资源简介

圆
知识盘点
知识点1：圆的认识
1、定义：由曲线围成的封闭图形。
2、各部分的名称：
①圆心——圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。
②半径——连接圆心与圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。
③直径——通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。
④一个圆只有一个圆心，有无数条半径和无数条直径。
知识点2：圆的特征
1、在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径长度的2倍，用字母表示为d=2r或r=
2、圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。
知识点3：用圆规画圆
①把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离作为半径。
②把带有针尖的脚固定在一点上作为圆心。
③把装有铅笔芯的脚旋转一周，即可画出一个圆。
知识点4：圆的周长
（1）圆的周长的定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，一般用字母C表示。
（2）圆周率：圆的周长与它的直径的比值为一定值，这个定值就是圆周率，用
字母π表示，一般在计算时π取3.14。
（3）圆的周长计算公式：C=2πr或C=πd
（4）半圆的周长：半圆的周长为圆周长的一半加上2条半径或1条直径的长度。
知识点5：圆的面积
（1）圆的面积的定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。
（2）圆的面积计算公式：S=πr
（3）圆环的面积计算公式：S=π（R -r ） （R为外圆半径，r为内圆半径）
（4）外方内圆：正方形的边长是圆的直径。（如右图示）
（5）外圆内方：正方形的对角线是圆的直径，把正
方形看作两个等腰直角三角形。（如下图示）
知识点6：扇形
1、各部分的名称：
（1）弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。弧是圆的一部分。
（2）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
（3）圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。
（4）在同圆或等圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越
大，扇形就越大。
易错集合
易错点1：在组合图形中，准确找出半径
典例 如图示，在一个长10厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的圆O，剩下的部分再画一个最大的圆C，那么圆C的半径是多少厘米？
解析 在长方形中画得最大圆O 的直径为长方形的宽，6厘米，长方形剩余部分的长为6厘米，宽为10-6=4厘米。此时在长方形剩余部分再画一个最大的圆C，那么圆C 的直径=长方形剩余部分的宽
解答 10-6=4（厘米） 4÷2=2（厘米） 答：圆C 的半径为2厘米。
针对练习1
一个长方形纸片的长为20厘米，宽为16厘米，如果要剪出直径是5厘米的圆形纸片，最多可以剪出多少个？
易错点2：圆的周长公式的应用
典例 一根铁丝可以围成一个半径是5分米的圆，如果用这根铁丝围成一个最大的正方形，那么正方形的边长是多少分米？（π取3.14）
解析 根据题意可知，用同一根铁丝分别围成正方形和长方形，其长度没有改变，即围成的正方形的周长和围成的长方形的周长相等。
解答 5×2×3.14÷4=7.85（分米）
答：正方形的边长是7.85分米。
针对练习2
一个圆形的铁环，直径是40厘米，做一个这样的铁环需要多长的铁条？
易错点3：计算圆周长的一半
