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第5单元 平行四边形和梯形
2023-2024学年四年级数学上册期末重难点知识讲解
知识点一：平行与垂直
1、认识平行与垂直。
（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和不相交两种。不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
（2）相交的两条直线的位置关系有垂直和不垂直两种。如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另- “条直线的垂线 ,这两条直线的交点叫做垂足。
2、垂线的画法。
画垂线有两个重合:一是三角尺的一条直角边与已知直线重合;二是点在直线上时,三角尺的顶点与这一点重合;点在直线外时,三角尺的另- - 条直角边与这一点重合。
3、垂线和平行线的性质及作用。
垂线与平行线的性质:
（1）点到直线的距离即点到直线的垂直线段的长度。
（2）平行线间的距离处处相等。
4、垂画长方形的方法。
画长方形的方法:
（1）画一条线段作长方形的长;
（2）从画出的线段两端画两条与这条线段垂直的线段,使画出的两条线段长度相等;
（3）把所画的两条线段另外的端点沿直尺连起来。
知识点二：平行四边形与梯形
1、认识平行四边形。
（1）平行四边形的两组对边分别平行且相等，它有无数条高。
（2）平行四边形的底和高是对应的。
（3）画高的步骤:选取顶点-→向对边作垂线-→标垂直符号→确定高。
2、平行四边形的特性。
平行四边形易变形，具有不稳定性。
3、认识梯形。
（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
（2）梯形的高是从上底的一个点向下底所作的垂直线段。平行四边形有两种长度的高，梯形只有一种长度的高。
4、四边形之间的关系。
正方形是特殊的长方形，长方形和正方形是特殊的平行四边形，平行四边形和梯形是特殊的四边形。
1、通过观察、操作等活动，理解平行与垂直的概念。
2、经历动手操作和自主探索的过程，掌握平行四边形和梯形的特征。
3、通过分类、比较、归纳等多种方式理解平行四边形、正方形、长方形之间的关系。
1、平行四边形的高通常是从平行四边形一个顶点向它的对边画垂线，即底和高是一一对应的。
2、平行四边形有无数条高，但过一个顶点只能画2条高。
3、梯形的高有无数条，但过一个顶点向对边只能画1条高。
4、平行四边形的两组对边分别互相平行，梯形只有一组对边互相平行。
5、无论是平行还是垂直，都是指在同一个平面内两条直线的位置关系。
6、只有两条直线相交成直角时，才能说这两条直线互相垂直。
7、把直线外一点与直线上任意一点的连线误认为是点到直线的距离。
8、用三角尺画垂线时，要沿直角边画线。
9、画长方形时，先画出长方形的长（或宽），再用画垂线的方法画出长方形。
一、选择题（共16分）
1．如图每个方格都是正方形，依次连接如图中的4个点，能够围成一个直角梯形的是（ ）。
A．①⑤⑥③① B．①④⑦②① C．②⑤⑥③② D．①③⑦④①
2．把一个平行四边形分成两个梯形，下列分法正确的有（ ）种。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．图形中，（ ）图既能找到互相平行的线段又能找到互相垂直的线段。
A． B． C． D．
4．等腰梯形的上底是9厘米，下底比上底长2厘米，一条腰比上底短3厘米，围成这个等腰梯形需要（ ）厘米长的铁丝。
A．32 B．34 C．37 D．36
5．下面是点子图，请再选一个点D，使四边形ABCD成为一个平行四边形，点D有（ ）种选法。

A．2 B．3 C．4 D．5
6．如下图，一个等腰梯形被分成一个平行四边形和一个三角形，平行四边形的周长是（ ）厘米。
A．24 B．20 C．18 D．16
7．下图的交通示意图，下列说法错误的是（ ）。
①线路a与线路d互相垂直 ②线路c与线路a互相平行
③线路b与线路d互相平行 ④线路b与线路c互相垂直
A．②④ B．①② C．①③④ D．①②④
8．下面说法错误的是（ ）。
A．正方形相邻的两条边互相垂直 B．平行四边形具有稳定性
C．长方形是特殊的平行四边形 D．直角梯形有两个内角是直角
二、填空题（共16分）
9．在两条平行线间可以作( )条垂线，两条平行线间的所有垂线的长度( )。
10．伸缩晾衣架运用了平行四边形( )的特点。
11．如图是一个直角梯形，这个梯形的高是( )厘米，上底和下底的和是( )厘米。
12．已知，数一数，图中一共有( )个梯形。
13．一个等腰梯形，上底长4米，下底长6米，腰长5米，这个等腰梯形的周长是( )米。
14．一个平行四边形相邻两边的长度和是24厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。
