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第6课时 解决问题
教案
教学目标：
结合具体情境，运用圆的面积计算公式解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。
教学重点：
解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。
教学难点：
理解图形中正方形与圆的关系。
教学过程：
【创设情境 引入新课】
以“引入2”为例。
师：中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。
课件展示雕窗、屏风、铜板等图片。
师：同学们，你们观察一下这些图片，可以发现什么？这些图片都是怎么构成的？
学生自由讨论，教师抽点学生汇报。
生1：都是由圆和正方形这两个图形组成的。
生2：上面的图片是方形里面是圆形；下面的图片外面是圆的，里面是方的。
师：是的，这两幅图就是中国建筑中常见的“外方内圆”和“外圆内方”的设计。除此之外，外圆内方是指对外要圆滑随和而内心要刚强，内圆外方指外表可以有很多棱角，个性突出，但是内心要懂得包容。二者体现了中国刚柔并济和谐共生的传统。今天我们就来利用已有的知识研究与圆和正方形有关图形的面积计算。（板书课题：解决问题）
设计意图：由传统文化对建筑设计产生的影响导入课堂，自然地引出例题的教学，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情。
【合作交流 探索新知】
一、探究“外方内圆”和“外圆内方”的解题方法
1．课件出示例3。
师：读题，说说你对题意的理解。
生：两个圆的半径都是1 m，要求正方形和圆之间部分的面积。
师：我们可以看出来左图是外方内圆，要求的是正方形比圆多的面积。右图是外圆内方，要求的是什么？
生：求圆比正方形多的面积。
师：同桌之间交流一下，尝试计算正方形和圆形之间部分的面积。
2．探究“外方内圆”的解题方法
课件展示动画。
师：由“外方内圆”的图片我们可以得到什么信息？
生：圆的直径=正方形的边长。
课件出示：a=2r。
师：正方形和圆之间部分的面积怎么求？
生：用正方形的面积减去圆的面积。
师：怎样计算呢？
生：先求出正方形的边长：1×2=2（m），再求正方形的面积：2×2=4（m2），所以圆的面积：3.14×12=3.14（m2），阴影部分的面积：4-3.14=0.86（m2）。
师：那怎么列综合算式呢？
生：（1×2）×（1×2）-3.14×12=4-3.14=0.86（m2）。
根据学生回答课件展示。
师：通过计算我们得到正方形和圆之间部分的面积是0.86 m2。
3．探究“外圆内方”的解题方法
师：右图中正方形和圆之间部分的面积指的又是什么？
生：求圆比正方形多的面积。即圆的面积减去正方形的面积。
师：怎样计算正方形的面积？
生：我们可以将上图中的正方形看成两个完全相同的三角形
结合学生回答出示课件。
师追问：三角形的底和高分别是多少，相当于什么？
生：三角形的底相当于圆的直径，三角形的高相当于圆的半径。
师：那么圆与正方形之间部分的面积怎样计算？
结合学生的回答，出示课件：三角形的面积：×（2×1）×1=1（m2），正方形的面积：1×2=2（m2），圆的面积：3.14×12=3.14（m2）阴影部分的面积：3.14-2=1.14（m2）。
师：那怎么列综合算式呢？
生：3.14×12-×（2×1）×1×2=3.14-2=1.14（m2）。
师：通过计算我们得到正方形和圆之间部分的面积是1.14m2。
如果两个圆的半径为r，结果又是怎样的？
学生小组讨论、交流，推选代表反馈。
随着学生的回答出示课件：外方内圆：正方形的面积-圆的面积=（2r）2-3.14×r2=0.86r2；外圆内方：圆的面积-正方形的面积=3.14×r2-（×2r×r）×2=1.14r2。
师：当r=1 m时，和前面的结果一致吗？
课件出示计算结果。
生：完全一致。
4．播放视频：根据圆与正方形的关系解决实际问题。
二、小结
1．外方内圆
在正方形内画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。
2．外圆内方
在圆内画一个最大的正方形，正方形对角线长度等于圆的直径。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为1.14r2。
三、做一做
右图是一面我国唐代铜镜的背面。铜镜的直径是24 cm。外面 的圆与内部的正方形之间部分的面积是多少？（教材P68“做一做”）
S=1.14r2
=1.14×（24÷2）2
=164.16（cm2）
答：外面的圆与内部的正方形之间的面积是164.16 cm2。
设计意图：本节课通过课件演示，将实物雕窗抽象成组合图形，帮助学生将生活问题数学化，用数学的眼光分析、解决问题。学生自主运用已有的知识解决问题，既能激发学生的兴趣，又能培养学生的探索精神与合作意识。
【当堂练习 及时反馈】
一、入门
1．填一填。
（1）在一张正方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的直径就是正方形的（边长）。
（2）在一个圆中画出一个最大的正方形。要想求正方形的面积，我们可以把正方形看成两个（三角形），这两个（三角形）的底和高分别是圆的（直径）和（半径）。
2．选一选。
（1）如图，在外圆内方图案中，圆与正方形的面积比是（ A ）。
A．π：2
B．2：π
C．4：π
（2）如果图1中外面正方形的面积是16平方分米，则内圆的面积是（ ）平方分米；如果图2中外圆的面积是9π平方分米，则圆内大正方形的面积是（ ）平方分米。（ B ）
A．18；16 B．12.56；18 C．18；50.24
3．求下列各阴影部分的面积。
S阴影=S正-S圆 S阴影=S圆-S正=S圆-2S三
=10×10-3.14×（10÷2）2 =3.14×（10÷2）2-2××10×5
=21.5（cm2） =28.5（cm2）
二、巩固
4．如图，圆的面积是113.04平方米，求阴影部分的面积。
S正方形=S三角形×2=×2r×r×2=2r2=2（S圆÷π）
S阴影部分=S圆-S正方形
=S圆-2（S圆÷π）
=113.04-2×（113.04÷3.14）
=41.04（平方米）
答：阴影部分的面积为41.04平方米。
三、挑战
5．下图中正方形的边长是6cm，求阴影部分的面积。
S阴影=S正-4××S圆
=6×6-4××3.14×（6÷2）2
=7.74（cm2）
答：阴影部分的面积是7.74 cm2。
【板书设计 思维导图】
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