典例 在下图中，从M到N，路线①与路线②相比哪条路更近？
解析 根据圆的周长公式分别求出两条线路的长度，然后比较大小即可。
解答 路线① 3.14×（2+4+6）÷2=18.84（cm）
路线② 3.14×2÷2+3.14×4÷2+3.14×6÷2=18.84（cm）
答：线路①和线路②一样近。
针对练习3
右图中阴影部分的周长是多少厘米？
易错点4：有关半圆形的周长的计算
典例 如图示，空白部分的周长正好是14.28分米，那么这个正方形的边长是多少分米？
解析 空白部分的周长=圆的周长+2圆的半径
观察图可知，圆的半径=正方形的边长
解答 解：设圆的半径为r。
3.57r=14.28
r=4
答：这个正方形的边长是4分米。
针对练习4
围着一个半圆形湖的四周走一圈正好是1028米，如果沿着直径每隔5米种一棵杨树（两端都种），一共需要多少棵树苗？
易错点5：圆周长与行程问题的转化
典例 李静的自行车车轮半径是36厘米，车轮每分钟转100圈，李静家距离学校3200米。她从家到学校骑自行车大约需要多少分钟？（得数采用进一法，保留整数）
解析 自行车车轮的周长×100可得出一分钟车轮行走的距离，即每分钟的速度，家距离学校3200米为总距离，根据公式“时间=总距离÷速度”。
解答 36×100=3600（厘米） 3600厘米=36米 3200÷36≈89（分钟）
答：她从家到学校骑自行车大约需要89分钟。
针对练习5
一个铁环的直径是80厘米，把它从操场西端到东端沿直线正好滚动了300圈，如果用另一个直径为60厘米的铁环，也把它从操场西端沿直线滚动到东端，需要滚动多少圈？
易错点6：圆的面积公式的应用
典例 如图示，在一个长6米，宽4米的长方形羊圈外的一个角上拴着一只羊，绳长5米。羊在羊圈外可以活动的最大范围是多少？（试画图分析）
解析 羊可以活动的最大范围应该是拉紧绳子绕一圈的面积，但因为在正方形羊圈外的一角上，所以不能进入羊圈内。
通过画示意图可以看到羊可以活动的范围应该是以5米为半径的圆的面积的与（5-4）米为半径的圆的面积的的和。
解答 3.14×5×5×+3.14×1×1+=59.66（㎡）
答：羊在羊圈外可以活动的最大范围是59.66㎡。
针对练习6
在一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸上剪下两个最大的圆，且这两个圆一样大，那么每个圆的面积是多少平方厘米？
易错点7：圆、长方形、正方形的周长和面积的综合应用
典例 如图示， 长方形的面积和圆的面积相等。已知阴影部分的面积是9.42平方厘米，长方形的长是多少？阴影部分的周长是多少？
解析 根据题意可知，圆的面积和长方形的面积相等，
即S圆=S长 → S圆=圆+S阴 → S圆=9.42 S圆=9.42÷
求出圆的面积可以到推出圆的半径，观察图可知圆的半径和长方形的宽相等，再根据圆的面积和长方形的面积相等，求解出长方形的长。
阴影部分的周长=圆的周长+长方形的长+（长方形的长-圆的半径）+长方形的宽
解答 圆的面积：9.42÷=12.56（平方厘米）
圆的半径：r =12.56÷3.14=4（厘米） r=2厘米
长方形的长：12.56÷2=6.28（厘米）
阴影部分的周长：
（厘米）
答：长方形的长是6.28厘米。阴影部分的周长是15.7厘米。
针对练习7
一个正方形铁丝方框的边长是7.85分米，工人师傅把这个正方形拉成一个最大的圆，圆的面积和正方形的面积相差多少？
易错点8：外方内圆与外圆内方问题
典例 在一个边长为10米的正方形花坛中央建一个最大的圆形花池，求花池的面积。
解析 在正方形中央建一个最大的花池，就是在正方形中画一个最大的圆，而这个圆的直径等于这个正方形的边长。
解答 （10÷2） ×3.14=78.5（平方米）
答：花池的面积为78.5平方米。
针对练习8
如图示，在两块一样大的正方形草地正中央各拴着一只羊，甲羊绳长是乙羊的2倍，且不大于草地边长的。那么甲羊能吃到的草是乙羊的几倍？吃完后，两只羊绕空地散步，甲羊走的路是乙羊的几倍？
易错点9：圆和长方形、正方形组合图形的面积
