资源简介

1.5 整式的乘法
第2课时 平方差公式的运用
教学内容 第2课时 平方差公式的运用 课时 1
核心素养目标 1.通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算； 2. 通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想； 3. 通过探索规律，在数学活动中建立平方差公式模型，从而归纳出利用平方差公式解决数学简便运算问题的方法，体会符号运算对解决问题的作用，培养学生观察、归纳等能力.
知识目标 1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简便运算； 2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.
教学重点 握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简便运算.
教学难点 握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简便运算.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 1.问：平方差公式是怎样的？ (a + b)(a b) = a2 b2. 2.利用平方差公式计算： (1) (2x + 7b)(2x – 7b)； (2) (－m + 3n)(m + 3n). 答案：(1) 4x2－49b2 ； (2) 9n2－m2 . 师生活动：1.引导学生自主完成习题 2.引导学生用准确的语言表述求解的过程 小组合作，探究概念和性质 知识点一：平方差公式的几何验证 如图1，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形. (1) 请表示图 1 中阴影部分的面积. (2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图2)，这个长方形的长和宽分别是多少 你能表示出它的面积吗 (3) 比较 (1) (2) 的结果，你能验证平方差公式吗 师： 播放PPT——验证平方差公式，展示图形拼接过程； 以问题为驱动，引导学生发现平方差公式的几何意义； 渗透数形结合的数学思想. 生： 认真观察教师所展示的图片拼接过程； 独立思考并完成问题； 同桌间交流，积极举手发言. 师追问：还有其他的几何方法解释吗？ 师生活动：给几分钟时间，让学生在纸上自己动手画，然后小组展示结果，老师对结果加以点评. 知识点二：平方差公式的运用 情境导入： 王同学去商店买了单价是10.2元/kg的棒棒糖9.8千克。售货员刚拿起计算器，王同学就已经说出了总价99.96元。售货员惊讶的发现，结果正是99.96，于是不禁好奇：“你简直就是神童！怎么算的这样快？”王同学说：“过奖了，这是因为我利用了数学上刚学过的一个公式” 问：你知道王同学用的是一个什么样的公式吗？ （平方差公式） 自主探究 想一想：(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点： 7×9 = 63 11×13 = 143 79×81 =6399 8×8 = 64 12×12 = 144 80×80 = 6400 (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？ (3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (a + 1)(a 1) = a2 1 师： 提问并鼓励学生回答问题 把控学生自主思考时间，适时组织学生讨论 及时反馈小组代表分享的观点，并根据学生的回答归纳、强调进行数字简便运算的方法. 根据学生投影的答案，规范书写. 生： 根据教师的指引，按照要求完成学习任务 独立思考、积极参与讨论 大方展示与分享、结合投影讲解 典例精析 例1 用平方差公式进行计算： 103×97； 118×122. 解：(1) 103×97 = (100＋3)(100－3) = 1002－32 = 10000－9 = 9991. 118×122 = (120－2)(120＋2) = 1202－22 = 14400－4 = 14396. 例2 计算： (1) a2(a + b)(a－b) + a2b2； (2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3). 解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2 = a4－a2b2 + a2b2 = a4. (2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x) = 4x2－25－4x2 + 6x = 6x－25. 师： 1.巡堂并指导学生 2.根据学生的作答及时反馈 3.适时提问、引导学生订正并提点思想方法 生： 1.自主完成题目，有疑问时与同学讨论或举手示意 2.部分学生板演 3.主动分享解题方法 例3 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 解：李大妈吃亏了．理由如下： 原正方形的面积为 a2， 改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16. ∵ a2＞a2－16， ∴ 李大妈吃亏了. 当堂练习，巩固所学 1. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( ) A. a = b B. a＞b C. a＜b D. a≤b 2. 97×103 = ( )×( ) = ( ). 3. 方程 (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是______. 4. 利用平方差公式计算： (1) 51×49； (2) 13.2×12.8； (3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2). 5. 计算： (1) 20232 －2024×2022； (2) (y + 2) (y－2)－(y－1) (y + 5) . 能力拓展： 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2). 2. 若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，则 A 的值是____． 设计意图：通过回顾旧知导入本节学习内容，为进一步应用平方差公式建立知识储备，引导学生利用已学知识解决问题. 设计意图：通过演示图片拼接的过程，令学生直观的感受到拼接过程中面积保持不变，发展几何直观，将数形结合思想渗透其中. 以问题为驱动，循序渐进，层层深入，有引导性的让学生发现这一规律. 设计意图：以贴合学生实际的问题情境导入，能够吸引学生的注意力，提高学生学习的兴趣和积极性. 设计意图：以特例引入，后引导学生思考利用平方差公式的条件、发现规律，利用符号语言提炼出一般的解决方法，体现从一般到特殊的思想方法. 设计意图：目的是运用平方差公式进行一些有关数的简便运算. 教学中，可以先让学生提出想法. 需要注意的是，本题的目的主要是进一步巩固平方差公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习. 设计意图：本组例题具有一定的综合性. 可以先让学生独立完成，然后进行交流，再有针对性地进行教学. 设计意图：本组例题可利用数形结合的方法，提高学生运用平方差公式解决实际问题的能力. 设计意图：通过不同的问题形式（选择题、填空题、解答题），以及不同的考查方向，多方位、多角度的检测与巩固当堂所学知识，在练习中发现学生问题并纠正，强化当堂知识。 通过设置题目不同的难度梯度，满足各层次学生的需求，使得各层次的学生都能够得到提高。
板书设计 1.5.2平方差公式的运用 1.平方差公式： 2.几何背景（等面积法） （数形结合）
课后小结
教学反思 本节课采用讲授法、启发式教学法、讨论法等多种教学方法. 首先通过展示几何图形的拼接过程，以问题为驱动，启发学生从两种拼接方法中分别计算出其面积，体现等面积法，从而感受平方差公式的几何背景，并体会数形结合这一数学思想. 其次，从学生生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣，引导学生在独立思考后进行小组交流讨论，经历观察、猜想、验证等过程，从而归纳出运用平方差公式解决数字简便运算的一般方法，进一步加深对知识的理解并学以致用，体会从特殊到一般的思想方法.

展开更多......

收起↑