资源简介

1.4 角平分线
第2课时 三角形三条内角的平分线
教学内容 第2课时 三角形三条内角的平分线 课时 1
核心素养目标 1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力. 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力.提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力. 3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
知识目标 会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”. 角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
教学重点 会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”
教学难点 角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 师生活动：学生在练习本上画三角形，并按照要求画出三条角平分线. 猜想结论：三角形的三条角平分线相交于一点. 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 师生活动：在上述活动的基础上画垂线段，并且思考问题. 猜想结论：过交点作三角形三边的垂线段相等. 师追问：你能证明以上两个结论吗？ 小组合作，探究概念和性质 知识点一： 三角形的内角平分线 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD = PE = PF. 师生活动：引导学生类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的证法尝试完成证明. 师生共同归纳： 结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 典例精析 例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. 如果 CD = 4 cm， 求 AC 的长； 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题. 2小组内批阅. 3.对板演的内容进行评价纠错. 例2 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4， (1) 点 O 到△ABC 三边的距离和 为 . 温馨提示：不存在垂线段 ——构造应用 (2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. 解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC. 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导. 例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　 　) A．110° B．120° C．130° D．140° 师生活动：学生代表回答，教师引导学生阐述思路，教师整理板书： 当堂练习，巩固所学 1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( ) A. P为∠A，∠B 两角平分线的交点 B. P为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点 C. P为 AC，AB 两边上的高的交点 D. P为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点 题1 题2 2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB， ∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，那么 AE + DE = cm. 3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( ) A. △ABC 的三条中线的交点 B. △ABC 三边的垂直平分线的交点 C. △ABC 三条角平分线的交点 D. △ABC 三条高所在直线的交点 4. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF. 求证：CF = EB. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处？画出它的位置. 设计意图：在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神. 设计意图：通过活动引入让学生进一步掌握如何把文字命题转化为符号语言、图形语言，并进行严格的证明. 既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题的能力. 设计意图：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题. 设计意图：让学生能够 进一步熟练运用角平分线性质定理与判定定理解决问题，通过此题让学生对定理的理解与使用更为明确. 培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识. 设计意图：综合提升学生对角平分线性质判定定理解的运用水平与解决问题的能力. 设计意图：考查学生对角平分线的判定的理解. 设计意图：考查学生对角平分线性质与判定的运用. 设计意图：考查学生对“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”的运用. 设计意图：考查学生对角平分线性质与判定的掌握，提高学生作图能力.
板书设计 1.4.2等腰三角形三角形三条内角的平分线 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
课后小结
教学反思 在上一课时中，学生已经掌握了角平分线的性质定理、判定定理和角平分线的尺规作图，本节课的主要任务是性质和判定的应用. 通过对三角形三条角平分线的探究，得到三角形三条角平分线的性质"，即三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离都相等”. 这一结论， 就是九年级下册第三章《圆》中，三角形内接圆圆心的确定方法，为以后的学习奠定了理论基础. 要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的；对于三角形角平分线常作的辅助线作法还不是很熟悉，因此，教学时，对此不要操之过急，应逐步引导学生理解.

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