典例 如图示，已知正方形的面积为16平方米，求阴影部分的面积。
解析 此题可以出，所求的阴影部分为圆面积的，圆的面积公式为 πr ，要求圆得面积需要知道半径的长度。已知正方形的面积为16，正方形的面积公式为边长×边长，由图可以看出，圆的半径=正方形的边长，即可知圆半径的平方=正方形边长的平方=正方形的面积=16
解答 3.14×16×37.68（平方米） 答：阴影部分的面积为37.68平方米。
针对练习9
如图示，求阴影部分的面积。
易错点10：圆和其他图形的组合图形的面积
典例 如图示，圆的半径示2厘米，CD=BD=AD，求阴影部分的面积。
解析 通过观察上方的阴影可以填补到下方，与下方的阴影部分组成一个三角形，即求阴影部分变成求下面三角形的面积。
解答 AB=2r=4（厘米） 4×4÷2=8（平方厘米） 8÷2=4（平方厘米）
答：阴影部分的面积为4平方厘米。
针对练习10
如图示，每个小圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的周长和面积是多少？
跟踪训练
一、填空
1、一个圆有(　　)条直径,所有的直径都(　　),直径的长度是半径的(　　)倍。2、圆有(　　)条对称轴,长方形有(　　)条对称轴。
3、李玲用圆规画一个直径为6.8厘米的圆，圆规两脚间的距离应该是（ ）
厘米。
4、如果在一张直径为8厘米的半圆卡纸内剪下一个最大的三角形，则这个三角
形（如右图）的面积是（ ）平方厘米。
5、一个圆环的内圆直径是4分米,外圆直径比内圆的多
2分米，那么这个圆环的面积是（ ）平方分米。
6、一条长21.98分米的彩带正好够绕着一根圆形柱子一圈，那么这根柱子的半
径是（ ）厘米。
7、如果把一个面积是113.04厘米的圆平均分成两个半圆，那么每个半圆的周长
是（ ）厘米。
8、(　　)个圆心角是90°的相同大小的扇形可以组成一个圆。
9、如果两个圆的半径的比是7∶5，那么这两个圆的周长的比是（ ）。
10、下图中，这个大长方形的面积是（ ）平方厘米。（单位：厘米）
二、选择
1、将一个圆对折两次，可以得到这个圆的（ ）。
A、周长 B、直径 C、圆心 D、面积
2、在一张长为26厘米、宽为18厘米的长方形纸片上剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是（ ）厘米。
A、18 B、9 C、26 D、13
3、下列图形中，（ ）的对称轴条数最多。
A、平行四边形 B、长方形 C、等边三角形 D、圆
4、一个圆的直径和一个正方形的边长相等,这个圆的面积和这个正方形的面积的关系为(　　)。
A.圆的面积大 B.正方形的面积大 C.两者的面积相等 D.不能比较
5、两个圆的半径比是2∶3,这两个圆的面积比是(　　)。
A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.9∶4
三、判断。
1、把圆形纸片按不同的方向对折,折痕一定都通过圆心。 (　　)
2、两个圆一定可以拼成一个圆环。（ ）
3、 如果大圆的半径是小圆半径的2倍，那么大圆面积是小圆面积的4倍（ ）。4、圆越大,圆周率越大。 (　　)
5、一个半圆只有一条对称轴。 (　　)
四、计算
1、求下面图形的周长和面积。
（1）
（2）
（3）
2、求下图中阴影部分的面积。
（1）
（2）
五、解决问题
1、一辆20寸自行车的车胎直径约是51厘米，那么这个车轮滚动一周是多少米？如果要经过一座长1760米长的大桥，自行车的车胎需要转动多少圈？（得数保留整数。）
2、一根圆柱形木材,它的横截面的周长是1.884米,这根木材的横截面的面积是多少平方米 (得数保留两位小数)
3、一台压路机前轮的半径是0.4米,如果前轮每分钟转动6周,10分钟可以从路的一端行到另一端,这条路大约有多长
4、公园里有一个圆形的养鱼池,量得养鱼池的周长是100.48米,养鱼池的中间有一个圆形小岛,半径是6米。这个养鱼池的水域面积是多少
5. 如图,已知圆外面正方形的面积是15平方分米,阴影部分的面积是多少平方分米
参考答案
