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第8单元 数学广角——数与形
2023-2024学年六年级数学上册期末重难点知识讲解
知识点一：数学广角—数与形
1、运用数形结合的方法探索规律。
从1开始的n个连续奇数相加的和可以用n2表示,即1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2。
2、借助直观图形解决比较复杂的问题。
从开始的数列、、......的和是1。
1、学会通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会运用所发现的规律解决问题。
2、体会数与形的联系，进一步积累数形结合解决问题的经验，培养数形结合的数学思想意识。
3、体验数形结合方法的价值，激发用数形结合的方法去解决问题，感受数学的魅力。
1、在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
一、选择题
1．某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图所示：

按照上面的规律，n张桌子能坐（ ）人。
A． B． C．
2．仔细分析，摆第5个图形需要用（ ）根小棒。

A．20 B．30 C．26
3．16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（ ）。

A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31
4．照这样的规律接着画下去，第6个图形有（ ）个。
……
A．32 B．28 C．36 D．64
5．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有12个小正方形，第3个图案中有16个小正方形……依此规律若第n个图案中有240个小正方形，则n的值为（ ）。
A．48 B．50 C．59 D．60
6．如图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人。像这样（ ）张桌子拼起来可以坐26人。
A．11 B．12 C．13
二、填空题
7．用小棒按下面的方法摆图形，第10个图形用了( )根小棒。

8．如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形，画3个正方形能得到8个直角三角形，画4个正方形能得到( )个直角三角形，画10个正方形能得到( )个直角三角形。
9．用若干张边长1厘米的正方形纸片，像下图这样依次摆出1层，2层，3层……的图形。
（1）每个图形的周长分别是多少厘米？先算一算，再填一填。
（2）像这样摆n层，摆成的图形周长是（ ）厘米；当n＝15时，摆成图形的周长是（ ）厘米。
10．如图，若一个小三角形的边长为1cm，那第6个图形的周长是( )cm。

① ② ③
11．结合下面的图和算式，我发现：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝( )，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝( )。


12．……按照这样的规律摆下去，摆出10个这样的正六边形一共需要( )根小棒。
三、判断题
13．如图，像这样摆下去，摆n个正方形需要多少根小棒，用式子表示是4n。( )
……
14．。( )
15．下面图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。
照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43。( )
四、计算题
16．计算下面各题，能简算的要简算。


17．计算。

五、解答题
18．用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。
（1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。
（2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？
19．
（1）找规律，在横线上画出第四幅图。
（2）第12幅图中有（ ）个○，有（ ）个●。
20．数一数。