15．从张丽家出发有三条小路通往公路，它们的长度分别是130米、200米、110米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是( )米。
16．如下图，用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的周长是( )厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。
三、判断题（共8分）
17．如图（单位：厘米），平行四边形CD边上的高是15厘米。( )
18．在下面两条平行线之间有一个正方形ABCD和一个平行四边形EFGH，它们的周长相比，平行四边形EFGH的周长比正方形ABCD的周长长。( )
19．两条直线互相垂直，可以得到4个直角。( )
20．两条直线不互相平行就一定互相垂直。( )
四、作图题（共12分）
21．（6分）如图，请根据提示完成操作。
（1）有一条笔直的小路经过幸福村，并与公路平行。请在图中画出这条小路的示意图。
（2）幸福村计划修一条通往公路的水泥路，怎样修路最短？请在图中画出来。
22．（6分）过A点画OB的垂线。

五、解答题（共48分）
23．（6分）一块平行四边形的菜地，一条边长48米，比另一条边短2米。围这块菜地需要多少米的篱笆？
24．（6分）下图是一张长方形纸对折两次后的展开图。以展开图上的10个交点为顶点，画出两个不同的梯形。并说说梯形的上底、下底、高各是多少厘米。
25．（6分）请检验下面哪两条线段是互相平行的，哪两条线段是互相垂直的。
26．（6分）为建设“美丽大花园、幸福新沈丘”，需要修建一个平行四边形的花坛，它的周长是42米，其中一条边的长度是6米，其余三条边的长度应该是多少米？
27．（6分）一个等腰梯形，上底长3厘米，下底长5厘米，它的周长是18厘米，这个梯形的腰长是多少厘米？
28．（6分）下面是一组平行线，请在一条直线上选几个点，作另一条直线的垂线，量一量，点到垂足间的距离，你能发现什么？
我的发现是：
29．（6分）“积点成线，积线成面”这句话很好的解释了点、线、面之间的关系，也就是说：线是由好多个点组成的，面是由若干条线（边）组成的。把下图中长方形的一条边减少或增加若干个点后，会变成一个新的平面图形，你觉得会是什么平面图形呢？（请在右面的长方形上画出两种不同的平面图形）
30．（6分）奇思说：下图中阴影部分是一个平行四边形。你同意奇思的说法吗？请说明理由。
参考答案
1．B
【分析】直角梯形的一组对边平行，有2个直角。分别连接各个选项中的4个点，再看哪个图形是直角梯形。
【详解】A．围成一个梯形，但不是直角梯形；
B．围成一个直角梯形；
C．围成一个梯形，但不是直角梯形；
D．围成一个平行四边形；
故答案为：B
【分析】熟练掌握直角梯形的特征是解决本题的关键。
2．C
【分析】梯形是只有一组对边平行的四边形。从左起，第一、二、四个平行四边形被分成两个梯形，第二个平行四边形被分成两个平行四边形，据此解答。
【详解】由分析得：
把一个平行四边形分成两个梯形，分法正确的有3种。
故答案为：C
【分析】本题关键是熟练掌握梯形的特征。
3．D
【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；依此选择。
【详解】A．此图只能找到互相平行的线段。
B．此图既不能找到互相平行的线段，又不能找到互相垂直的线段。
C．此图只能找到互相平行的线段。
D．此图既能找到互相平行的线段，又能找到互相垂直的线段。
故答案为：D
【分析】熟练掌握平行与垂直的特点，是解答此题的关键。
4．A
【分析】根据题意可知，上底的长度＋2厘米＝下底的长度，上底的长度－3厘米＝一条腰长，等腰梯形的两腰相等，计算梯形一周的长度，用加法计算，依此计算出这个等腰梯形一周的长度即可。
【详解】9＋2＝11（厘米）
9－3＝6（厘米）
9＋11＋6＋6＝32（厘米），围成这个等腰梯形需要32厘米长的铁丝。
故答案为：A
【分析】此题考查的是等腰梯形的周长的计算，应熟练掌握等腰梯形的特点。
5．B
【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，平行四边形的两组对边分别相等，因此当以AC边为平行四边形的底时，此时有1种画法；当以AB边为平行四边形的底时，此时有1种画法；依此选择。
【详解】
由此可知，再选一个点D，使四边形ABCD成为一个平行四边形，点D有3种选法。
故答案为：B
【分析】熟练掌握平行四边形的特点，是解答此题的关键。
6．D
【分析】等腰梯形的两腰相等，由此可知，与5厘米相邻的边长为3厘米，平行四边形一周的长度是平行四边形的周长，依此计算。
【详解】（5＋3）×2
＝8×2
＝16（厘米）
因此平行四边形的周长是16厘米。
故答案为：D
【分析】此题考查的是平行四边形的周长的计算，应熟练掌握等腰梯形的特点。
7．C
【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；依此进行选择即可。
