许多连续拍摄的照片以每秒一张的速度连续播放的。请你算一算：半秒可以播放( )张照片，播放1200张照片需要( )秒。
11．60千克的是( )千克；( )千克的是60千克。
12．比60千克少是( )千克；240米比( )米多。
13．一根木头锯成两段需要分钟，如果锯成9段，需要( )分钟。
14．食堂有2吨大米，每天吃，可以吃( )天。
15．最小合数的倒数与最小质数的和是( )。
16．大杯子（容积是240毫升）装满了饮料，倒出一半放在小杯子里，正好装满小杯子的，那么小杯子的容积是( )。
三、判断题（共8分）
17．男生人数比女生人数多，那么女生人数比男生人数少。( )
18．王立从山下走到山顶的速度是3千米/小时，从山顶按原路返回山下的速度是5千米/小时，那么他的平均速度是4千米/小时。( )
19．一件工程，4天完成了，完成全部工程要用4÷＝12（天）。( )
20．若把甲的给乙，则甲和乙相等，那么，原来甲比乙多。( )
四、计算题（共12分）
21．（6分）计算下面各题，能简算的要简算。

22．（6分）解方程。
x÷＝× （1－）x＝20 ＋2x＝
五、作图题（共6分）
23．（6分）在下面的图中用阴影部分表示出公顷。
六、解答题（共42分）
24．（6分）一批零件，师傅单独做需12天完成，徒弟单独做需15天完成，二人合作，需要几天完成这批零件的？
25．（6分）我们班全场得了42分，下半场得分只有上半场的。上半场和下半场各得多少分？
26．（6分）只列式，不计算。
小顾家11月的电费是120元，相当于8月的，小顾家8月和11月的电费一共是多少钱？
27．（6分）2015年7月31日，2022年冬奥会主办地结果揭晓，北京获得主办权。阿拉木图获得40张选票，阿拉木图获得的票数比北京少，北京获得多少张选票？
（1）写出数量关系式。
（2）用喜欢的方法解答，并检验。
28．（6分）学校锅炉房里原来存有大小两堆煤，共重24吨，现给小堆煤加上4吨，从大堆煤里用去，两堆煤的重量正好相等，求大小两堆煤原来各多少吨。
29．（6分）一家服装店卖出A、B两件不同的衣服，售价都是360元，按成本价计算，A件赚了，B件衣服亏了。售出两件衣服后，商店是赚了还是亏了？差额是多少？
30．（6分）光明小学的跳绳比赛中，小红1分钟跳了180个，小龙跳的既是小红的，又是小青的，小青1分钟跳几个？
参考答案
1．B
【分析】根据表格中的数据可知，÷＝表示甲汽车行驶1千米的耗油量是升；
6÷100＝表示乙汽车行驶1千米的耗油量是升；
然后根据分数大小比较的方法，比较和的大小，即可得出哪辆车更省油。
【详解】甲车行驶1千米，耗油：
÷
＝×
＝（升）
乙车行驶1千米，耗油：
6÷100＝（升）
＝＝
＜，即＜；
因为行驶1千米，甲、乙两辆汽车分别耗油升和升，所以乙更省油。
故答案为：B
【分析】本题分数除法的应用以及分数大小的比较，理解除法的意义是解题的关键。
2．A
【分析】把甲、乙两条线段的总长度看作单位“1”，假设出露出线段的长度，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出甲、乙两条线段的总长度，最后比较大小，据此解答。
【详解】假设露出线段的长度为3米。
甲：3÷
＝3×
＝5（米）
乙：3÷
＝3×
＝4（米）
因为5米＞4米，所以甲线段长。
故答案为：A
【分析】找出题目中的单位“1”并用分数除法求出两条线段的总长度是解答题目的关键。
3．C
【分析】可以赋予这个算式一定的实际情境，方便理解列式；例如：假设3小时走了km，求1小时走了多少km；画线段图，在图上用2条大段表示km、3条较小的线段表示3小时、2条最小的线段合起来组成1小时，借助线段图分析数量关系，列出不同的算式，并筛选出错误的算式。
【详解】
A．：结合线段图可知：先把km平均分成2份，每份是km，再把km平均分成3份，其中的2份就表示1小时走的路程，要求得这2份是多少，列式为÷3×2，相当于是，这样列式就求得了1小时走了多少km；
B．：km表示把2km平均分成5份，其中1份是km，即2÷5＝km；再继续平均分，把km平均分成3份，其中1份可看作2÷5÷3，即2÷（5×3），因为是3小时走了km，这样列式就求得了1小时走了多少km；
C．：根据A选项的分析，应列式为：÷3×2，原题说法错误；
故答案为：C
【分析】结合现实情境，能够使抽象的算式具有具体的含义，便于理解从而列式计算。
4．B
【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，结果不变。据此解答。
