资源简介

1.3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图
教学内容 第 1 课时 等腰三角形的性质 课时 1
核心素养目标 1.会用数学的眼光观察现实世界：经历探索、猜测、能够证明线段的垂直平分线相交于一点这一定理，进一步发展学生的推理证明意识和能力. 2.会用数学的思维思考现实世界：会用尺规作出“已知底边及底边上的高”的等腰三角形，体会解决问题的方法，发展实践能力和创新意识. 3.会用数学的语言表示现实世界：有意识地培养学生对文字语言、符号语言和 图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.
知识目标 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题. 2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
教学重点 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题.
教学难点 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 教师叙述：某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼A、B、C之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证. 师生活动：教师留时间给学生思考，再把实际生活问题转化成数学模型： 在△ABC中，如何找到一点P使得它到三角形三个顶点距离相等？ 追问：在△ABC中，如何找到一点P使得它到三角形三个顶点距离相等？ 师生活动：引导学生根据上节课学习的线段的垂直平分线的判定，推断这个点是否是在三边的垂直平分线上. 然后实际求证： 三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等. 老师点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：三角形三边的垂直平分线的性质 合作探究： 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = PB = PC. 师生活动：教师写出已知和求证，引导学生分析： 鼓励学生试试看，你会写出证明过程吗？ 证明：连接 PA，PB，PC. ∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上， ∴PA = PB，PA = PC ( 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ). ∴ PB = PC. ∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 师生活动：学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书. 然后共同归纳： 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 应用格式： ∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点， ∴ PA = PB = PC． 试一试： 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 师生活动：让学生自己尝试用尺规作图，小组讨论交流得出结论. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 知识点二：尺规作图 做一做： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h. 求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h. 提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等. 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 师生活动：学生自己尝试用尺规作出所求作的三角形，小组讨论交流得出结论. 想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？ 典例精析 例 已知：线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a， 高 AD = h. 作法：1. 作线段 BC = a； 2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D； 3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h . 4. 连接 AB，AC. 则△ABC 为所求的等腰三角形. 2. 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. 作法： (1) 先以 P 为圆心，大于点 P 到直线 l 的垂直距离 R 为半径作圆，交直线 l 于A，B. (2) 分别以 A、B 为圆心，大于 R 的长为半径作圆，相交于 C、D 两点. (3) 过两交点作直线 l' ，此直线为 l 过 P 的垂线. 师生活动：学生尝试作图，学生代表展示并阐述作法，教师进行梳理. 教师总结：常用尺规作图法作线段的垂直平分线. 回顾导入：食堂应建在三个宿舍楼 A、B、C的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等.请画出这个位置. 师生活动：学生在教师的引导下，得出解题思路：如图所示，连接AB、BC、AC，分别作三条线段的垂直平分线，即点P为所求. 然后完成作图. 当堂练习，巩固所学 1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE 等于 ( ) A．80° 　　 B．70° C．60° D．50° 2. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F， 并与 BC 边上的高 AE 交于 G. 求证：EG＝EC. 3. 已知：线段 a. 求作：△ABC，使∠ACB = 90°，AC = BC = a. 设计意图：用简单的实际生活问题引入新课，让学生感悟数学问题在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣，为下一步探究铺垫． 设计意图：逐步拆解问题，让学生学会倒推分析的思维方法，引出本节内容的重点． 设计意图：让学生利用证明的方法掌握三角形三边 垂直平分线的性质，并掌握其证明的方法和步骤. 设计意图：加深学生对任意“三角形三条边的垂直平分线相交于一点并且这一点到三个顶点的距离相等”这一定理的认知. 设计意图：(1) 这样的三角形能画出无数个，由于高的位置可以不同，因此所画出的三角形不都全等. 设计意图：(2) 能作出两个三角形，由于等腰三角形底边上高的位置只能在底边的垂直平分线上，因此可以在已知边的两侧作两个三角形，这两个三角形全等. 设计意图：回忆线段的垂直平分线的作法，锻炼和巩固学生的作图能力，培养学生联系和应用能力． 设计意图：首尾呼应，让学生感悟数学知识在生活中的重要性，在问题的引导下，理解作图过程的合理性，提高作图能力. 设计意图：考查作三角形中线段垂直平分线的运用． 设计意图：考查作三角形中线段垂直平分线的运用． 设计意图：考查线段垂直平分线性质的运用，以及垂直平分线的作图能力.
板书设计 1.1.1等腰三角形 1.定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 应用格式： ∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点， ∴ PA = PB = PC．
课后小结 1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
教学反思 第2课时运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题，主要内容包括：证明“三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等”；已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形；用尺规过一点作已知直线的垂线. 本节课作图时要学会分析一般先画一个满足题自己知条件的草图，有时结合基本作图和己知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图作出其余的图形.

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