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17.2 勾股定理的逆定理
第 1 课时 勾股定理的逆定理
教学内容 第 1 课时 勾股定理的逆定理 课时 1
核心素养目标 1.会用数学的眼光观察现实世界：能从直观的数据中，发现数学问题得出猜想，培养观察能力，发展合情推理能力，体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣. 2.会用数学的思维思考现实世界：能够运用原命题、逆命题、逆定理的概念培养学生的逻辑思维能力，举一反三的合情推理能力. 3.会用数学的语言表示现实世界：利用勾股定理的逆定理解决实际问题可以培养学生的发散思维和综合解决问题的能力、提高学生分析问题和解决问题能力.
知识目标 1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理. 2.探究勾股定理的逆定理的证明方法. 3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.
教学重点 掌握勾股定理的逆定理的证明及运用.
教学难点 勾股定理的逆定理的证明.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 回顾旧知，导入新知 问题1前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？ 师生活动：学生共同背出勾股定理概念及公式，教师播放课件或板书. 教师叙述：如果把公式写出命题的形式，可以得到 题设(条件)：直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c. 结论：a2 + b2 = c2. 问题2反过来，如果一个三角形的三边长 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2. 那么这个三角形的题设和结论是怎样的？ 题设(条件)：三角形的三边长 a，b，c， 满足a2 + b2 = c2. 结论：这个三角形是直角三角形. 结论能成立吗？ 小组合作，探究概念和性质 知识点一：勾股定理的逆定理 据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 提问 这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 师生活动：学生独立思考，遇到困惑时教师顺势追问：这个三角形三边有什么关系吗？通过计算发现 32 + 42 = 52. 画一画 下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长 (单位：cm) 画三角形：① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5. 量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度数. 想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想. 师生活动：学生按照课件展示的步骤，完成作图和测量，得出测量结果后小组讨论. 教师追问：你们能得出什么猜想吗？ 预设：用一组含有两个数的平方和等于第三个数的平方的数据，绘出的三角形是直角三角形. 教师总结猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 证一证： 已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c ，满足a2 + b2 = c2． 求证：△ABC 是直角三角形． 师生活动：学生独立思考，教师提示，可以利用全等证明.构造Rt△A′B′C′，选取合适的对应条件，再证明△ABC≌△A′B′C′学生独立完成证明过程. 追问：你会选择什么对应条件呢？ 预设1：两直角边分别为a，b 的 预设2：一条直角边为a，斜边为c. 学生独立完成证明，选一名学生板书. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： (1) a = 15，b = 8，c = 17； (2) a = 13，b = 14，c = 15. 师生活动：教师提问：三边长 a，b，c 满足什么条件的三角形是直角三角形？ 预设：a2 + b2 = c2. 追问：怎么判断题(1)、(2)的条件能否构成直角三角形呢？ 预设：计算题(1)、(2)中的 a，b，c 的值是否满足 a2 + b2 = c2. 学生独立完成计算，选两位同学板书，教师巡视. 练习2.一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 ( ) A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 知识点二：勾股数 教师叙述：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 性质：一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 知识点三：互逆命题与互逆定理 教师叙述：前面我们学习了两个命题，分别为： 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2. 命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 问题3观察两个命题的题设和结论，它们有何联系？ 师生活动：预设：它们是题设和结论正好相反的两个命题. 归纳总结： 互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 互为逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理. 追问1我们学习了哪些互为逆定理的定理吗？ 预设：勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 追问2命题全是真命题吗？ 预设：存在假命题. 追问3请同学们举出一些互逆命题，并思考：原命题正确，它的逆命题是否也正确呢？ 师生活动：学生分组讨论合作交流，然后举手发言，教师适时记下一些互逆命题.(如：①对顶角相等和相等的角是对顶角②两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.) 教师总结： (1) 命题有真有假，而定理都是真命题； (2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； (3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系. 三、当堂练习，巩固所学 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到 的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 3.在△ABC 中，∠A， ∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c. ①若∠C - ∠B = ∠A，则△ABC 是直角三角形； ②若 c2 - b2 = a2，则△ABC是直角三角形，且∠C = 90°； ③若 (c + a)(c - a) = b2，则△ABC 是直角三角形； ④若∠A∶∠B∶∠C = 5∶2∶3，则△ABC是直角三角形. 以上命题中的假命题有 （ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断△ABC 的形状. 设计意图：巩固学生对巩固定理概念及公式的记忆，为后面学习勾股定理逆定理做准备. 设计意图：把勾股定理表示成命题的形式，方便学生理解和探究勾股定理的逆定理的概念. 让学生带着问题思考，如果反过来结论能成立吗？激发学生的学习兴趣. 设计意图：用古埃及人的巧思，引导出直角三角形的判定方法，让学生意识到数学来源于生活. 设计意图：通过故事引入和提问，让学生形成大致的猜想；通过亲自画图测量和小组讨论，让学生从直观的数据中总结猜想.培养学生观察发现、猜想和总结的能力. 设计意图：用完整的证明让学生感悟数学的严谨性，锻炼学生的综合应用能力. 设计意图：勾股定理体现由“形”到“数”的判定方法，而其逆定理体现由“数”到“形”的判定方法，加强学生数形结合的思维能力. 设计意图：学以致用，巩固学生对勾股定理逆定理的理解，培养学生的应用能力和解题能力. 设计意图：学以致用，巩固学生对勾股定理逆定理的理解，培养学生的应用能力和解题能力. 设计意图：勾股数的定义不难理解，这里只做直叙. 设计意图：回顾命题知识点，加强新旧知识联系. 设计意图：教师直叙，再通过问题串的方式，引导学生进行猜想和判断，加深对互逆命题和互为逆定理的理解. 设计意图：考查学生勾股数概念的掌握. 设计意图：考查对勾股数的概念和性质的掌握. 设计意图：考查运用勾股定理的逆定理和勾股数概念的掌握. 设计意图：考查学生结合新旧知识（整式的乘法）解决问题的能力，以及对简单勾股数的掌握.
板书设计 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思 勾股定理的逆定理的证明是先作一个合适的直角三角形，再证明有已知条件的三角形和直角三角形全等等，这种证法学生不容易想到，难以理解，在教学时应该注意启发引导.

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