【详解】A．先计算乘法，再计算加法，不能运用乘法分配律简算；
B．先把除法化为乘法，再根据乘法分配律，可将算式变为进行简算；
C．从左往右依次计算，不能运用乘法分配律简算。
故答案为：B
【分析】本题主要考查了分数四则混合运算，明确整数的运算律在分数中同样适用。
5．C
【分析】根据题意，把L的果汁分装在容量是L的小瓶里，求可以装的瓶数，就是求里面有几个，用除法计算。
【详解】÷
＝×
＝5（瓶）
可以装5瓶。
故答案为：C
【分析】本题考查分数除法的意义及应用，掌握分数除法的计算法则是解题的关键。
6．B
【分析】根据题意，甲绳子长度的等于乙绳子长度的，即甲绳子长度×＝乙绳子长度×；假设乙绳子长度是3，则乙绳子长度的是：3×＝1，则甲绳子长度×＝1，则甲绳子长度＝1÷＝2，再比较两根绳子的长度，即可得解。
【详解】甲绳子长度×＝乙绳子长度×；
假设乙绳子长度是3，
3×÷
＝1÷
＝1×2
＝2
2＜3
即甲、乙两根绳子相比，乙绳子更长一些。
故答案为：B
【分析】本题主要考查分数乘除法的运算以及求一个数的几分之几是多少，熟练掌握它的运算方法并灵活运用。
7．B
【分析】将甲、乙两地全程距离看作单位“1”，每小时行全程的，行了3小时后，即3小时后行了全程的，可计算出剩余路程占全程的分数，再运用分数除法得出答案。
【详解】甲、乙两地相距：
（千米）
故答案为：B
【分析】本题主要考查的是分数乘法、除法的综合应用，解题的关键是熟练掌握分数乘、除法运算法则，进而得出答案。
8．B
【分析】把注满水的工作量看作单位“1”，先依据工作总量＝工作时间×工作效率，求出单开甲管和单开乙管的工作效率，两管同时打开，把两个管子的工作效率相加，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和即可解答。
【详解】1÷＝1×2＝2
1÷＝1×5＝5
1÷（2＋5）
＝1÷7
＝
即两管同时打开，小时可以注满空池。
故答案为：B
【分析】本题考查知识点：依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。
9．36
【分析】把总钱数看作“1”，已知单买课桌可以买60张，单买椅子可以买90把，根据“单价＝总价÷数量”，求出课桌、椅子的单价；
如果成套买，那么每套桌椅的价格是课桌、椅子的单价之和，根据“总价÷单价＝数量”，即可求出成套买的套数。
【详解】1÷60＝
1÷90＝
1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×36
＝36（套）
如果成套买可以买36套。
【分析】关键是把总钱数看做整体“1”，然后根据单价、数量、总价之间的关系解答。
10． 12 50
【分析】半秒是秒，播放时间÷播放一张需要的时间＝播放张数；播放一张需要的时间×播放张数＝播放时间，据此列式计算。
【详解】÷＝×24＝12（张）
×1200＝50（秒）
半秒可以播放12张照片，播放1200张照片需要50秒。
【分析】关键是掌握分数乘除法的计算方法。
11． 45 80
【分析】把60千克看作单位“1”，已知一个数，求这个数的几分之几是多少用分数乘法计算，列式为60×；把所求质量看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用分数除法计算，列式为60÷，据此解答。
【详解】60×＝45（千克）
60÷
＝60×
＝80（千克）
所以，60千克的是45千克，80千克的是60千克。
【分析】本题主要考查分数乘除法的简单应用，找出题目中的单位“1”并确定用乘法还是除法计算是解答题目的关键。
12． 48 200
【分析】把60千克看作单位“1”，求比60千克少是多少，就是求60千克的（1－）是多少，根据分数乘法的意义，用60×（1－）即可求出结果；
把第二个括号看作单位“1”，已知240米比单位“1”多，则240米是单位“1”的（1＋），根据分数除法的意义，用240÷（1＋）即可求出结果。
【详解】60×（1－）
＝60×
＝48（千克）
240÷（1＋）
＝240÷
＝240×
＝200（米）
比60千克少是48千克；240米比200米多。
【分析】本题主要考查了分数乘除法的应用，明确求比一个数多（少）几分之几的数是多少用乘法计算，以及已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数用除法计算。
