资源简介

1.3 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
教学内容 第 1 课时 线段的垂直平分线的性质与判定 课时 1
核心素养目标 1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力； 2.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力； 3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.
知识目标 1.理解线段垂直平分线的概念； 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理； 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.
教学重点 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理.
教学难点 能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 如图，画一条线段 AB，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O. 你发现了什么？ 师生活动：让学生在纸上画出一条线，然后动手操作，观察折纸的痕迹，举手发言，说出自己得到的结论. 再共同回顾七上所学的垂直平分线的相关概念： 我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：线段垂直平分线的性质 如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗？ 改变点 P 的位置，结论还成立吗？ 预设1：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 师追问：你能证明这一结论吗？ 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上. 求证：PA = PB． 证明：∵ l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 又 AC = CB，PC = PC， ∴△PCA≌△PCB (SAS)． ∴ PA = PB． 师生活动：学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书. 然后共同归纳： 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 典例精析 例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm 师生活动：学生独立思考，学生代表回答，阐述思路，教师整理： 解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB， ∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 教师予以适当的评价，并引导归纳 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 知识点二：线段垂直平分线的判定 师提问：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 预设1：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 师追问：如果是，请你加以证明. 想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 师引导：记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论： 师生活动：学生独立进行证明，学生代表板书，教师与其余学生给予适当的评价并完善板书. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. 证明：∵ AB = AC， ∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上). 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线 (两点确定一条直线). 师追问：你还有其他证明方法吗？ 证明：延长 AO 交 BC 于点 D. ∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO (SSS). ∴∠BAO ＝∠CAO. ∵ AB＝AC， ∴ AO⊥BC. ∵ OB＝OC，OD＝OD， ∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL). ∴ BD＝CD. ∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题. 2小组内批阅. 3.对板演的内容进行评价纠错. 当堂练习，巩固所学 1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是 (　　) A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C. AB 与 CD 互相垂直平分 D. CD 平分∠ACB 2. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有　 种. 3. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm. 4. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O. 求证：AO = BO. 设计意图：通过折纸活动，让学生复习回顾垂直平分线的相关概念，激发学生的学习兴趣，为下一步证明证明做铺垫． 设计意图：学生在七年级曾经探索并认识了这一结论， 这里应先让学生回忆探索过程，然后自主思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程. 设计意图：在线段垂直平分线上任取一点P证明这一定理的，要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表，如果所取点P与点C重合，那么显然结论成立，因此证明过程中的点P与点C不重合. 设计意图：通过练习加强学生对线段垂直平分线的性质的理解与应用. 设计意图：引导学生对性质定理进行逆向思考，提出猜想，然后加以证明，这是获得新的几何结论的一种常用方法. 因为这个性质定理不是“如果......”. 的形式，所以学生，说出或写出它的逆命题时可能会有一定的困难，教师可以引导学生分析它的条件和结论，再写出其逆命题，最后要求学生将证明过程书写出来. 设计意图：让学生通过严格的逻辑推理证明“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，感悟几何证明的意义，体会几何证明的规范性，为下一步运用结论提供了方便． 设计意图：证明完这一定理之后， 可以根据学生的实际情况在此进行适当的总结：线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点的集合；线段是一个轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴. 设计意图：教学中，可能会有学生用全等三角形证明：设AO交BC于点D，先依据基本事实SSS证明△ABO≌△ACO，得到∠BAO=∠CAO，再证明△ABD≌△ACD，从而使问题得证. 教师应注意引导学生对比两种证明方法，体会线段垂直平分线的判定定理的作用. 设计意图：考查对线段垂直平分线的性质的运用． 设计意图：考查对线段垂直平分线的性质的概念理解． 设计意图：考查线段垂直平分线的判定的运用． 设计意图：考查线段垂直平分线的判定的运用．
板书设计 1.3.1 线段的垂直平分线的性质与判定 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
课后小结
教学反思 第1课时首先回顾七年级探索线段垂直平分线性质定理的过程，然后对这一定理进行证明；接着通过对性质定理的逆向思考，探索并证明线段垂直平分线的判定定理；最后通过例题体现线段垂直平分线判定定理的简单应用. 线段的垂直平分线，体现了两直线之间的位置和数量关系．从折叠发现结论的基础上，再经过推理证明得出线段垂直平分线的性质，体现了由实验几何向论证几何的过渡．线段垂直平分线的判定是证明两直线互相垂直的依据之一．

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