资源简介

1.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
教学内容 第 1 课时 等腰三角形的性质 课时 1
核心素养目标 1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力. 2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质. 3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.
知识目标 1.回顾全等三角形的判定和性质； 2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.
教学重点 理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.
教学难点 理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 图中有你熟悉的图形吗 它们有什么共同特点 师生活动：教师播放课件，学生独立思考回答问题. 问题1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪 8 条基本事实？ 1.两点确定一条直线. 2. 两点之间线段最短. 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4. 同位角相等，两直线平行. 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8. 三边分别相等的两个三角形全等. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：全等三角形的判定和性质 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS). 问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？ 师生活动: 教学时应鼓励学生独立完成. 教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程. 已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∠D +∠E +∠F = 180° (三角形的内角和等于 180°)， ∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E). ∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)， ∴∠C =∠F (等量代换). ∵ BC = EF (已知)， ∴△ABC≌△DEF (ASA). 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 知识点二：等腰三角形的性质及其推论 问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗 定理：等腰三角形的两个底角相等. 推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一). 问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗 议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？ 已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC. 求证： ∠B = ∠C. 方法一：作底边上的中线 证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD. ∵AB = AC，BD = CD，AD = AD ∴△ABD≌△ACD (SSS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 师：还有其他的证法吗？ 方法二：作顶角的平分线 证明：作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD. ∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD， ∴△BAD ≌ △CAD (SAS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 师生活动: 教学时教师要注意引导学生根据条件正确、规范地写出“已知”“求证”，有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性. 想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么论？ 由△BAD≌△CAD， 可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC， ∠BAD =∠CAD. 又∵∠ADB +∠ADC = 180°， ∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC. 故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高. 师生活动: 让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论. 定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 几何语言： 如图，在 △ABC 中， ∵ AB = AC (已知)， ∴∠B =∠C (等边对等角). 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合(三线合一）. 练一练 1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°， 则∠AED 的度数为( ) A.60° B.90° C. 80° D. 20° 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导. 典例精析 例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上， AB＝AC. (1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE； (2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点， 求证： AF⊥BC. 证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G. ∵ AB＝AC，AD＝AE， ∴ BG＝CG，DG＝EG. ∴ BG－DG＝CG－EG，即 BD＝CE. ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点， ∴ BD＋DF＝CE＋EF， ∴ BF＝CF. ∵ AB＝AC， ∴ AF⊥BC. 当堂练习，巩固所学 1. 如图，已知 AB＝AE，∠BAD ＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________． 2. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为 __________； (2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为 _____________； (3) 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________. 设计意图：通过现实情境中识别出等腰三角形，让学生明白等腰三角形在实际中的运用. 设计意图：从回忆八年级上册“平行线的证明”一章给出的基本事实人手，一方面帮助学生回忆旧知识，另一方面引出本章证明的主要依据. 设计意图：学生在七年级下册已经探索并认识了判定三角形全等的“角角边”定理，这里意在让学生根据基本事实证明这一定理. 设计意图：七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它，因此，这里特别提出这一结论， 以便后续证明使用. 设计意图：这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路，学生一般可以由折纸确定辅助线的位置，但对于作辅助线的规范叙述仍需教师帮助. 设计意图：教学中，应鼓励学生寻求其他证明方法，实际上，除作底边中线外，还可以通过作顶角平分线的方法证明结论，此时证明的依据是基本事实SAS. 这两种证明方法都是受折纸的启发 (轴对称)，通过作辅助线将图形分成两部分，再证明这两部分全等，教师可以引导学生分析这两种证明方法的共性，加深对等腰三角形性质的认识. 教学时，可能会有学生通过作底边上的高并利用勾股定理来证明这一定理，对此，教师一方面要保护学生的学习积极性，另一方面也要引导学生认识到：我们虽然在以前探索并认识了勾股定理，但尚未用基本事实证明过，所以从逻辑上来说，勾股定理不能作为这里证明的依据. 设计意图：这一结论通常简述为“三线合一”, 即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高) 之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”. 设计意图：综合运用全等三角形和等腰三角形的相关知识解决问题,加深学生印象，考察学生对于知识的掌握情况. 设计意图：在定理证明的基础上进行难度更高的推论证明，巩固学生知识的运用，并培养学生发散思维，提高学生解题技巧. 设计意图:考查对全等三角形判定的掌握. 设计意图:结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论. ① 顶角＋2×底角＝180° ② 顶角＝180°－2×底角 ③ 底角＝(180°－顶角)÷2 ④ 0°＜顶角＜180° ⑤ 0°＜底角＜90°
板书设计 1.1.1等腰三角形 全等三角形：1. 判定： SSS、SAS、ASA、AAS 性质：对应边相等，对应角相等 等腰三角形：1. 性质：等边对等角 推论：三线合一
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图. 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS). 全等三角形的对应边相等，对应角相等.
教学反思 在等腰三角形性质(第一课时) 的教学中，教学方法是采用“目标--问题”的教学方法，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念. 教学内容安排详略适当，教师把问题“讲明白”，学生把问题“学透彻”.本着“问题是数学的心脏”原则，精心设计了一些问题，在教学过程中教师要为学生质疑创造足够的空间和时间. 目标--问题教学法的本质在于：在问题解决过程中培养学生问题意识和发现问题、提出问题的能力. 令人遗憾的是本节课由于教学设计中留给学生的时间和空间偏少，导致学生发现问题、提出问题太少，长此以往的“后遗症”是学生问题意识的淡化. 而在探索问题的关键时候，本人也缺乏耐心急于把思路给出，这是缺乏对学生的信任，学生将因此产生思维惰性.

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