13．4
【分析】锯成两段需要锯（2－1）次，锯成9段需要锯（9－1）次，据此先求出锯一次的时间，再乘锯成9段的次数即可。
【详解】（2－1）×（9－1）
＝1×8
＝8
＝4（分钟）
如果锯成9段，需要4分钟。
【分析】关键是理解锯的次数和段数之间的关系，掌握分数乘除法的计算方法。
14．4
【分析】将大米质量看作单位“1”，1÷每天吃这些大米的几分之几＝可以吃的天数，据此列式计算。
【详解】1÷＝4（天）
可以吃4天。
【分析】关键是理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算方法。
15．/2.25/
【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定最小的合数与最小的质数，整数的倒数是这个整数分之一，确定最小合数的倒数，加上最小质数即可。
【详解】最小的合数是4，它的倒数是，最小的质数是2。
＋2＝
最小合数的倒数与最小质数的和是。
【分析】关键是理解质数、合数的分类标准，理解倒数的意义。
16．150毫升/150mL
【分析】先把大杯子的容积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用大杯子的容积乘就是大杯子倒出一半的体积；再把小杯子的容积看作单位“1”，根据分数除法的意义，用大杯子饮料一半的体积除以就是小杯子的容积。
【详解】240×÷
＝120÷
＝120×
＝150（毫升）
小杯子的容积是150毫升。
【分析】此题是考查分数乘、除法的意义及应用。求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。
17．×
【分析】把女生人数看作单位“1”，则男生的人数为1×（1＋）；然后求出女生人数比男生人数少多少，再除以男生人数即可，据此判断。
【详解】假设女生的人数为1，男生人数为：
1×（1＋）
＝1×
＝
（－1）÷
＝÷
＝×
＝
则女生人数比男生人数少。原题干说法错误。
故答案为：×
【分析】本题考查求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法是解题的关键。
18．×
【分析】假设从山下到山上的路程长度为1千米，先根据路程÷速度＝时间，代入数据求出上山和下山的时间，把这两个时间加起来求出往返所用总时间，往返的总路程等于（1＋1）千米，再利用总路程÷总时间＝平均速度，即可得到结果。
【详解】1÷3＝（小时）
1÷5＝（小时）
（1＋1）÷（＋）
＝2÷（＋）
＝2÷
＝2×
＝3.75（千米/小时）
即他的平均速度是3.75千米/小时。
故答案为：×
【分析】此题主要根据路程、速度、时间三者之间的关系，利用分数的四则混合运算求出结果。
19．√
【分析】根据题意，4天完成的占全部工程的，将全部工程看作单位“1”，单位“1”未知，利用除法求解。
【详解】4÷＝12（天）
所以，一件工程，4天完成了，完成全部工程要用12天。
故答案为：√
【分析】本题考查了分数除法的应用，找准单位“1”是正确列式的关键。
20．×
【分析】把甲看作单位“1”，若把甲的给乙，则甲和乙相等，则乙是甲的（1－－）；求原来甲比乙多几分之几，先用减法求出多的部分，再除以乙即可。
【详解】乙：1－－＝
（1－）÷
＝÷
＝×
＝
原来甲比乙多。
原题说法错误。
故答案为：×
【分析】明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两数的差除以另一个数。
21．；；；
【分析】（1）先计算分数乘法，再计算分数加法；
（2）提取相同的分数，再利用乘法分配律进行简便计算；
（3）先计算小括号里的减法，再计算括号外的除法；
（4）利用乘法分配律进行简便计算。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
22．x＝；x＝60；x＝
【分析】（1）先化简，然后再根据等式的性质2，方程两边同时乘即可；
（2）先化简，然后再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可；
（3）根据等式的性质1，方程两边同时减去，然后根据等式的性质2，然再同时除以2求解。
【详解】（1）x÷＝×
解：x÷＝
x÷×＝×
x＝
（2）（1－）x＝20
解：x＝20
x÷＝20÷
x＝20×3
x＝60
（3）＋2x＝
解：＋2x－＝－
2x＝
