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第16讲 最值问题二
兴趣篇
1、用0,1,2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数、、、、。请问：
最大可能是多少？
答案：222
要让结果尽量大，那么的十位要尽量大，的十位尽量小。再让的个位要尽量大，的个位尽量小。那么可以得到。
2、将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时人数最少的那组有多少人？
答案：15组；1个人或2个人
，因此最多可以分为15组。
又，，因此人数最少的一组有1或2人。
3、有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？
答案：25场
两队人数最接近的时候，比赛场次最少。要证实此结论，可采用逐步调整法：
考虑初始状态是，那么把一个人从1组调到2组可以减少10场比赛，变成；再把一个人从1组调到2组可以减少1组9场比赛，增加2组1场比赛，变成……。，减少6场，增加4场；减少5场，增加5场。再调整的时候，增加的场数要比减少的多了，那么分组时的场次达到最少。
分成1组5人，1组6人，那么共需比（场）。
4、我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如。有的数有几种不同的表示方法，例如。请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？
答案：16
如果我们能找到4个数使得，那么就有。我们把质数从小到大写出来：其中最小的满足上述条件的4个数是，那么这个最小的数是。
5、一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？
答案：最大100；最小
设三位数为。那么，它与其各位数的商为。
。当且仅当时，等号成立。例，100。
，a=1，c=9时分子有最小值，b=9时，分母有最大值。那么，当时，商最小，为。例，199。
6、（1）在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？
（2）从1至9中选取四个不同的数字填入算式中，使算式的结果小于1。这个结果最大是多少？
答案：（1）；（2）
（1）分子相同的情况下，分母越大，分数越小。两个分母是一位数的最简真分数之差，分母最大是，那么这两个分数的差最小是。
（2）在形如的分数中，分母越大，分数和1约接近。又最大是72，因此这个结果最大是。
7、如图，等腰直角三角形中，厘米。在其中作一个矩形，矩形
的面积最大可能是多少？
答案：4平方厘米
矩形的长和宽之和是一固定值：4厘米。那么长和宽相差越小，面积越大。因此矩形面积最大为平方厘米。
8、如图，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形。这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？
答案：70
先把八边形补成一个矩形。那么要让八边形的面积最大，首先要让矩形的面积最大。矩形的周长为如果4条边的长度都是9，那么仅有，而实际上有1条边是由3条小线段组成的，显然不成立。那么让。这时可让上下两条边为8：，左右两边为10。此时大矩形的面积为。此时想让八边形面积最大，那么左右缺损的两个小矩形面积要尽量小，分别是。于是八边形的面积最大为。
各线段长度如图。
9、在的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点。请问：最多可以将多少个方格染成黑色？
答案：4个
把的方格表分成4个的小方格，那么为了使任意两个黑格都没有公共顶点，每个的方格中，只能有1个黑色方格，即最多可以将4个黑色方格染成黑色。
例如（写1处染黑色）。
10、古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦。他精通数学、物理，聪慧过人。有一天，一位将军向他请教一个问题：如图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？
答案：在下图中的地饮水
先把甲乙两地和河边分别抽象为如图的两点和直线。从点做关于直线对称的点。那么现在，在直线上的任意一点到点的距离，和到点的距离相等。那么直接连接交直线于点， 点就是我们所求的饮马地点。
要证明这个结论很简单，只需在直线上任取一点，那么，三角形两边之和大于第三边。
拓展篇
1、如图所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架。这个长
方体的体积最大可能是多少？
答案：294立方厘米
设长方体的长、宽、高分别为，那么。我们知道，和相同的情况下，差越小，积越大。因此体积最大时，，体积为（立方厘米）。
2、把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大。问：这个乘积最大可能是多少？
答案：162
我们要把14分成若干个自然数的和，并使他们的积尽量大，那么首先要尽量把所有数分小，但又不能太小。那分到哪个数最划算呢？
我们考虑，5可以分成2和3；6可以分成3和3；7可以分成3、2、2……显然，这些自然数中不能有超过4的数。而显然也不能有1。那么我们就需要尽量分成2,3,4这几个数。
对于这3个数，哪个最划算呢？我们注意到，3比4划算，，3比2划算。因此要让积最大，我们应该尽可能多的分成3，不足3的用2。如果最后剩下4怎么办呢？因为，因此剩4的时候我们不分。
那么对于这道题，，乘积最大为。
3、从1,2，…，9中选出8个数填入下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果。
答案：，计算结果为131
，要让结果最大，首先是中，乘数尽量大，除数尽量小。那么。和一定时，差越小积越大，那么。。
接下来，应该让尽量小，那么乘数尽量小，加数尽量小，减数尽量大。。于是
4、有13个不同的自然数，它们的和是100。其中偶数最多有多少个？最少有多少个？
答案：9个；5个
还剩下10，无法表示为3个不同奇数的和，那么最多有9个偶数。我们去掉一个偶数18，那么剩下28可以表示成4个不同奇数的和，那么最多可以有9个偶数。
，还差3个偶数。那么我们至少去掉2个奇数，换成5个偶数。可以去掉1和19，那么剩下5个偶数的和是20，。因此最少有5个偶数。