（1）图中各有多少个▲和△？
序号 ① ② ③ ④
▲ （ ） （ ） （ ） （ ）
△ （ ） （ ） （ ） （ ）
（2）照这样连续画下去，第7个图形中▲和△各有多少个？
21．按照下面的规律接着画下去，第七个图有多少个？请你写出思考过程。
22．先画出第五个图形，再填空：第10个方框里有 个点，第n个方框里有 个点。
23．探究与发现。
请观察前面3道算式与图形之间的对应关系，完成下面题目。
……
①2＝1×2 ②2＋4＝2×3 ③2＋4＋6＝3×4 ④2＋4＋6＋8＝（ ）×（ ）
（1）请在④号算式上面的方框里画出对应的图形。
（2）根据规律把算式补充完整。
①（ ）；
②（ ）。
24．下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。
（1）找规律画出图形⑤。
（2）根据前面的图形把表格补充完整。
图形 ① ② ③ ④ ⑤
面积/ 0.25 0.75 1.5 （ ） （ ）
周长/cm 2 4 6 （ ） （ ）
25．下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？
照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？
参考答案
1．C
【分析】由图可得：①可以坐6人，即6＝4×1＋2，②可以坐10人，即10＝4×2＋2，③可以坐14人，即14＝4×3＋2，推出④可以坐18人，即18＝4×4＋2，⑤可以坐22人，即22＝4×5＋2， ；可得出规律：可以坐的人数＝桌子张数×4＋2，据此可得出答案。
【详解】由图可得：①可以坐6人，即6＝4×1＋2，②可以坐10人，即10＝4×2＋2，③可以坐14人，即14＝4×3＋2，按照规律，n张桌子能坐的人数为：。
故答案为：C
【分析】本题主要考查的是数字排列的规律，解题的关键是找到数字排列的关系，进而得出答案。
2．C
【分析】通过观察发现：每增加1个正六边形，就增加5根小棒。即第1个图形需要用1＋5＝6（根）小棒；第2个图形需要用1＋5×2＝11（根）；第3个图形需要用1＋5×3＝16（根）小棒；……由此发现规律：第n个图形需要用（1＋5n）根小棒。
【详解】1＋5×5
＝1＋25
＝26（根）
所以摆第5个图形需要用26根小棒。
故答案为：C
【分析】解答数形结合类规律探索问题时，要仔细观察数与形之间的关系，先找到数与形之间隐含的数学规律，再利用规律进行解答即可。
3．C
【分析】观察几个图片，可以发现：任何一个大于1的“正方形数”正好等于每个正方形图中，每列点子个数的平方；“三角形数”等于相邻自然数相加的和，可分别总结出每个“正方形数”、“三角形数”的规律，并按此规律继续推理出几个“正方形数”、“三角形数”，再结合选项判断即可。
【详解】图一中：等号左边是4，就是22，也就是这个正方形每列的点子数的平方；等号右边是1＋3，是两个相邻“三角形数”之和，因此，可把1看作第一个“三角形数”，1＋2＝3，3就是第二个“三角形数”；
图二中：32＝9＝3＋6，9是“正方形数”，3是第二个“三角形数”，1＋2＋3＝6，6是第三个“三角形数”；
图三中：42＝16＝6＋10，16是“正方形数”，6是第三个三角形数，1＋2＋3＋4＝10，10是第四个“三角形数”；
以此类推：
图四中：应该是52＝25＝10＋15，25是“正方形数”，这里10是第四个“三角形数”，15是第五个“三角形数”；
图五中：应该是62＝36＝15＋21；
图六中：应该是72＝49＝21＋28；
……
A．13＝3＋10：13不是一个数的平方，也就不是“正方形数”，不合题意；
B．25＝9＋16：9、16都不是“三角形数”，不合题意；
C．36＝15＋21：36是6的平方，15和21是相邻的“三角形数”，符合题意；
D．49＝18＋31：18、31都不是“三角形数”，不合题意。
故答案为：C
【分析】本题较为复杂，需要运用数形结合的思想，通过观察总结“三角形数”、“正方形数”的规律，并加以应用。
4．B
【分析】分析题意，找出图形变化的规律：灰色小正方形的个数＝小正方形的总个数－白色小正方形的个数，小正方形的总个数和白色小正方形的个数分别利用正方形的面积公式计算求出，据此解答。
【详解】第1个图形有：32－12＝9－1＝8（个）
第2个图形有：42－22＝16－4＝12（个）
第3个图形有：52－32＝25－9＝16（个）
所以第6个图形有：82－62＝64－36＝28（个）
故答案为：B
【分析】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
5．C
【分析】根据题意可知，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有（8＋4）个小正方形，第3个图案中有（8＋4＋4）个小正方形，以此类推，第n个图案中[8＋4（n－1）]个小正方形，据此化简为4n＋4，若第n个图案中有240个小正方形，则4n＋4＝240，然后解出方程即可。
【详解】第n个图案中，小正方形个数：
8＋4（n－1）
＝8＋4n－4
＝（4n＋4）个
4n＋4＝240
解：4n＋4－4＝240－4
4n＝236
4n÷4＝236÷4
n＝59
