资源简介

1.1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定及含 30°角的直角三角形的性质
教学内容 第 4 课时 等边三角形的判定及含 30°角的直角三角形的性质 课时 1
核心素养目标 1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力； 2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力； 3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.
知识目标 1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理. (重点) 2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题. (难点)
教学重点 能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.
教学难点 掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点) 和一棵小树 (A为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 米，则 AC 长多少米？ 师生活动：让学生独自思考问题，尝试回答. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：等边三角形的判定 探究：一个三角形满足什么条件时是等边三角形 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形 请证明自已的结论，并与同伴交流. 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，教师结合学生的具体活动，加以指导. 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A =∠B，∴ AC = BC. ∵∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC. ∴ △ABC 是等边三角形. 定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 已知：若 AB＝AC，∠A＝60°. 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵ AB = AC，∠A = 60°， ∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°. ∴∠A =∠B =∠C. ∴ AB = AC = BC. ∴ △ABC 是等边三角形. 师追问：证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 【验证】第二种情况：有一个底角是 60°. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)， ∴∠C =∠B = 60° (等边对等角). ∴∠A = 60° (三角形内角和定理). ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等边三角形). 师生活动：要求学生书写证明过程，学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书. 归纳总结： 典例精析 例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC， 求证：△ADE 是等边三角形. 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 师生活动：学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书. 师追问：想一想：本题还有其他证法吗？ 回顾导入 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 ( BC 为小路端点)和一棵小树( A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48米， 则 AC 长多少米？ 师生活动：学生积极回答，教师引导学生阐述思路，最终得答案： AC = 48 米 知识点二：等边三角形的判定 操作：用两个含有 30° 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 想一想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 师生活动：学生观察、思考、猜测、归纳结论. 教师给出含30°角的直角三角形性质的准确描述，并板书性质. 猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°. 求证： BC = AB. 证明：延长 BC 至点 D， 使 CD＝BC，连接 AD. ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠ACD＝90°，∠B＝60°. ∵ AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC (SAS). ∴ AB＝AD ( 全等三角形的对应边相等). ∴ △ABD 是等边三角形 ( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形). ∴ BC＝ BD＝ AB. 师追问：本题还有其他证法吗？ 师生活动：学生分组讨论证明过程，板书演示.教师指导、纠错.然后共同用规范的语言说出直角三角形的定理： 定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言：在△ABC 中， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°． ∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半) 拓展推论：BC∶AC∶AB ＝ 例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高， 求证：CD ＝ AB. 证明：在△ABC 中， ∵AB＝AC，∠B＝15°， ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角). ∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°. ∵ CD 是腰 AB 上的高，∴∠ADC＝90°. ∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∴ CD＝ AB. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题. 2小组内批阅. 3.对板演的内容进行评价纠错. 当堂练习，巩固所学 1. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则 △ABC 的周长为_____cm. 2. 在△ABC 中，∠B = 90°，∠C = 30°，AB = 3，则 AC =_____，BC =______． 3. 已知：如图，AB = BC，∠CDE = 120°，DF∥BA，且 DF 平分∠CDE. 求证：△ABC 是等边三角形. 设计意图：通过实际例子引出本节课讨论的问题，充分调动学生学习的兴趣. 设计意图：教师引导学生既动手又动脑，自主探究发现等边三角形的边角关系，注重引导分类讨论，让学生经历观察—实践—猜想—证明的思维过程. 设计意图：等边三角形的判定定理是本节课的重点. 通过对不同的三角形加“边”或“角”两方面不同的条件，使学生体会、理解等边三角形的性质和判定的有关知识.条件加在不同的位置也要分情况讨论，这样在探究过程中充分体现了分类的作用，这对学生提高对数学思想方法的认识起到了渗透作用. 设计意图：“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是本课的难点，在难点的突破上主要采取两种方法： 通过三角尺操作的实践活动； (2) 对问题进行分步引导的方法.这样在难点的突破上更具有直观性和可操作性. 设计意图：学生分析条件和结论，并转化成数学符号；教师纠正和补充学生的发言，引导学生从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC点至D，使CD==BC，连接AD. 设计意图：让学生可以通过角的关系可以转化为边 的关系，也可以通过边的关系也可以转化为角的关系. 设计意图：考查学生对等边三角形的判定的掌握. 设计意图：考查学生对含30°角的直角三角形的性质的掌握. 设计意图：考查学生对等边三角形的判定的掌握.
板书设计 1.1.1等腰三角形 1. 等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 2. 含 30° 角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
课后小结 1. 等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形． 2. 含 30° 角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 3. 数学思想：分类讨论思想，数形结合思想，转化思想.
教学反思 本节课借助于教学活动的展开,有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，有助于学生思维能力的提高.不足之处是部分学生综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进一步的训练得以提高.

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