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第五章 三角函数
5.6.2 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）的图像
教学设计
一、教学目标
1.通过本节课的学习，掌握用“五点法”画函数的图像的方法，达到直观想象核心素养学业质量水平一的层次.
2.熟练掌握ω，φ，A对函数图像的影响，达到直观想象核心素养学业质量水平二的层次.
3.理解与的图像之间的变换关系，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.
二、教学重难点
1.教学重点
用“五点法”画函数的图像，函数的有关性质和应用.
2.教学难点
图像变换与函数解析式变换的内在联系.
三、教学过程
（一）引入课题
阅读教材第231-232页5.6.1的内容，观察筒车，想象其作用.
教师：引导学生阅读材料，并思考筒车的作用.
教师：你还能说出两角和与差的其他三角函数公式吗？
学生：阅读教材，小组讨论，提出个人观点，交流古代筒车的发明与作用.
（二）探究一：A对函数图像的影响
1.你能讨论一下参数A对的图像的影响吗？
教师指派一名学生借助信息技术画出时，函数的图像，并观察与
的图像之间的关系.
学生画图，并观察变化规律.
引导学生总结，并与教材相关段落对照.
2.你能讨论一下参数A对的图像的影响吗？
借助信息技术画出时，函数的图像，并观察与
的图像之间的关系.
学生画图，并观察变化规律.
教师引导学生总结参数A对函数的图像的影响.
学生小组合作探索总结，学生展示，教师补充完善，得出结论.
3.一般地，函数的图像，可以看作是把的图像上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.从而，函数的值域是，最大值是A,最小值是-A.
探究二：探索与的图像之间的变换关系.
由的图像得到的图像的变换，参数的变换顺序为
（1）请同学们思考：还有几种其他的变换方法吗？
（2）若参数的变换顺序为，则图像变换的规律是怎样吗？
若参数的变换顺序为，则图像变换规律如下：
把的图像上各点的横坐标都变为原来的倍，可得的图像，把所得曲线向左（向右）平移个长度，可得的图像，再把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，得到的图像.
总结：由的图像得到的图像的两种途径可以通过图形表示，如下图：
（二）课堂练习
1.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为.故选B.
2.若点在函数的图象上，为了得到函数的图象，只需把曲线上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
答案：D
解析：若点在函数的图象上，
则，
即，，即，，又，故，
所以.
又，
所以只需将的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象，故选D.
3.要得到一个奇函数的图象，只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
答案：B
解析：由题意得，
设的图象向左（右）平移个单位长度得到函数的图象，
则，若函数为奇函数，
则，，即，，
结合选项，当时，，
即只需将函数的图象向左平移个单位长度即可，故选B.
4.已知函数的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
答案：A
解析：由的最小正周期是π，得，即，因此它的图象可由的图象向左平移个单位长度得到.故选A.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1. A对函数图像的影响
2. 探索与的图像之间的变换关系.
四、板书设计
第1课时ω，φ，A对函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）图像的影响
1. A对函数图像的影响
2. 探索与的图像之间的变换关系.
教师：你知道分别对函数的图像有什么影响？
学生：思考回答.
（二）探究一：用“五点法”画函数图像.
例1.画出函数在一个周期内的简图.
教师：画函数图像有哪些步骤？
学生：思考后回答展示：列表，描点，连线.
教师：使用“五点法”这“五点”指的哪五点？如何求出x的值？
学生思考后回答展示：
由取来求出相应的x.
解：（“五点法”）由，得
列表：
x
0
0 3 0 -3 0
描点画图：
教师指出：这个曲线也可以由图像变换得到（这是上节课学习的内容）：
即：
探究二：根据函数图像求解析式.
例2.已知函数在一个周期内的图像如图.
求：（1）函数的解析式；
（2）直线与函数图像的所有交点的坐标.
教师：（读题分析）根据图像求出函数的解析式，再列方程求解.
学生独立完成.
教师：对于根据的部分图像求函数解析式的问题，常用的解题方法是：先观察图像及y轴，由最高点的纵坐标确定A值，再观察图像得到周期，从而求出，最后再根据“五点”中的相关点的坐标求，相关点最好用最值点，用零点时要根据图像的走势，搞清是第一零点还是第二零点，此处易出错.
解：（1）
（2）交点的坐标为或，其中.
探究三：三角函数图像变换的综合应用.
例3.已知函数
求的最小正周期和对称中心；
将的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，若
的一条对称轴为，求的值域.
教师读题分析：
（1）由题得，所以.令，得，故的最小正周期为，对称中心为
（2）由三角函数的平移及在闭区间的值域问题得：，又
，的一条对称轴为，解得，所以
当时，，得解.
解：（1）的最小正周期为，对称中心为.
（2）.
教师：本题考查了三角函数的周期、对称中心、对称轴以及在闭区间的值域问题，解决问题的关键在于正确转化函数的解析式，使其转化成的形式，再按照函数的性质求解.
（二）课堂练习
1.为了得到函数的图象，可作如下变换，其中正确的是( )
A.将的图象上的所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B.将的图象上的所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C.将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上的所有点向左平移个单位长度
D.将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，然后将所得图象上的所有点向左平移个单位长度
答案：A
解析：为得到的图象，可将的图象上的所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到；
也可以将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上的所有点向左平移个单位长度而得到.故选A.
2.要得到函数的图象，只需将的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
答案：C
解析：，
要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.故选C.
3.为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
答案：A
解析：因为,所以将的图象向右平移个单位长度后可得到的图象. 故选A.
4.将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数（ ）
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
答案：B
解析：平移后的函数为，令，解得，故该函数在上单调递增，当时，选项B满足条件.故选B.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
用“五点法”画函数图像.
根据函数图像求解析式.
三角函数图像变换的综合应用.

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