若第n个图案中有240个小正方形，则n的值为59。
故答案为：C
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
6．B
【分析】观察图形可知，一张桌子可以做4人，以后每增加一张桌子就增加2人，则m张桌子拼起来可以坐：4＋2（m－1）＝（2m＋2）人，据此解答。
【详解】可以坐26人时
2m＋2＝26
2m＋2－2＝26－2
2m＝24
2m÷2＝24÷2
m＝12
12张桌子拼起来可以坐26人。
故答案为：B
【分析】此题考查了数与形的结合，认真观察图形找出其中的规律是解题关键。主要培养学生的观察能力。
7．21
【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：3根；摆2个三角形需要小棒（3＋2）根；摆3个三角形需要小棒（3＋2＋2）根；……摆m个三角形需要小棒的根数是3＋2（m－1）。据此解答。
【详解】摆m个三角形需要小棒：
3＋2（m－1）
＝3＋2m－2
＝（2m＋1）根
当m＝10时，
2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
用小棒按下面的方法摆图形，第10个图形用了21根小棒。
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
8． 12 36
【分析】观察图发现，正方形个数是2个，直角三角形个数是4个，每增加一个正方形，直角三角形个数新增加4个，那么直角三角形的个数＝（正方形个数一1）×4。据此解答。
【详解】（4－1）×4
＝3×4
＝12（个）
（10－1）×4
＝9×4
＝36（个）
即画4个正方形能得到12个直角三角形，画10个正方形能得到36个直角三角形。
【分析】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
9．4；8；12；4n；60
【分析】观察图形可知，第一个图形的周长边长为1厘米的正方形的周长，是1×4＝4厘米，第二个图形右上方的两条小正方形的边长分别向上、向右平移，则可得这个图形的周长是边长是2厘米的正方形的周长，是2×4＝8厘米；同样，第三个图形的周长等于边长是3厘米的正方形的周长，是3×4＝12厘米；……，摆成n层，摆成的图像的周长是4n；当n＝15时，求出摆成图形的面积。
【详解】根据分析可知，第一个图形周长是：1×4＝4（厘米）
第二个图形周长是：2×4＝8（厘米）
第三个图形周长是：3×4＝12（厘米）
若摆成n层，则周长是：n×4＝4n（厘米）
当n＝15数，4×15＝60（厘米）
像这样摆n层，摆成的图形周长是4n厘米；当n＝15时，摆成图形的周长是60厘米。
【分析】本题考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
10．8
【分析】第一个图形的周长是3，第二个图形的周长是4，第三个图形的周长是5，据此分析，每增加一个三角形周长就多1，所以第n个图形的周长＝n＋2，据此解答。
【详解】第n个图形的周长：
n＋2
＝6＋2
＝8（cm）
那第6个图形的周长是8cm。
11．
【分析】观察第一个算式我们可以发现算式左边1＋3为两个连续的奇数相，右边等于22；第二个算式左边l＋3＋5为三个连续的奇数相加，右边等于32；第三个算式左边1＋3＋5＋7为四个连续的奇数相加，右边等于42。当正方形边长由n个相同小正方形的边长组成时，正方形中包含的小正方形总个数可以用算式l＋3＋5…（2n－l）＝n2来进行计算，据此解答。
【详解】由分析可得：大正方形的个数是小正方形的个数从1开始的差是2的等差数列几个项的和，小正方形的总个数等于等差数列项数的平方。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝92
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝112
【分析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
12．51
【分析】看图可知，小棒根数＝正六边形个数×5＋1，据此列式计算。
【详解】10×5＋1
＝50＋1
＝51（根）
摆出10个这样的正六边形一共需要51根小棒。
13．×
【分析】由图可知，一个正方形需要4根小棒，两个小正方形需要（4＋3）根小棒，三个小正方形需要（4＋3＋3）根小棒，由此可以推断，除了第一个正方形需要4根小棒，之后每增加一个正方形只需要3根小棒，那么摆n个正方形只需要4＋3（n－1）根小棒，化简即可验证。
【详解】4＋3（n－1）
=4＋3n－3
=3n＋1（根）
摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。
故答案为：×
【分析】此题考查学生的归纳总结能力以及含有字母的式子的化简，找到题干中的排列规律是解题的关键。
14．×
【分析】因为＝－；＝－；＝－；＝－；把原式中每个加数化成两个数的差，再加起来，加减抵消，进行简算即可。
【详解】
故答案为：×
【分析】考查了分数的拆项公式的运用。
15．√
【分析】根据题意，黑色正方形的数量＝图形序号数，第n个图形就有n个黑色正方形；白色正方形数量与序号数n（黑色数量）的数量关系是：白色数量＝5n＋3，据此解答。
