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课题 抛物线的简单几何性质（第1课时）
课型 新课 课时 2课时
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率的简单几何性质； 2.根据抛物线的几何性质,利用数形结合思想，会求解抛物线的标准方程； 3.通过抛物线几何性质的应用提升学生直观想象、数学运算、逻辑推理素养
学习重点 重点：抛物线的定义、抛物线的标准方程的推导，四种标准方程形式的特点
学习难点 难点：根据已知条件写出抛物线的标准方程，焦点坐标、准线方程，定义的简单应用
学情分析 学生已学习和掌握抛物线的标准方程，借助几何工具，多媒体研究抛物线的几个性质
核心知识 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质，抛物线几何性质的应用.
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
环节一 创设情境，引入课题 问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线① 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。 【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。 问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？ 【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为
环节二 观察分析，感知概念 1．范围 问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？ 【预设答案】在方程中，并无限制，因此。而因为，且，所以。 【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。 因为，由方程①可知，对于抛物线上的点，，， 当时，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同； 当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性 问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？ 【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。 问题5：从“数”的角度，怎样说明抛物线图像关于x轴对称？ 以代，方程①不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 【教师讲授】要说明抛物线的图像关于x轴对称，只需要在抛物线上任取一点，关于x轴的对称点也在抛物线上即可。 【设计意图】引导学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的对称性
环节三 抽象概括，形成概念 3．顶点 问题6：根据图形，观察抛物线的顶点是什么？ 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． 【预设答案】 问题7：从“数”的角度，如何从方程中得到抛物线的顶点？ 【教师讲授】在抛物线的方程中，，令，得到。 【设计意图】引导学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的顶点。 【教师讲授】给出抛物线离心率的定义，并根据抛物线的定义，得出离心率为1。 此时，继续引导学生复习椭圆和双曲线的定义和取值范围。 4．离心率 抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用表示． 由抛物线的定义可知，．
环节四 辨析理解 深化概念 例3 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程． 解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为． 因为点在抛物线上，所以，解得． 因此，所求抛物线的标准方程是． 【预设答案】由已知抛物线的开口向右，故设抛物线的标准方程为。将带入方程，得到，故抛物线的方程为。 变式训练：已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求抛物线的标准方程。 【预设答案】或 【设计意图】 （1）例题1和变式训练都是对抛物线性质的初步应用，进一步强化待定系数法求抛物线方程的训练。 思考 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程． 因为点在第四象限，所以抛物线的开口方向可能向右，也可能向下． 当抛物线开口向右时，抛物线的标准方程是． 当抛物线的开口向下时，设它的标准方程为，将代入，得 ，解得，所以所求抛物线的标准方程是． 综上可知，所求抛物线的标准方程是和．
环节五 概念应用，巩固内化 例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线的斜率为1，所以可以求出直线的方程；与抛物线的方程联立，可以求出，两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出，这种方法思路直接，具有一般性．请你用此方法求． 下面介绍另外一种方法——数形结合的方法． 在图3.3-4中，设，．由抛物线的定义可知，等于点到准线的距离．由，，得，于是，同理，，于是得 ． 由此可见，只要求出点，的横坐标之和，就可以求出． 解：由题意可知，，，焦点的坐标为，准线方程为．如图3.3-4， 设，，，两点到准线的距离分别为，，由抛物线的定义，可知 ，，于是． 因为直线的斜率为1，且过焦点，所以直线的方程为． ① 将①代入方程，得，化简，得． 所以，． 所以，线段的长是8． 如果直线不经过焦点，还等于吗？
环节六 归纳总结,反思提升 问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题： （1）抛物线的简单几何性质有哪些？ （2）你是如何研究抛物线的简单几何性质的？ （3）抛物线的简单几何性质有什么应用？ 设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结
环节七 目标检测，作业布置 完成教材：教材 （2），（3），（4）； 3. 设计意图：提升学生应用知识和方法解题的能力
练习（第136页） 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）关于轴对称，并且经过点； （2）关于轴对称，准线经过点； （3）准线在轴的右侧，顶点到准线的距离是4； （4）焦点在轴负半轴上，经过横坐标为16的点，且平行于准线
课后反思

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