资源简介

1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
教学内容 第1课时 直角三角形的性质与判定 课时 1
核心素养目标 1.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力， 2.证明直角三角形的性质定理及判定定理. 3.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 4.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.
知识目标 1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定； 2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．
教学重点 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.
教学难点 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 师生活动：学生举手回答问题. 师：这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：直角三角形的性质与判定 问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 证明：△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°. 师生活动：小组内交流讨论后写出证明过程小组长检查. 问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 为什么？ ∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形. 师生活动：小组内交流讨论后写出证明过程小组长检查. 师生总结： 定理1 直角三角形的两个锐角互余. 定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 知识点二：勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. （提前给小组长安排任务：在网上查阅赵爽弦图，毕达哥拉斯证法，课堂上让小组长给大家分享讲解证明方法. ） 证明欣赏 证法1 毕达哥拉斯证法 证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab. ∴ a2 +b2 = c2. 证法2 赵爽弦图 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为　　 　　 ． ∵ c2 = 4 × ab + ( b - a )2 c2 = 2ab + b2 - 2ab + a2 ， c2 = a2 + b2， ∴ a2 + b2 = c2. 勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 这个命题是真命题吗？为什么？ 师生活动：引导学生写出已知和求证的条件，然后一起探究求证. 例1 证明此命题： 已知：如图，在 △ABC 中，AC 2 + BC2 = AB 2. 求证：△ABC 是直角三角形． 分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自己写出证明过程吗？ 证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°， DE = AC，FE = BC， 则 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理). ∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)， ∴ AB2 = DF2. ∴ AB = DF. ∴△ABC≌△DFE (SSS). ∴∠C =∠E = 90°. ∴△ABC 是直角三角形． 归纳总结： 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3) 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4) 知识点三：互逆命题与互逆定理 合作探究： 观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？ 第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流. 说出下列命题的条件和结论： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 观察上面三组命题，你发现了什么？ 师生活动：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系. 让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果...那么....”的形式， 以及能够写出一个命题的逆命题. 活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结. 归纳总结： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 想一想： 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？ 它们都是真命题吗？ 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等. 举特例： 原命题：2 = 2，22 = 22； 逆命题：(2)2 = (-2)2，2≠-2. 此原命题是真命题；逆命题是假命题. 师生活动：学生先独立思考，然后小组交流想法，保证学生的参与度，最终派代表对问题进行讲解. 练一练： 1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ (1) 两条直线平行，内错角相等； (2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等. 师生活动：学生先独立思考，然后学生代表回答问题并进行讲解，得答案： 内错角相等，两条直线平行. 成立 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立 教师引导学生总结. 归纳总结： 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 如：“定理1与定理2”“定理3与定理4”都为互逆定理. 注意： (1) 命题有真有假，而定理都是真命题； (2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； (3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系. 当堂练习，巩固所学 1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( ) A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm 2. 在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明. (1) 同旁内角互补，两直线平行. (2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 设计意图：从学生已有的知识出发，激发学生强烈的好奇心和求知欲. 设计意图：从角的角度研究直角三角形的性质和判定方法，得到下面的性质定理和判定定理. 这两个定理的证明比较简单，应鼓励学生独立证明，下面的证明过程供参考， 设计意图：设置这个提问，为后面学习互逆命题与互逆定理做铺垫. 设计意图：利用图形割补的方法验证了勾股定理，而此处对勾股定理的证明，应以我们认定的几条基本事实和由此推出的定理为依据进行，证明方法有多种，有兴趣的同学可以阅读学习. 设计意图：勾股定理的逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的，《标准》也只要求“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题”，并没有要求证明，因此教学时只要学生能够接受证明的方法和过程即可，不宜对学生提出更高的要求. 设计意图：教科书通过几对数学和生活中的命题，引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，并归纳出它们的共性，以得到互逆命题的概念. 将一个命题的条件与结论互换，就得到这个命题的逆命题，相对于逆命题，原来的命题叫做原命题，原命题与逆命题是互逆关系，因而是相对的.值得注意的是，原命题正确，其逆命题不一定正确. 设计意图：这个命题的条件和结论都比较明显、简单，学生容易写出其逆命题，关键是让学生验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定致. 设计意图：加强学生对命题的逆命题的认识和判断. 设计意图：考查运用勾股定理的逆定理概念的掌握. 设计意图：考查逆命题的认识与判断.
板书设计 1.2.1直角三角形的性质与判定 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
课后小结
教学反思 学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导.使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性.另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距.所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.

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