【详解】当n＝8是，5×8＋3＝43；
照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43，故说法正确。
【分析】此题考查了数与形的知识，关键能够根据已知图形数量找出数量关系。
16．；10；
49；2
【分析】（1）利用减法的性质，小括号打开，里面的减号变为加号，先计算的和，再计算减法，最后计算中括号外的乘法；
（2）除以变为乘，同时把和125%化成分数，再利用乘法分配律进行简便计算；
（3）把15×17看作一个整体，再利用乘法分配律进行简便计算；
（4）因为＝1－，所以＝＝，最后再计算除法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝10
＝
＝
＝49
＝
＝
＝
＝
＝2
17．68；
【分析】（1）先把第二组乘法中的34分解成17×2，然后交换分子19和整数17的位置，这样出现与第一组乘法相同的因数，根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算；
（2）观察算式，发现从第二个数开始，每个数是前一个数的；一个一个加下去发现：，，，……规律：等号右边分数的分子比分母只少1，只需加上最后一个分数，和就是1，再减去加上的这个分数，即是原题的结果。
【详解】（1）
（2）
18．（1）21根；（5n＋1）根；思考过程见详解
（2）401根
【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒，由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可；
（2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。
【详解】（1）观察图形可知，摆1个六边形需要6根小棒，
摆2个六边形需要11根小棒，可以写作：11＝6＋5＝6＋5×1；
摆3个六边形需要16根小棒，可以写成：16＝6＋5＋5＝6＋5×2；
摆4个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋5＝6＋5×3；
6＋5×3
＝6＋15
＝21（根）
……
摆n个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋……＋5＝6＋5×（n－1）；
6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝5n＋1
答：摆4个六边形，需要21根小棒。摆n个六边形，需要（5n＋1）根小棒。
（2）当n＝80时，代入得：
5n＋1
＝5×80＋1
＝400＋1
＝401（根）
答：摆80个六边形，需要401根小棒。
19．（1）见详解；
（2）52；144
【分析】（1）观察图形可知，第①幅图中一共有9个图形，表示为32，●有1个，表示为12；○有8个，表示为32－12；
第②幅图中一共有16个图形，表示为42，●有4个，表示为22；○有12个，表示为42－22；
第③幅图中一共有25个图形，表示为52，●有9个，表示为32；○有16个，表示为52－32；
由此可知，第n幅图●有n2，○有（n＋2）2－n2；第四幅图●有42＝16个，○有62－42＝20个，据此画出第④幅图；
（2）根据以上规律，第12幅图中，○个数有（12＋2）2－122个；●个数有122个，据此解答。
【详解】分析可知：
（1）
（2）○的个数：（12＋2）2－122
＝142－144
＝196－144
＝52（个）
●个数：122＝144（个）
第12幅图中有52个○，有144个●。
【分析】本题主要考查数与形，关键是根据所给图形找出规律，并利用规律解答问题。
20．（1）1；3；6；10
3；6；10；15
（2）▲有28个；△有36个
【分析】第1个图有1个▲，第2个图有1＋2＝3（个）▲，第3个图有1＋2＋3＝6（个）▲，第4个图有1＋2＋3＋4＝10（个）▲，……由此发现规律：第n图有（1＋2＋3＋4＋…＋n）个▲。
第1个图有1＋2＝3（个）△，第2个图有1＋2＋3＝6（个）△，第3个图有1＋2＋3＋4＝10（个）△，第4个图有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）△……由此发现规律：第n图有[1＋2＋3＋4＋…＋（n＋1）]个△。
【详解】（1）▲的个数：
第1个图：1个
第2个图：1＋2＝3（个）
第3个图：1＋2＋3＝6（个）
第4个图：1＋2＋3＋4＝10（个）
△的个数：
第1个图：1＋2＝3（个）
第2个图：1＋2＋3＝6（个）
第3个图：1＋2＋3＋4＝10（个）
第4个图：1＋2＋3＋4＋5＝15（个）
如下表：
序号 ① ② ③ ④
▲ 1 3 6 10
△ 3 6 10 15
（2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）
答：第7个图形中▲有28个，△各有36个。
【分析】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
21．28个
