资源简介

课题 抛物线及其标准方程
课型 新课 课时 2课时
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念，培养数学抽象的核心素养． 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程，培养数学运算的核心素养． 3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题，培养数学运算的核心素养
学习重点 重点：掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念
学习难点 难点：明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题
学情分析 学生已学习椭圆抛物线的标准方程的建立过程，可以类比椭圆双曲线的建立过程进行抛物线方程的建立
核心知识 1. 抛物线的定义，焦点、准线方程的定义。 2. 抛物线的标准方程的推导，四种不同标准方程形式的特点。 3. 抛物线的定义和标准方程的简单应用。
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
根据备课内容，自行增行
环节一 创设情境，引入课题 通过前面的学习可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为， 设动点M到定点F的距离和到定直线（不过点F）的距离之比为，当0<<1时动点M的轨迹为椭圆当>1时动点M的轨迹为双曲线当=1时动点M的轨迹为 ？
问题1：当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状 下面我们就来研究这个问题． 师生活动：教师引导学生学生回顾：动点M到定点F的距离与点M到定直线（不过点F）的距离之比为，当0<<1时时，点M的轨迹为椭圆，当>1时，点M的轨迹为双曲线，思考：当=1时，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？ 设计意图：问题引入设置悬念， 引发学生思考。 问题2：如图3.3-1，是定点，是不经过的定直线，是上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点．拖动点，点随之运动，你能发现点满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 可以发现，在点随着点运动的过程中，始终有，即点与定点的距离等于它到定直线的距离，点的轨迹形状与二次函数的图象相似． 环节二 观察分析，感知概念 问题3：它的轨迹是什么形状？你能发现点满足的几何条件吗？ 【预设的答案】抛物线； 【设计意图】用圆锥曲线的统一定义引出课题，自然顺畅，且可以让学生产生类比的想法. 问题4：分别表示什么呢？ 【活动预设】引导学生关注动点到定点与到定直线的距离，从而可以用几何特征表述抛物线的定义. 问题5：说到抛物线，你能联想到哪些抛物线形状的图形呢？ 【设计意图】让学生联想生活、科研和生产中的抛物线，并引导学生联想二次函数，产生思维冲突. 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．
环节三 抽象概括，形成概念 问题6：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 【活动预设】 （1）分组合作探究； （2）画图尝试，如何建系使得方程形式更简单. 教师讲授：根据抛物线的定义中涉及的元素以及抛物线的形状，不难想到可以让准线平行于一条坐标轴，过焦点且与准线垂直的直线为另一条坐标轴，例如可以让准线平行于y轴，过焦点且与准线垂直的直线为x轴，这样仍然有3种情况，继续观察，容易想到，x轴与抛物线的交点是图中KF的中点，可将其设置为原点. 【设计意图】学生通过画图尝试，可以逐渐感知如何建系使得各元素以及曲线的方程形式简单. 根据抛物线的几何特征，如图3.3-2，我们取经过点且垂直于直线的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系． 问题7：设焦点到准线的距离为p，则焦点坐标，准线方程，以及抛物线上一点满足的方程如何表示？ 【设计意图】 （1）体验将几何关系用代数表达式表示； （2）感受直接法求轨迹方程； （3）锻炼化简计算能力. 设，那么焦点的坐标为，准线的方程为． 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为，由抛物线的定义，抛物线是点的集合 ． 因为，， 所以 ． 将上式两边平方并化简，得 ．① 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上．找们把方程①叫做抛物线的标准方程．它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线． 问题8：上述方程就是抛物线方程吗？为什么？ 【预设答案】还不能确定. 【设计意图】让学生理解曲线的方程的充分性与完备性. 问题9：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 【预设答案】焦点在x轴的正负半轴，y轴的正负半轴. 【设计意图】让学生通过类比得到不同形式的标准方程. 问题10：观察焦点在x轴的正半轴和y轴的正半轴的抛物线，它们的图形有什么联系？利用它们的联系如何得到它们的方程的联系？ 【设计意图】结合三角函数的定义可以让学生从旋转的角度，理解点的坐标的变换，再利用相关点法求轨迹方程，便可以利用图形的位置关系获得旋转后曲线的方程，以免学生只是从形式上简单猜测其他几种形式的标准方程.
环节四 辨析理解 深化概念 探究 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程．抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表． 图形标准方程焦点坐标准线方程
问题11：你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程. 由，得， 当时，表示开口向上的抛物线，，，焦点坐标为，准线方程为； 当时，表示开口向下的抛物线，，，焦点坐标为，准线方程为． 【预设答案】是，可以通过配方、平移变换成标准方程. 【设计意图】通过这个思考，可以锻炼学生对式的运算能力、数形结合能力，增强知识之间的联系和对知识的本质思考.
环节五 概念应用，巩固内化 例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程． 解：（1）因为，抛物线的焦点在轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是． （2）因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，所以抛物线的标准方程是． 【设计意图】 （1）观察抛物线的标准方程形式，作图并找出对应的特征元素. （2）逆向运用，理解标准方程的对应形式. 例2一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3(1)．已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为lm，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 解：如图3.3-3（2），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上． 设抛物线的标准方程是．由已知条件得，点的坐标是，代入方程，得 ， 即． 所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是． 【设计意图】 在实际情境中让学生感受抛物线的应用；锻炼学生阅读理解能力，提取信息的能力，加深对概念的理解；提升学生分析问题、解决问题的能力.
环节六 归纳总结,反思提升 教师引导学生带着下列问题回顾本节课所学知识和学习过程： (1)抛物线的几何特征是什么？ (2)抛物线的标准方程是如何获得的？ (3)抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 知识清单： (1)抛物线的定义． (2)抛物线的标准方程的四种形式． (3)抛物线定义的应用． 2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化与化归． 3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式． 【设计意图】 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 思考：抛物线的标准方程有哪几种形式？如何利用它们的位置关系求其标准方程？在证明二次函数是抛物线时我们用了什么方法？如何用坐标表示抛物线的焦半径？
环节七 目标检测，作业布置 完成教材：第133页 练习 第1，2，3题 第138 页 习题3.3 第1,2，3,4，5题
练习（第133页） 1．根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是；（2）准线方程是；（3）焦点到准线的距离是2． 1．答案：(1)；(2)；(3)或或或． 解析：（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为， 则，可得，所以，抛物线的标准方程为； （2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为， 则，可得，因此，抛物线的标准方程为； （3）抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的标准方程为或． 2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）；（2）；（3）；（4）． 2．解析：（1）中，∴焦点坐标为，准线方程为； （2）中，∴焦点坐标为，准线方程为； （3）中，∴焦点坐标为，准线方程为； （4）中，∴焦点坐标为，准线方程为． 3．填空． （1）抛物线上一点与焦点间的距离是，则点到准线的距离是 ，点的横坐标是 ； （2）抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ． 3．【答案】（1），；（2）或 解析：（1）由抛物线定义知到准线的距离为，设，则到准线的距离为， 又，，． （2）由知，准线方程为，设点，由抛物线定义可知，， 将代入，得，所以满足条件的点为或
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