【详解】①线路a与线路d不是互相垂直的关系，因此题干说法错误。
②线路c与线路a互相平行，因此题干说法正确。
③线路b与线路d不是互相平行的关系，因此题干说法错误。
④线路b与线路c不是互相垂直的关系，因此题干说法错误。
由此可知，说法错误的是①③④。
故答案为：C
【分析】熟练掌握平行与垂直的特点，是解答此题的关键。
8．B
【分析】根据正方形有4条直的边且都相等，有4个角且都是直角；长方形4条直的边且对边相等，有4个角且都是直角；平行四边形有两组对边平行且相等,容易变形，有不稳定性；直角梯形有一组对边平行，有两个内角是直角，据此解答即可。
【详解】A．正方形相邻的两条边互相垂直，说法正确；
B．平行四边形容易变形，有不稳定性，原题说法错误；
C．长方形是特殊的平行四边形，说法正确；
D．直角梯形有两个内角是直角，说法正确。
故答案为：B
【分析】本题考查了正方形、长方形、平行四边形和梯形的概念和特点。
9． 无数 相等
【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线间的距离处处相等。
【详解】在两条平行线间可以作无数条垂线，两条平行线间的所有垂线的长度相等。
【分析】此题考查了平行的特征和性质，要熟练掌握。
10．不稳定性
【分析】平行四边形具有不稳定性，容易变形；据此进行解答。
【详解】伸缩晾衣架运用了平行四边形不稳定性的特点。
【分析】解答此题的关键是明确平行四边形的不稳定性，生活中还有很多利用平行四边形不稳定性的例子，比如伸缩门、升降机等。
11． 6 17
【分析】梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边，图中是一个直角梯形，平行的一组边是梯形的上下底，相加即可求出和；梯形的高就是指垂直于上下底的一条腰，据此解答。
【详解】7＋10＝17（厘米）
上图一个直角梯形，这个梯形的高是6厘米，上底和下底的和是17厘米。
【分析】本题主要考查直角梯形的特征，属于基础知识，要熟练掌握。
12．5
【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；图中单个的梯形有2个，由2个小梯形组成的大梯形有1个，由1个小梯形和1个三角形组成的大梯形有1个，由2个小梯形和1个三角形组成的大梯形有1个，依此计算并填空即可。
【详解】2＋1＋1＋1＝5（个），即图中一共有5个梯形。
【分析】解答此题的关键是要熟练掌握梯形的特点。
13．20
【分析】因为等腰梯形的两条腰相等，根据梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰的长度，代入数据解答即可。
【详解】4＋6＋5×2
＝4＋6＋10
＝10＋10
＝20（米）
这个等腰梯形的周长是20米。
【分析】此题考查梯形的周长的计算方法以及等腰梯形的特征。
14．48
【分析】平行四边形的两组对边分别相等， 所以它的周长是相邻两边之和乘2；据此解答即可。
【详解】根据分析：24×2＝48（厘米），所以这个平行四边形的周长是48厘米。
【分析】熟练掌握平行四边形的周长公式是解决本题的关键。
15．110
【分析】根据“点到直线的距离，垂线段最短”进行解答即可。
【详解】因为这条小路与公路是垂直的，垂线段最短，200＞130＞110，所以这条小路的长度是110米。
【分析】本题主要考查最短路线问题，解题关键是了解点到直线的距离垂线段最短。
16． 12 16
【分析】根据图示可知，平行四边形短的一边长3厘米，较长的一边长5厘米，三角形的周长是三条边的总长度，平行四边形的周长＝相邻两边的长度之和×2，依此计算。
【详解】3＋4＋5＝12（厘米）
（3＋5）×2
＝8×2
＝16（厘米）
每个三角形的周长是12厘米，这个平行四边形的周长是16厘米。
【分析】此题考查的是平面图形的拼接，以及三角形和平行四边形的周长的计算。
17．√
【分析】根据平行四边形高与底的对应关系，解答此题即可。
【详解】
由图形可知：平行四边形CD边上的高是15厘米。
所以题干说法是正确的。
故答案为：√
【分析】熟练掌握平行四边形高与底的对应关系，是解答此题的关键。
18．√
【分析】一组平行线中垂直线段最短，正方形ABCD和平行四边形EFGH上、下两边相等，左、右两边平行四边形更长，所以平行四边形EFGH的周长长。
【详解】如下图所示：
平行四边形EFGH的两条边的边长相等，长度为3cm，另外两条边的长度大于3cm，而正方形ABCD的四条边的长度都为3cm，所以平行四边形EFGH的周长比正方形ABCD的周长长，故原题说法正确。
故答案为：√
【分析】本题考查了正方形、平行四边形的特征以及垂线段的知识，结合题意分析解答即可。
19．√
【分析】在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，1平角＝180°，1直角是90°，依此判断。
【详解】
180°－90°＝90°
