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第1课时 找次品
教案
教学目标：
1.学会用图形、符号等直观方式清晰、简明地表示数学思考的过程，培养逻辑思维能力。
2.通过解决生活中的简单问题，培养应用意识和解决问题的能力，感受解决问题策略的多样性。
教学重点：
探究并掌握解决问题的最优策略。
教学难点：
经历由多样化到优化的思维过程。
【创设情境 引入新课】
以“引入2”为例。
师：在上新课之前，我们一起来玩一起考眼力游戏，怎么样？
学生兴奋欢呼。
师：哪个与其他不一样？
师：谁找的最快？
学生抢答。
师：刚才是用眼睛发现的不一样，如果遇到用眼睛无法辨认的情况，该怎么办呢？今天这节课，我们就来了解“找次品”。
设计意图：通过让学生体会用双眼找出不同类的眼力小游戏，调动学生参与课堂的积极性，迅速吸引注意力。
【合作交流 探索新知】
一、解决找次品问题的基本思路
出示例1：有3瓶钙片，其中1瓶少了3片，看作次品。你能设法把它找出来吗？
师：当1瓶里面少了3片，这时候这一瓶钙片是不合格的，我们称之为次品。同学们，你们有什么办法可以把它找出来吗？
生1：我用手掂了掂，掂不出来。
生2：可以用天平称一称。
师：少3片的那瓶钙片的质量肯定比其他 2 瓶的轻一些还是重一些呢？天平会有什么变化呢？同学们分组讨论一下，会出现怎么样的结果呢？
合作交流，分组讨论，派代表回答问题。
师：任意拿 2 瓶钙片分别放在天平左右两边的托盘中，发现天平平衡了，那么哪一瓶是次品呢？
生：天平平衡了，剩下的那瓶就是次品。
师：如果不平衡呢？
生：如果不平衡，轻的那瓶是钙片。
师：同学们，你们能想办法把用天平找次品的过程，清楚地表示出来吗？合作交流，分组讨论，得出你们的结果。
合作交流，分组讨论。派小组代表回答问题。
生：我用长方形表示钙片，并在每个长方形上记上数字做标记区分。可以这样记录。
先拿出1号和2号进行称量，如果天平平衡，那么3号就是次品。如果不平衡，轻的是次品。
师：很好，那么这样称量需要称几次呢？
生：1次。
师：同学们想一想如果钙片不止3瓶呢？
二、运用优化策略解决找次品问题
出示例2：8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？
师：从多个零件中找一个次品又该怎么找呢？首先我们要审题，题目中至少称几次能保证找出次品是什么意思？
生：保证能找出次品的最少次数。
师：所以要排除运气最好的情况。那么接下来这句话你们觉得对不对呢？
“如果我随机拿2瓶称，称第一次就发现天平不平衡，重的是次品。所以至少1次就可以找到次品。”
学生自由回答。
师：你们打算怎样表示找次品的过程？分组合作，讨论交流，派代表回答问题。
分组合作，讨论交流。
（1）方法一：把8个零件分成8份，每份1个。
生：我用圆形来表示零件，并给每个零件标号，再把8个零件分成8份，每份1个。取出1号和2号，用天平测量，如果平衡，说明1号和2号都不是次品，如果不平衡，那么说明重的一端是次品。但是平衡的可能性还要接着往下寻找次品。取出下一组，3号和4号，如果平衡，说明次品不是3号和4号，还要继续找，但是如果不平衡，这么就说明次品是3号或者4号，看天平轻的一端不是次品，重的一端是次品。
师：很好，至少要称多少次？
学生自由回答。（操作后出示答案：4次）
（2）方法二：把8个零件分成4份，每份2个。
师：我们将1号2号和3号4号为一组，放在天平的左右两边，如果天平平衡，说明次品在剩下的四个零件中，因此再各放5号6号和7号8号，这时候重的一边有次品，假如是7号和8号偏重，我们取出7号和8号，各放在天平两端，找出次品。这时候同学们发现这样要称多少次呢？
生：称3次。（操作后出示答案）
师：如果在称1、2号、3号和4号时就以及有不平衡的状况出现了，又称了多少次呢？
生：2次。（操作后出示答案）
师：很好，综上所述，至少多少次能保证找出次品？
生：3次。
师：你还能想出其他方法吗？
（3）方法三：把8个零件分成2份，每份4个。
生：把8个零件分成2份，每份4个。肯定会有一边是重一点的，假如5、6、7、8号偏重，则次品一定再其中。取出5、6、7、8再分一半，进行左右两边测量，重的一边有次品，再将其取出进行比较找出次品。
师：这个方法至少多少次能保证找出次品？
生：3次。（操作后出示答案）
（4）方法四：把8个零件分成3份，每份个数分别是3，3，2。
师：这种方法怎么找次品呢？
生：将1、2、3和4、5、6分别放在天平的两边，如果平衡，说明次品在剩下的2个零件中。再将剩下的零件放在天平的两端。较重的一段是次品。
师：很好，那如果不平衡呢？