2x÷2＝÷2
x＝
x＝
23．
【分析】把3公顷分作相等的7份，那么1份就是：3÷7＝公顷，用除以求出份数，然后在图上表示出来即可。
【详解】根据分析，3÷7＝（公顷）
÷＝×＝4（份）
涂色为：
【分析】此题考查了分数除法的计算，关键是理解题目再列式计算。
24．5天
【分析】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，这批零件的÷两人效率和＝合作时间，据此列式解答。
【详解】
（天）
答：二人合作，需要5天完成这批零件的。
【分析】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。
25．上半场得分28分；下半场得分14分
【分析】根据题意可知，把上半场的得分看作单位“1”，全场得分占上半场的（1＋），根据分数除法的意义，用42÷（1＋）即可求出上半场的得分，用全场得分减去上半场的得分，即可求出下半场的得分。
【详解】42÷（1＋）
＝42÷
＝42×
＝28（分）
42－28＝14（分）
答：上半场得分28分，下半场得分14分。
【分析】本题主要考查了分数除法的应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。
26．120÷＋120
【分析】已知小顾家11月的电费是120元，相当于8月的，把小顾家8月的电费看作单位“1”， 根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出8月的电费，再加上11月的电费即可。
【详解】120÷＋120
＝120×＋120
＝144＋120
＝264（元）
答：小顾家8月和11月的电费一共是264元。
【分析】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。
27．（1）（北京的票数－阿拉木图获得的票数）÷北京获得的票数＝；
（2）44张
【分析】（1）由题可知，北京的票数减去阿拉木图获得的票数的差除以北京获得的票数就是，据此解答。
（2）阿拉木图获得40张选票相当于北京获得票数的（1－）。用40除以（1－），就得北京的票数，然后检验即可。
【详解】（1）（北京的票数－阿拉木图获得的票数）÷北京获得的票数＝
（2）40÷（1－）
＝40
＝40×
＝44（票）
检验（44－40）÷44
＝4÷44
＝
答：北京获得44张选票。
【分析】理解有关比多少的分数的意义是解决本题的关键。
28．大堆煤有16吨，小堆煤有8吨
【分析】由题意得等量关系式：原有小煤堆的重量原有大煤堆的重量，设出小煤堆原有的重量是吨，则大煤堆原有量是吨，列方程解答即可。
【详解】解：设小煤堆原有的重量为吨，则大煤堆原有的重量为吨。
x＋4＝（24－x）×（1－）
x＋4＝（24－x）×
x＋4＝24×－x
x＋4＝18－x
x＋4＋x＝18－x＋x
x＋4＝18
x＋4－4＝18－4
x＝14
x÷＝14÷
x＝14×
x＝8
24－8＝16（吨）
答：大堆煤有16吨，小堆煤有8吨。
【分析】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。
29．亏了；30元
【分析】根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用售价360元除以（1＋），求出第一件衣服的成本价。用售价360元除以（1－），求出第二件衣服的成本价。将两件衣服的成本价求出来，比较衣服的售价和，先判断出是赚了还是亏了，最后利用减法求出赚了（亏了）多少。
【详解】360÷（1＋）
＝360÷
＝360×
＝300（元）
360÷（1－）
＝360÷
＝360×
＝450（元）
300＋450＝750（元）
360＋360＝720（元）
750＞720
750－720＝30（元）
答：售出两件衣服后，商店亏了，差额是30元。
【分析】本题考查已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求出两件衣服的成本价是解题的关键。
30．189个
【分析】根据题意，先算出小龙跳了几个，再根据“小龙跳的个数是小青的”，用小龙的个数除以，即可算出答案。
【详解】180×＝108（个）
108÷
＝108×
＝189（个）
答：小青一分钟跳了189个。
【分析】此题考查了分数乘法以及分数除法，求一个数的几分之几用乘法，已知一个数的几分之几是多少求这个数，用除法。