即两条直线互相垂直，可以得到4个直角。
故答案为：√
【分析】解答此题的关键是要熟练掌握垂直的特点，以及平角、直角的特点。
20．×
【分析】根据平行的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交，垂直是相交的一种；据此判断即可。
【详解】在同一平面内，两条直线不互相平行就相交，所以原题的说法错误。
故答案为：×
【分析】解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交。
21．见详解
【分析】（1）根据平行线的画法，利用三角板的一条直角边的已知公路重合，沿重合的公路平移三角板，使三角板和幸福村重合，过幸福镇画直线即可。
（2）直线外一点到已知直线的连线中，垂直线段最短，据此利用三角板的一条直角边的已知公路重合，沿重合的公路平移三角板，使三角板的另一条直角边和幸福村重合，过幸福村沿直角边向公路画线段即可。
【详解】如图：

【分析】本题考查了平行线的画法以及过直线外一点向已知直线作垂线的能力，需熟练掌握。
22．见详解
【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线。
【详解】
【分析】熟练掌握垂线的画法是解答本题的关键。
23．196米
【分析】围这块菜地需要多少米的篱笆，就是求这个平行四边形的周长。平行四边形的周长＝邻边和×2。一条边长48米，比另一条边短2米，则另一条边长（48＋2）米。代入数计算即可。
【详解】（48＋2＋48）×2
＝（50＋48）×2
＝98×2
＝196（米）
答：围这块菜地需要196米的篱笆。
【分析】平行四边形的周长是相邻两边之和乘2。
24．见详解
【分析】根据题意，8÷4＝2（厘米），则展开图后的小长方形的宽是2厘米；只有一组对边平行的四边形是梯形，据此画出两个不同的梯形；并根据梯形上底、下底、高的定义，求出每个梯形的上底、下底、高各是多少厘米。
【详解】
8÷4＝2（厘米）
2×2＝4（厘米）
答：第一个梯形的上底是4厘米、下底是8厘米、高是3厘米；
第二个梯形的上底是2厘米、下底是8厘米、高是3厘米。
【分析】熟练掌握梯形的特征是解答此题的关键。
25．见详解
【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。
【详解】图一：AB与CD、AC与BD互相平行；EF与AB、EF与CD互相垂直。
图二：A＇B＇与C＇D＇互相平行；A＇C＇与 A＇B＇、A＇C＇与 C＇D＇互相垂直。
【分析】此题考查了平行和垂直的定义，注意基础知识的积累。
26．6米；15米；15米
【分析】平行四边形对边相等，一条边的长度是6米，说明还有一条边的长度也是6米，减去这两条边的长度，剩下的即为另外两条边的长度，另外两条边长度相等，故直接除以2即可求得，据此及解决。
【详解】42－2×6
＝42－12
＝30（米）
30÷2＝15（米）
答：其余三条边的长度分别是6米、15米、15米。
【分析】解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，对边相等。
27．5厘米
【分析】等腰梯形的两个腰相等，用周长分别减去上底、下底的长度，再除以2即可解答。
【详解】（18－3－5）÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
答：这个等腰梯形的腰长是5厘米。
【分析】此题主要考查学生对等腰梯形性质的认识与应用。
28．见详解
【分析】根据平行和垂直的性质和特征可知：两条平行线中可以画无数条垂线段，这些线段的长度都相等，据此解答即可。
【详解】画法如下：
（画法不唯一）
我的发现是：平行线之间的垂线段的长度都相等。
【分析】此题考查了垂直和平行的特征和性质。
29．画图见详解；直角三角形、直角梯形。
【分析】长方形的特征是：两组对边分别平行且相等，四个角都是直角；平行四边形的特征：两组对边分别平行；梯形的特征：只有一组对边平行，有一个角是直角的梯形是直角梯形；有一个角是90°的三角形，叫做直角三角形；据此解答。
【详解】根据分析可得：
（画法不唯一）
答：把下图中长方形的一条边减少或增加若干个点后，会变成一个新的平面图形，这个图形可能是直角三角形、可能是直角梯形。
【分析】根据题意把长方形的一条边变短或变长，看看新的平面图形是什么图形即可。
30．奇思说的不对；理由：平行四边形的对边相等，阴影部分的上边和下边不相等，所以阴影部分不是一个平行四边形。
【分析】根据平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形，据此解答。
【详解】答：奇思说的不对；理由：平行四边形的对边相等，阴影部分的上边和下边不相等，所以阴影部分不是一个平行四边形。
【分析】本题考查平行四边形的特征，熟练掌握并灵活运用。

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