生：如果不平衡，说明次品在重的一端。剩下的不可能是次品，所以不用考虑。假如4、5、6较重，则任意取出两个放在天平的两段进行称量，如果不平衡，重的一段是次品，如果平衡，剩下的那一个是次品。至少2次能保证找出次品。（操作后出示答案）
师：将探索的情况填入下表。
（1）表中哪种方法需要称的次数最少？
生：最后一种方法。8个零件分成3份找次品时，称的次数最少，至少称2次就能保证找出次品。
师：如果零件不止8个呢？
（2）如果9个零件中有1个次品（次品重一些），至少称几次能保证找出次品？是怎么称的？
师：同学们分组讨论，合作探究，完成这个表格。
分组合作，讨论交流。派代表回答问题。
出示答案：
生：9个零件分成3份找次品时，称的次数最少，至少称2次就能保证找出次品。
师：同学们你们发现什么规律吗？
（3）你能发现什么？用你发现的方法找出10个、11个零件中的1个次品（次品重一些），看看是不是保证找出次品的次数也是最少的。
师：同学们你们发现什么规律吗？
生：我发现，分成3份且每份的数量尽可能相等时，称的次数最少。
师：那我们来验证看看是不是这样。如果是10个零件，那么可以分成3份，其中两份是3个，一份是4个，先测量两份3个的放在天平两边测量，如果平衡，说明次品在剩下的4个中，再将其均分称2份，再测量，重的一端有次品，再将2个分成2份，每份1个。最后得出结果。这样要称3次。如果不平衡呢？
生：如果不平衡，说明次品在重的一段，取出3个零件，进行比较，任意取出2个比较，平衡则次品是剩下的那个，不平衡，则较重的为次品。这样要称2次。
师：那么至少称多少次呢？
生：3次。
师：如果从11个中找次品呢？
生：分成3份，其中2份是4个，1份是3个。如果4个和4个对比是平衡的，说明次品在剩下的3个中，再对其进行称量。如果不平衡，就对剩下的进行对比称量。得出最后结果。这样至少称3次。
三、小结。
在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。
设计意图：通过小组合作的方式，在交流中探寻解决问题的方法，多种方法，找出解决问题的最优解，培养学生由多样化到优化的思维。
【当堂练习 及时反馈】
一、入门
1.5瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。
（教材P114第1题）
2.用尽可能少的次数找出次品，你会对待测物品进行分组吗？（每组物品里有1个次品）
3.选一选。
（1）10盒外包装完全一样的月饼中有1盒质量偏轻，用天平至称（ C ）次能保证把它找出来。
A.1 B.2 C.3
（2）有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了3片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（ B ）种分法比较合理。
（3）有3盒巧克力，其中的一盒为次品（可能比其他2盒轻，也可能比其他2盒重），用天平至少称（ C ）次，能保证找出那盒次品。
A.1 B.2 C.3
二、巩固
4.有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？（教材P114第2题）
答：至少称4次能保证找出这瓶盐水。
5.有13个零件，其中的12个质量相同，另一个是次品，次品较轻。
（1）如果用天平称，至少称几次可以找出来？
答：3次。
（2）如果在天平两边各放6个零件，称一次有可能称出来吗？为什么？
答：有可能。天平两边各方5个零件，若天平平衡，则剩下的一个零件次品。所以称一次有可能称出来。
三、挑战
6.有8瓶矿泉水，编号是①至⑧，其中有6瓶一样重，是合格产品，另外2瓶都轻5g，是不合格产品。用天平称了3次，结果如下：第一次①+②比③+④重；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次①+③+⑤与②+④+⑧一样重。那么这2瓶不合格产品分别是几号？
答：④和⑤。
四、拓展
你知道吗？
用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的次数有以下关系。（只含1个次品，已知次品比正品重或轻。）
从表中你能发现什么规律？为什么？
需要称量n次，待测物品的数量为（3n-1+1）到3n之间。
【板书设计 思维导图】
找次品
在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。

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