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第7课时
最大公因数的概念和求两个数的最大公因数
教案
教学目标：
1.理解公因数和最大公因数的意义，在表示因数和公因数时渗透集合思想。
2.掌握求两个数的最大公因数的方法。
教学重点：
公因数和最大公因数的意义及求两个数的最大公因数。
教学难点：
求两个数的最大公因数。
【创设情境 引入新课】
以“引入1”为例。
师：同学们，我们一起来回顾一下倍数的知识，这道题谁是谁的倍数呢？
生：84是7的倍数。
师：很好，那几是几的因数呢？
生：7是84的因数。
师：大家一起来说一说，什么是因数？什么是倍数？
生：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
师：所以同学们知道倍数和因数的关系是怎样的吗？
生：相互依存。
师：非常好，同学们，你们知道什么是公因数吗？它应该怎么求呢？今天我们就一起来学习最大公因数的概念和求两个数的最大公因数。（板书课题）
设计意图：通过复习倍数、因数等知识，由学生已有的知识经验入手，调动学生的积极性，利用已经学过的知识，迁移到新的知识，从而激发其学习兴趣，为后续学习“求最大公因数”做好准备。
【合作交流 探索新知】
一、公因数和最大公因数的意义
师：那么我们一起来找找8的因数有哪些呢？
生：1，2，4，8。
师：很好，12的因数呢？
生：1，2，3，4，6，12。
教师出示例1.8和12公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？
师：刚刚我们找出了8和12的因数，那谁能告诉我8和12公有的因数是哪些？
生：1，2，4。
师：刚才我们把8和12的因数列举出来找公因数的方法呢，就是列举法。那是否还有其他表示公因数的方法呢？
师讲解：我们还可以把对应的因数写在集合中，这个时候两个集合会有重叠的部分，就像图中所示。那么中间重叠的部分就是8和12的公因数。大家知道重叠的部分要填什么吗？（出示课件）
生：1，2，4。
师：非常好，所以接下来两边不重叠的地方又是多少呢？
学生自由回答。老师出示答案。
师：这种画图找重叠的方法叫作集合法。所以同学们知道8和12的公有的因数有哪些吗？
生：1，2，4.
师讲解：我们把几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。所以1，2，4就是8和12的公因数。
师：很好，那8和12的最大公因数是多少呢？什么是最大公因数呢？我们在数学上把公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。所以你们知道8和12的最大公因数是几吗？
生：4。
二、求两个数的最大公因数的方法
师：我们学完了最大公因数的概念，接下来分组讨论一下，想办法求18和27的最大公因数。（出示例2）
巡堂观察学生讨论情况，最后小组派代表回答讨论结果。
师：很好，根据同学们的结果，我们分成了两大方法，一种是列举法，先找出18和27各自的因数。18的因数有哪些呢？
生：1，2，3，6，9，18。
师：很好，一定要找齐全喔，我们接下来找27的因数。
生：1，3，9，27。
师：非常好，所以18和27的公因数是哪些呢？
生：1，3，9。
师：那最大公因数呢？
生：9。
师：很好，这种一个个列举下来，最后找出最大公因数的方法，我们称之为列举法。那除了这种方法，我们还可以用筛选法。根据因数的特性，我们先找出两个数中较小的数的因数，也就是18的因数。18的因数有哪些？同学们再回答一下。
生：1，2，3，6，9，18。
师：很好，我们这时候再看18的因数中哪些是 27 的因数，并找出最大的那个。哪些是27的因数呢？
生：1，3，9，是27的因数。
师：很好，那么在1，3，9中我们找最大的数字，就是18和27的最大公因数。除此以外，还有没有其他方法呢？
师：我们还可以通过分解质因数的方法来求，18分解质因数等于多少乘多少呢？
生：3×3×2。
师：很好，那么27分解质因数等于多少乘多少呢？
生：3×3×3。
师：这时候我们可以看到，18和27都有两个3相乘，所以18和27的最大公因数就是3×3=9。而我们通常为了简便，就会写成右侧的形式。在短除号里面的数字用公有的质因数相除。例如18和27用公有的质因数3去除，剩下的商6和9再继续用质因数3去除，除到两个商只有公因数1为止。所以同学们这种方法求出来的最大公因数是几呢？
生：3×3=9。
师：很好，右边的这种方法我们又称为短除法。请同学们先在草稿纸上试着用短除法计算 12 和 18 的最大公因数，再小组讨论一下短除法的特点。
巡堂观察学生讨论情况，最后小组派代表回答讨论结果。
出示答案和步骤，并让学生跟读一遍。
将两个数写在短除号中，用它们的除 1以外的公有的最小质因数作除数去除。
将除数写在短除号的左边，将商写在下面，再找商的除 1 以外的公有的最小质因数作除数继续去除，直到得到的商的公因数只有 1 为止。
将所有的除数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。
三、探究两个数的公因数和它们的最大公因数的关系
师：同学们观察一下，两个数的公因数和它们的最大公因数之间有什么关系？
生：1、2、4 都是 4 的因数；4 分别是 1、2、4 的倍数。
生：1、3、9 都是 9 的因数；9 分别是 1、3、9 的倍数。
师：很好，所以我们可以知道，两个数的公因数是它们最大公因数的因数；最大公因数是公因数的倍数。
四、播放视频，师生回顾课堂。
五、小结
几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。
公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。
求最大公因数的方法：列举法、筛选法、分解质因数法、短除法
六、做一做
1.把16和24的因数、公因数分别填入相应的位置，再圈出它们的最大公因数。（教材P61）
2.下面哪些数是12的因数而不是18的因数？哪些数是18的因数而不是12的因数？哪些数是12和18的公因数？（教材P61）
1 2 3 4 6 9 12 18
12的因数：1，2，3，4，6，12；
18的因数：1，2，3，6，9，18；
12和18的公因数：1，2，3，6。
3.找出下面每组数的最大公因数。你发现了什么？（教材P61）
4 和 8 12 和 36 1 和 7
4 12 1
8 和 9 5 和 11 12 和 35
1 1 1
发现：当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。当两个数的公因数只有 1 时，它们的最大公因数就是 1。
设计意图：补充集合法让学生从小培养集合的概念，同时也借助图形加深学生对最大公因数的理解。除此之外，讲解多种方法求两个数的最大公因数，提高学生发散思维的能力。
【当堂练习 及时反馈】
一、入门
1.填空。（教材P63第1题）
（1）10和15的公因数有__________________。
（2）14和49的公因数有__________________。
答案：（1）1，5；（2）1，7
2.找出下面每组数的最大公因数。
3.在括号里写出各个分数中分子和分母的最大公因数。（教材P63第4题）
（ 1 ） （ 4 ） （ 18 ）
（ 3 ） （ 7 ） （ 11 ）
二、巩固
4.选一选。
（1）下面最大公因数最小的一组数是（ C ）。
A.16和48 B.100和2 C.89和90
（2）如果m=4n（m、n均为非零自然数），那么m和n最大公因数是（ B ）。
A.m B.n C.4
5.利用短除法形式，求出下面各组数的最大公因数。
（1）24 和 40 （2）30 和 45
三、挑战
6.按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。（教材P64第8题）
（1）两个数都是质数：______和______。
（2）两个数都是合数：______和______。
（3）一个质数、一个合数：______和______。
答案不唯一，示例：（1）13；19；（2）20；21；（3）17；15
7.已知a = 2×3×5，b = 2×5×7，它们的公因数有（ 1，2，5，10 ），最大公因数是（ 10 ）。
【板书设计 思维导图】

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