资源简介

5.1 相交线
5.1.2 垂线
教学内容 5.1.2 垂线 课时 1
核心素养目标 1.会用数学的眼光观察现实世界：通过观察实景图册，理解垂线、垂线段的概念，在作图中掌握点到直线的距离的概念，培养抽象能力和空间观念. 2.会用数学的思维思考现实世界：会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离，发展应用能力和作图能力. 3.会用数学的语言表示现实世界：掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理，培养数学思维自主思考的习惯，发展推理能力和数学表达能力.
知识目标 1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线； 2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离； 3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．
教学重点 1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线； 2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
教学难点 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．
教学准备 课件、可拨动的木架
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习 一、新课导入 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 师生活动：教师出示图片，学生观察后发言，教师结合学生发言画出直线（如下） 预测学生能发现两条直线存在垂直的现象，只是暂时无法用数学语言描述，教师可做简单的引导. 日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？ 二、探究新知 知识点一：垂直、垂线、垂足的概念 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α . 转动木条的同时观察其夹角的变化. 师生活动：教师做示范，这里只让学生拿出事先准备好的木架，保证课堂安全；学生跟随教师一起拨动木架，转动木条的同时观察其夹角的变化. 合作探究： 探究1 (1) 当 ∠α 分别为 35°、90°时，其余的角分别是多少？ (2) 当 ∠α 为 90°的位置关系有几个？此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？ 师生活动：学生独立思考解答问题(1)； 观察木条位置关系，经过独立思考和小组讨论，选派代表解答问题(2)， 预设：当 ∠α 为 90°的位置关系只有一个； 学生在教师的引导下共同总结此时两根木条的位置关系——a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 定义总结 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另外一条直线的垂线. 记法： AB⊥CD，垂足为 O. 符号语言： 因为∠AOC = 90°， 所以 AB⊥CD. 知识点二：垂线的画法及基本事实 探究2 (1) 画已知直线 l 的垂线能画几条 (2) 过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条 (3) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条 师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习垂线的画法(把直尺放在直线 l的位置，再把直角三角尺的一条直角边靠在直尺上，最后沿着直角三角尺的另一条边画出直线)，作图后回答问题. (1) 如图，已知直线 l，画 l 的垂线. 追问1 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 预设：无数条. (2) 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 画 l 的垂线. 追问2 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 预设：一条. (3) 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 画 l 的垂线. 追问3 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 预设：一条. 定义总结： 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 例1 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线． 师生活动：学生独立思考并完成作图；对题(2)有困难的学生，教师可适当提示——线段的垂线，垂足可能落在线段的延长线上. 答案： 知识点三：点到直线的距离 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短的位置. 师生活动：预测学生能够在教师的引导下，根据实际问题，转化成点到直线的距离问题；学生独立思考完成画图，并用直尺测量；小组讨论，选代表回答讨论的发现，师生共同完成总结. 预设1：运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短. 预设2：这样的线段 PO 只有一条. 定义总结： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 线段 PO 的长度叫做点到直线的距离. 练习 1. 如图，下列说法正确的是 （ ） A.线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离 B.线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 BC 的距离 C.线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离 D.线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离 三、当堂练习 1. 在下列条件中：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等，可以判定两条直线互相垂直的是（ ） A.①② B.①③
C.②③ D.①②③ 2. 如图，直线 AB 和 CD 交于点 O，OD 平分∠BOF，OE⊥CD，垂足为 O，∠AOC = 40°，则 ∠EOF =_____. 3. 如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. (1) 不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 M 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2) 计划把河水引入蓄水池 M 中，怎样开渠最短并说明根据. 设计意图：让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题，能由实物抽象出相互垂直的直线，进一步学生增强对生活中的相交的线的认识，发展抽象能力和空间观念. 设计意图：让学生思考现实生活中的例子，感受数学知识无处不在，体会本节课的现实意义. 设计意图：通过动手操作与观察，帮助学生构建相交线的几何模型，转动木条时，两根木条之间的夹角不断变化，两条相交线形成的角也在不断变化；通过观察发现特殊的位置关系，引出垂直的概念. 设计意图：结合直线垂直关系概念，便于学生在图形中辨认，培养抽象能力和观察能力，在学生解答问题时，引导学生用几何语言规范表达，帮助学生更好的学习概念与运用几何语言. . 设计意图：培养学生自主学习的习惯，在动手实践中得出探究答案；提高作图能力、发展实践能力. 设计意图：紧扣本节课主线，让学生作图中，并经历“观察——猜想——验证——总结”的研究过程，提高学生的探索能力和归纳总结能力. 设计意图：通过练习，提高学生的相关作图能力，在练习中进一步理解、巩固垂线的定义. 设计意图：通过解决实际问题，培养学生的抽象能力，感受所学在实际生活中的应用，发展应用意识和实践能力. 设计意图：通过观察时间和小组讨论，在教师的引导下完成总结，培养交流能力和观察总结能力，在探索中获得成就感. 设计意图：巩固学生对点到直线的距离的理解和认识. 设计意图：考查学生对垂直关系的认识，培养推理、分析意识. 设计意图：考查学生对垂直、对顶角、角平分线概念的掌握，和运用他们的定义进行简单运算的能力. 设计意图：考查学生对垂直关系、垂线的作图方法和点到直线的距离概念的掌握，锻炼学生的抽象能力和综合所学解决实际问题的能力.
板书设计 5.1.2 垂线 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另外一条直线的垂线. 记法： AB⊥CD，垂足为 O. 符号语言： 因为∠AOC = 90°， 所以 AB⊥CD.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 垂线的性质和定义，都是通过操作、探究获得的. 为了获得垂线的性质，在这里仍要让学生动手画图，再经过小组讨论，体会垂线的存在性和唯一性，归纳出“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一的性质；“垂线段最短”的性质在日常生活中有着广泛的应用，教材由实际问题引入，由解决实际问题结束.教学时，应多举一些这方面的实例，让学生体会这一性质的应用；同时发展学生的抽象概括能力和空间观念.

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