针对训练
针对训练1：20÷5=4（个） 16÷5=3（个）……1（厘米） 4×3=12（个）
答：最多可以剪出12个。
针对训练2：40×3.14=125.6（厘米）
答：做一个这样的铁环需要125.6厘米的铁条。
针对训练3：方法一：3×2×3.14÷2+3×3.14÷2×2=18.84（厘米）
方法二：3×2×3.14=18.84（厘米）
答：阴影部分的周长是18.84厘米。
针对训练4：解：设半圆形湖的半径为r米。
2r+2r×3.14÷2=1028
r=200
直径为200×2=400（米） 400÷5+1=81（棵）
答：一共需要81棵树苗。
针对训练5：大铁环周长：80×3.14=251.2（厘米）
直线距离251.2×300=75360（厘米）
小铁环周长：60×3.14=188.4（厘米）
75360÷188.4=400（圈）
答：需要滚动400圈。
针对训练6：如图示：
3.14×7.5×7.5=176.625（平方厘米）
答：每个圆的面积是176.625平方厘米。
针对训练7：正方形周长:7.85×4＝31.4（分米）
圆半径:31.4÷3.14÷2＝5（分米）
圆面积:5×5×3.14＝78.5（平方分米）
正方形面积:7.85×7.85＝61.6225（平方分米）
面积差:78.5-61.6225＝16.8775（平方分米）
答：圆的面积和正方形的面积相差16.8775平方分米。
针对训练8：方法一（设数法）设乙羊的绳长是1米，则甲羊的绳长是2米。
甲羊吃到的草面积是乙羊的倍数为：
2×2×3.14÷（1×1×3.14）＝4
甲羊走的路是乙羊的倍数为
2×2×3.14÷（2×1×3.14）＝ 2
方法二（公式法）解：设乙羊的绳长为r，则甲羊的绳长为2r。
π（2r）2÷r2＝4π×2r×2÷2πr＝2
答:甲羊吃到的草是乙羊的4倍，甲羊走的路是乙羊的2倍。
针对训练9：（8-6）÷ 2＝1（cm） 6÷2＝3（cm）
方法一（8×6-3.14×32-3.14×12）÷2＝8.3（cm2）
方法二8×3-3.14×32÷2-3.14×12÷2＝8.3（cm2）
答:阴影部分的面积是8.3cm2。
针对训练10：由图可知大圆的半径为3厘米，直径为6厘米。
3.14×6＋3.14×2×1×7＝62.8（厘米）
3.14x32-3.14x12x7＝6.28（平方厘米）
答:阴影部分的周长是62.8厘米，阴影部分的面积是6.28平方厘米。
跟踪训练
一、1、无数 相等 2、无数 2 3、3.4 4、16 5、21.98
6、3.5 7、37.68 8、4 9、7：5 10、392
二、1、C 2、B 3、D 4、B 5、C
三、1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、√
四、1、（1）面积：50.24cm 周长：25.12cm
（2）面积：14.13cm 周长：15.42cm
（3）面积：37.68cm 周长：26.84cm
2、（1）2.86dm
（2）25.12cm
五、1、自行车车胎的周长：51×3.14=106.14（厘米）
1760÷106.14≈17（圈）
答：自行车的车胎需要转动17圈。
2、1.884÷3.14÷2=0.3(米) 3.14×0.32≈0.28(平方米)
答：这根木材的横截面的面积是0.28平方米。
3、3.14×0.4×2×6×10=150.72(米)
答：这条路大约有150.72米。
4、100.48÷3.14÷2=16(米) 3.14×(162-62)=690.8(平方米)
答: 这个养鱼池的水域面积是690.8平方米。
5、解：设圆的半径为r。
大正方形的面积=2r×2r=15　r2=
圆的面积=πr2=3.14×=11.775(平方分米)
小正方形的面积=r×r÷2×4=7.5(平方分米)
阴影部分的面积=11.775-7.5=4.275(平方分米)
答：阴影部分的面积是4.275平方分米。

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