【分析】第1个图有：1个；
第2个图有：3个，3＝1＋2；
第3个图有：6个，6＝1＋2＋3；
第4个图有：10个，10＝1＋2＋3＋4；
……
规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。
据此规律解答。
【详解】规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。
当n＝7时
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
＝（1＋7）×7÷2
＝8×7÷2
＝28（个）
答：第七个图有28个。
【分析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
22．见详解；37；1＋4（n－1）
【分析】第1个图形，1个点；
第2个图形，5个点，5＝1＋4＝1＋4×（2－1）；
第3个图形，9个点，9＝1＋4×2＝1＋4×（3－1）；
第4个图形，13个点，13＝1＋4×3＝1＋4×（4－1）；
……
第n个图形的点数是1＋4（n－1）个；
据此规律解答。
【详解】第五个图形有（1＋4×4）个点。
如图：
第n个方框里有1＋4（n－1）个点。
当n＝10时
1＋4（n－1）
＝1＋4×（10－1）
＝1＋4×9
＝1＋36
＝37（个）
第10个方框里有37个点，第n个方框里有1＋4（n－1）个点。
【分析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
23．（1）见详解；
（2）①2＋4＋6＋8＋10；
②50×51
【分析】（1）第1个图形有2个圆圈，第2个图形有（2＋4）个圆圈，第3个图形有（2＋4＋6）个圆圈，第4个图形有（2＋4＋6＋8）个圆圈……在第3个图形外面画上8个黑色的圆圈，圆圈的总个数为从2开始连续偶数的和，等于偶数的个数乘个数加1的乘积；
（2）①“5×6”表示从2开始连续5个偶数的和，即2＋4＋6＋8＋10；
②，一共有50个偶数，则50×51，据此解答。
【详解】（1）
……
①2＝1×2 ②2＋4＝2×3 ③2＋4＋6＝3×4 ④2＋4＋6＋8＝4×5
（2）①分析可知，2＋4＋6＋8＋10＝5×6；
②50×51。
【分析】理解从2开始连续偶数的和等于偶数的个数与（偶数的个数＋1）的积是解答题目的关键。
24．（1）见详解
（2）面积：2.5、3.75。
周长：8、10。
【分析】（1）观察图形可知，第一个图形有1列有1个正方形，第二个图形有2列，第2列有2个正方形，第三个图形有3列，第3列有3个正方形 所以第五个图形有5列，第5列有5个正方形；
（2）一个正方形的边长是0.5厘米，一个正方形的面积是0.5×0.5＝0.25平方厘米，然后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可；通过平移可知求图形4和图形5的周长即求边长是0.5×4＝2厘米和0.5×5＝2.5厘米正方形的周长。
【详解】（1）图形⑤如图所示：
（2）第④图形的面积为：0.5×0.5×10＝2.5（平方厘米）
周长是：0.5×4×4＝8（厘米）
第⑤图形的面积为：
0.5×0.5×15
＝0.25×15
＝3.75（平方厘米）
0.5×5×4
＝2.5×4
＝10（厘米）
【分析】本题考查图形的周长和面积，明确面积和周长的定义是解题的关键。
25．绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解
【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6；
第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6；
第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6；
第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6；
……
规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。
【详解】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
当n＝6时，有6个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×6＋6
＝12＋6
＝18（个）
当n＝10时，有10个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×10＋6
＝20＋6
＝26（个）
答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。
道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
【分析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。

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