资源简介

1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
教学内容 第2课时 等边三角形的性质 课时 1
核心素养目标 1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力. 2.接着研究等腰三角形中的相等线段，深化对等腰三角形轴对称性的认识，然后研究特殊的等腰三角形—等边三角形的性质. 3.意在让学生借助等腰三角形的轴对称性探索并证明其中的相等线段，进一步培养学生的几何直观与推理能力，提高有条理地思考与表达的水平.
知识目标 1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质; 2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.
教学重点 学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.
教学难点 学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形. 思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？ 师生活动：让学生独自思考问题，尝试回答. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：等腰三角形的重要线段的性质 在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗 能证明你的结论吗 猜想1：底角的两条平分线相等 猜想2：两条腰上的中线相等 猜想3：两条腰上的高线相等 师生活动：教师首先应当鼓励学生独立思考、大胆猜想，然后组织学生进行交流，在充分交流的基础上，梳理出若干需要证明的命题，并让学生分组进行证明. 例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等． 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD 和 CE 是角平分线． 求证：BD = CE. 证明：∵ AB = AC， ∴∠ABC =∠ACB (等边对等角). 又∵∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB (已知)， ∴∠1 =∠2 (等式性质)． 在 △BDC 与 △CEB 中， ∵∠DCB =∠ EBC ，BC = CB，∠1 =∠2， ∴△BDC≌△CEB (ASA)． ∴BD = CE (全等三角形的对应边相等)． 例2 证明：等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BM，CN 两腰上的中线． 求证：BM = CN． 证明：∵ AB = AC (已知)， ∴∠ABC =∠ACB. 又∵ CM = AC，BN = AB， ∴ CM = BN. 在△BMC 与△CNB 中， ∵ BC = CB，∠MCB =∠NBC，CM = BN， ∴△BMC≌△CNB (SAS)． ∴ BM = CN. 例3 证明：等腰三角形两腰上的高相等． 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，BP，CQ 是 △ABC 两腰上的高． 求证：BP = CQ． 证明：∵ AB = AC (已知)， ∴∠QBC =∠PCB. 在△BQC 与△CPB 中， ∵∠BQC =∠CPB，∠QBC =∠PCB，BC = CB， ∴△BQC≌△CPB (AAS). ∴ BP = CQ. 师生活动：学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书. 师追问：还有其他的结论吗 议一议： 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上. 如果∠ABD = ∠ABC， ∠ACE =∠ACB， 那么 BD = CE 吗？ BD = CE (2) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB呢？ BD = CE (3) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB ， 那么 BD = CE 吗 BD = CE 师生活动：以上证明都由特殊结论猜想出了一般结论. 在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法. 请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来. (教师可巡视指导)下面我们来讨论第(3)问，请小组代表发言. 由此你能得到一个什么结论 结论：如图，在△ABC 中，如果 AB = AC，∠ABD = ∠ACE，那么 BD = CE. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上. 如果 AD = AC， AE = AB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？ BD = CE (2) 如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？ BD = CE (3) 如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？ BD = CE 由此你能得到一个什么结论 结论：如图，在△ABC 中，如果 AB = AC，AD = AE，那么 BD = CE. 师生活动：鼓励学生尽可能用规范的数学语言表述得到的结论，并要求学生书写证明过程. 学习提示：在完成上述教学活动后，可以引导学生进行一定的回顾与思考：为什么等腰三角形有这样的特殊性质 一般的三角形有类似的性质吗 使学生进一步体会轴对称图形的美妙. 知识点二：等边三角形的性质 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 学习提示：教学时，教师可以先让学生说说等边三角形作为一种等腰三角形所具有的性质，由此探索等边三角形所具有的特殊性质，并进行证明. 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°. 提问1：怎样证明这一定理呢？ 预设：可以利用等腰三角形的性质进行证明. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. 证明：在△ABC中， ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理∠A=∠B． 又∵∠A+∠B+∠C=180°， (三角形的内角和等于180°)， ∴∠A=∠B=∠C=60°． 师生活动：学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书. 典例精析 例4 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD = BE，求∠EDA 的度数. 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CBA = 60°. ∵ BD 是 AC 边上的中线， ∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°. ∵ BD = BE， ∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2 = (180°－30°)÷2 = 75°. ∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°. 当堂练习，巩固所学 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 cm. 2. 如图所示，△ACM 和 △BCN 都为等边三角形，连接 AN、BM，求证：AN = BM. 3. 如图，A、O、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小. 变式：如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出∠AEB 的大小吗？ 设计意图：通过现实情境中识别出等边三角形，以提问的方法引入课题，让学生带着疑问去探讨. 设计意图：通过探索—发现—猜想—证明的过程证明等腰三角形的有关结论. 设计意图：本例及其后所提的问题呈现了一些等腰三角形中的相等线段，要求学生进行证明.教学时可根据学生在课堂上实际提出的命题进行教学，在这一过程中， 应让学生进一步体会：要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够的，证明是必要的. 设计意图：思想方法归纳：这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的. 设计意图：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，此外它还具有一些特殊性质. 设计意图：在定理证明的基础上进行难度更高的推论证明，巩固学生知识的运用，并培养学生发散思维，把几何问题转化为代数问题的能力. 设计意图：考查对等边三角形性质的掌握. 设计意图：考查对等边三角形和全等三角形的综合运用. 设计意图: 在上题的基础上的变换，考查对等边三角形和全等三角形的综合运用. 设计意图：通过变式，使学生对所学知识进行整合，使学生的学习思路清晰有序，培养学生的分析能力.
板书设计 1.1.1等边三角形 等腰三角形：底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等. 等边三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
课后小结 等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质： 底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
教学反思 本节课涉及的问题和命题较多，若全部都要求学生写下来时间是完全不够用的，所以在教学中除了要求学生规范几何语言表述外，我还鼓励学生大胆发言，将证明思路清晰地向老师、同学阐述. 如教师示范证明第一个命题，学生完整写下第二个命题证明过程，学生口述证明第三个命题，第四个命题. 特别地，在议一议环节鼓励学生大胆发言，用归纳、类比的推理形式得到一般结论.在逻辑推理核心素养的过程中，学生需要能够表述论证的过程，增加数学交流的能力.

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