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第8课时 利用最大公因数知识解决实际问题
教案
教学目标：
用公因数和最大公因数的知识解决生活中的实际问题。
教学重点：
用求公因数的方法解决实际问题。
教学难点：
将实际问题转化为数学问题。
【复习旧知 引入新课】
以“引入1”为例。
师：同学们，我们一起来回顾一下如何找两个数的最大公因数，你们尝试着在草稿纸上完成这道题。
学生草稿纸作答，全班校对答案。
师：同学们知道24和42的最大公因数是几吗？
生齐声回答。
师：很好。大家对怎么找两个数的最大公因数已经不陌生了，那我们今天就要讲讲最大公因数在平常生活中有什么作用。
设计意图：从学生已有的知识经验入手，调动学生的积极性，利用已经学过的知识，迁移到新的知识，从而激发其学习兴趣，为继续学习“利用最大公因数解决问题”做好准备。
【合作交流 探索新知】
一、利用最大公因数解决实际问题
出示例3.小亮家储藏室的长方形地面长16 dm，宽12 dm。如果用边长是整分米数的正方形地砖将储藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块的），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
1.理解题意，分析并解决问题
师：仔细阅读，同学们能说说装修的要求吗？
抽点学生回答。
师：同学们都找到了题目的关键。题目要求，地砖是正方形的，而且边长是整分米数，这种地砖要铺满长16 dm，宽12 dm的地面，同时地砖都是整块。那你们知道所选地砖的边长和最大边长分别是几分米吗？（出示课件）
师：按照动画展现的，你们知道铺满时，正方形地砖长度与储藏室的长度有何关系？
生：地砖的边长必须是储藏室长边的因数。
师：很好。那整块铺满时，正方形地砖宽度与储藏室的宽度有何关系呢？
生：地砖的边长必须是储藏室宽边的因数。
师：根据刚刚说的，地砖的边长既是储藏室长边的因数，又是宽边的因数，所以地砖的边长是16和12的公因数。那正方形地砖最大的边长是什么呢？
生：16 和 12 的最大公因数。
师：我们先一起来把12和16的公因数和最大公因数找出来。
师：所以12和16的最大公因数是几？
生：4。
师：非常好。我们得知地砖的边长可以选择1 dm、2 dm和4 dm，最大可以选择4 dm。
2.验证结果
师：那到底对不对呢？同学们在纸上画一画，再用学具摆一摆，验证结果的准确性。
（小组合作完成后汇报，老师巡堂检查指导。）
师：第一种情况，如果用边长1 dm的地砖来铺，我们可以发现每一行要摆16块，每一列要摆12块。需要多少块才能铺满呢？
生：192。
师：很好，我们用乘法计算得出结果。第二种情况，如果用边长2 dm的地砖来铺，我们可以发现每一行要摆8块，每一列要摆6块。此时需要多少块才能铺满呢？
生：48。
师：非常好。接下来我们用边长是3 dm的地砖来铺，刚才我们通过计算也知道3不是12和16的公因数，此时会发生什么情况呢？
出示动画。
师：同学们你们发现了吗？每一行都没办法用边长是3 dm的地砖铺满。这说明，用边长3 dm的地砖，是不能把储藏室整块铺满的。
师：我们继续研究第四种情况。使用这种地砖，需要多少块才能铺满呢？
生：12。
师：接下来我们再研究一下，用边长是5 dm的地砖，能不能整块铺满呢？
生：不能。
师：我们发现这种情况是不能整块铺满的。请大家讨论一下，为什么边长3 dm和5 dm的地砖不符合要求呢？
学生分组讨论，并派代表回答。
3.得出结论
师小结：3不是16的因数，5既不是16的因数也不是12的因数。这说明：（1）要想用整块的正方形地砖把地面铺满，所选正方形地砖的边长必须是16和12的公因数。（2）长和宽的最大公因数就是正方形地砖的最大边长。
所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决。
设计意图：学生通过小组讨论，进行知识迁移，重点突出学生的自主参与，给学生充分的时间与空间去独立思考、探索交流，充分发挥学生学习的主观能动性，帮助学生理解和掌握分数的基本性质，利用教具使学生能直观感受分数的基本性质的魅力。
【当堂练习 及时反馈】
一、入门
1.填一填。
（1）一块墙面长18分米，高24分米。如果用边长是整分米数的正方形瓷砖贴满这面墙（使用的瓷砖都是整块）。瓷砖的边长必须既是（ 18 ）的因数，又是（ 24 ）因数。只要找出18和24的（ 公因数 ）和（ 最大公因数 ），就知道正方形瓷砖的边长和最大边长了。
（2）18和24的公因数有（ 1，2，3，6 ），最大公因数是（ 6 ）。
2.选一选。
（1）明明家的卧室长3.5米，宽2.8米，选用边长（ B ）分米的方砖铺地不需要切割。
A.8 B.7 C.6 D.5
（2）张老师买来54本连环画和45本漫画，分别把它们平均分给五（1）班的各小组，正好分完。五（1）班最多有（ C ）个小组。
A.6 B.8 C.9 D.12
3.有一张长方形纸，长70 cm，宽50 cm。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？
（教材P63第5题）
答：剪出的正方形的边长最大是10 厘米。
5.六一儿童节到了，五（3）班同学买了65个苹果，98颗奶糖，平均分给班里的全体同学，结果苹果还剩1个，奶糖还剩2颗。这个班最多有多少名同学？
65-1=64（个）
98-2=96（颗）
64=2×2×2×2×2×2
96=2×2×2×2×2×3
64和96的最大公因数是：2×2×2×2×2=32。
答：这个班最多有32名同学。
三、挑战
6.要把右面这些木棒截成同样长的若干段，不能有剩余，每段最长是多少厘米？（教材P64第11题）
12的因数有：1，2，3，4，6，12。
16的因数有：1，2，4，8，16。
44的因数有：1，2，4，11，22，44。
12、16和44的最大公因数是：4。
答：每段最长是4cm。
【板书设计 思维导图】

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