资源简介

1.4 角平分线
第1课时 角平分线
教学内容 第1课时 角平分线 课时 1
核心素养目标 1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力. 2.证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力. 3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.
知识目标 1.会叙述角平分线的性质及判定； 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重点 会叙述角平分线的性质及判定.
教学难点 能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计． (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 师生活动：教师分析， 仓库到两所大学的距离相同读成数学语言： 到一条线段 MN 两个端点距离相等的点在哪？ 预设1：在这条线段的垂直平分线上. 仓库到两条公路的距离相同读成数学语言： 到∠AOB 两边的距离相等的点在哪？ 学生独立思考. 小组合作，探究概念和性质 知识点一：角平分线的性质 合作探究： 在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗 改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗 活动探究：教师引导学生通过折纸的活动，自主探究线段 CD 和 CE 的数量关系. 师追问：对此你能得出什么结论？动手证一证. 结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠1 =∠2. ∵OP = OP， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE (全等三角形的对应边相等). 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用：证明线段相等. 应用格式：∵ OP 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 师强调：推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 典例精析 例1 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD =4cm，则 PE = ______cm. 师生活动：学生独立思考，学生代表发言并阐述思路，教师给予适当评价. 知识点二：角平分线的判定 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 师提问：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 预设1：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 师追问：它是真命题吗？你能证明吗？ 已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∵PD = PE ，OP = OP ， ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴ OP 平分∠AOB. 师生活动：教师引导学生写出已知和求证，学生独立完成证明过程，教师进行定义总结： 角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 老师强调：角的内部指的是位置关系；距离相等指的数量关系. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 典例精析 例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长. 师生活动：学生独立完成证明过程，学生代表板书： 例3 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点 F 在∠DAE 的平分线上． 师生活动：学生独立完成证明过程，学生代表板书： 回顾导入：根据以上的知识，则可解决导入中的问题. 师生活动：学生独立完成证明过程，学生代表展示，教师引导学生方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 归纳总结： 师生活动：学生相互交流，师生共同完成表格. 当堂练习，巩固所学 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则∠EBF = °，BE = . 题1 题2 2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点D 到 AB 的距离是 . 3. (西安期中)如图，若∠ABC 的平分线与△ABC 的外角∠ACD 的平分线相交于点 P，若∠BAC = 62°，∠PAC 等于_______°. 设计意图：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，让学生体会数学的应用价值. 设计意图：学生在七年级曾经探索并认识了这一结论，这里应先让学生回忆探索过程，然后自主思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程. 设计意图：通过学生的知识回顾：命题证明的一般步骤及线段垂直平分线性质的证明方法. 能够利用三角形全等进行命题证明，从而获得角平分线的性质定理. 设计意图：角平分线的性质定理与线段垂直平分线的性质定理中都提到“距离相等”，但这两个“距离”有区别.线段垂直平分线性质定理中的“距离”是两点之间的距离，而角平分线性质定理中的“距离”是点到线(射线)的距离，在教学中，要引导学生区分这两个“距离”的不同. 设计意图：在上一节学习中，学生已经历了构造线段垂直平分线性质定理的逆命题的过程，因此学生容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题，在叙述其逆命题时，可不加什么条件，但验证其真假时，教师应引导学生注意角平分线是在角的内部的射线，所以就要附加“在角的内部”这个条件了. 设计意图：结合之前学过的直角三角形的有关知识和刚刚学习的角平分线的性质定理和判定定理，解决实际问题，同时在解决中引导学生明确知识应用的条件和注意事项，深一步解读知识，明确应用条件. 设计意图：首尾呼应，让学生感悟数学知识在生活中的重要性，在问题的引导下，理解作图过程的合理性，提高作图能力. 设计意图： 考查学生对角的平分线性质的掌握. 设计意图： 考查学生运用角的平分线的性质进行简单运算的能力. 设计意图： 考查学生对角的平分线判定定理的掌握.
板书设计 1.4.1 角平分线 性质：∵ OP 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 判定：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
课后小结
教学反思 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的.不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.

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