5、将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加。请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？
答案：312；323
如图。要让乘积的和最小，那么10两边的数要尽量小。令，那么剩下8,9，，因此让。乘积的和最小为：
要让乘积的和最大，那么10两边的数要尽量大。令，那么剩下6,7，，因此让。乘积的和最大为：
6、有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60。这5袋糖块总共最少有多少块？
答案：103块
如果让任意3袋都刚好有60块，那么可以让每一袋都有20块，那么共有100块糖。现在我们想任意取3袋的总块数都超过60，那么只需在其中3袋中再加入1块糖。那么此时5袋中共有103块糖。
7、已知算式的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？
答案：9872
9984恰好能被8整除，那么我们要求的是能被8整除的各位数字不同的最大四位数。，那么9872满足条件。
8、用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式。
答案：
要让乘积最大，首先3个三位数的百位数字必须尽量大。要分成3个能被9整除的三位数，那么必有1个数的各位和为9，那么这个数最大是621。剩下两个三位数，百位必然是8和9，那么只能是873和954。这个算式是：
9、所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？
答案：11
所有不小于8的偶数，都能表示成两个偶合数之和；所有不小于13的奇数，都能表示成9和一个偶合数之和。那么最大的不能表示为两个合数之和的自然数是11
10、把1至99依次写成一排，形成一个多位数：。从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数。请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？
答案：最大；最小
要让剩下的数尽量大，我们要让前面有尽可能多的9。1-9共9个数字，有1个9；以后每10个数，20个数字中有1个9。那么1-49中共89个数字，有5个9。我们还可以再划去15个数，那么划去505152535455565下一个最大的数字是7，剩下的数最大是。
要让剩下的数尽量小，第一位是1，之后有尽可能多的0。1-10共11个数字，有1个1,1个0；以后每10个数，20个数字中有1个0。那么1-50中共91个数字，有1个1，5个0。我们还可以再划去14个数，51-60中我们可以留下6个数字，那么选择123450是最小的。剩下的数最小是。
11、邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米。如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？
答案：26千米
一笔画问题。图中有2个奇点，但我们不是从其中一个奇点出发，因此不能一笔画出。现在题目要求走遍所有的街道，那么必然要走重。连接两个奇点，那么现在总路线多了1千米，奇点个数为0个，可以一笔画出。那么总路线为各条线段长度加起来，再加1，共26千米。
12、如图，有一个长方体形状的柜子。一只蚂蚁要从左下角的点出发，沿柜子表面爬到右上角的点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来。
答案：5；4条；表示略
如图，把柜子展开，那么根据两点之间线段最短（三角形两边之和大于第三边），最短距离为5。共有4条这样的路线。
超越篇
1、一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可
输入77,707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？
答案：21次
从题目要求可知，只用“”、“”和“”键来显示“”，而。这道算式说明，如果只用“”键连续加次，就能得到。但这样的次数太多了。况且，“”键也没有发挥作用。有没有更好的解决办法呢？
由题目可得我们需要尽量少按“”，而按“”的次数并没有限制，那么我们发现，这属于位值原理的灵活运用。因而我们发现，只需要按次“”然后把它们都加起来就可以了。
2、用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数和一个两位数,再用0、2、4、6、8这5个数字组成一个三位数和一个两位数.请问：算式的计算结果最大是多少？
答案：60483
要使的结果最大，那么要使的值最大，的值最小。
对于位数不同的两数进行赋值，首先应把位数补齐，再从高到低赋值。
要使的值最大，即让每位数字的分配方法如下：百位尽可能大，；十位两数次之，；个位最小。于是，要让两乘数的差尽量小，那么，，。
的值最小，即让每位数字的分配方法如下：百位尽可能小，；十位两数次之，；个位最大。于是，要让两乘数的差尽量大，那么，。
所以。
3、将1、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是多少？
答案：147
易知，除了对面两个数不需相乘外，其他没两数都要相乘一次。那么我们只需要考虑怎样让对面的3组数的乘积最小即可。那么，1,6一组，2,5一组，3,4一组。12个乘积的和最大为：。
4、用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？
答案：784
构造数字谜如右上图，那么这个加法竖式中，其中一个加数就是所求的差，假设为。
首先考虑进位：这个加法算式中最多有2次进位（否则和为4位数）。如没有进位，那么，不成立。如果有2次进位，，也不成立。那么只有1次进位，而且不可能发生在百位。可以求得：。
要让差最大，必然要让，。下面根据在哪里进位进行讨论。
（1）如果进位发生在个位，那么，此时（进位得1，与重复）。我们可以发现，此时无法安排的取值。因此进位不会发生在个位。
（2）如果进位发生在十位，那么，那么的最大值是8。此时个位不进位，可以选择的只有。为了让尽量大，那么我们选择，。那么我们可以得到：。
综上，差最大为784
5、有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如，。所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多少？
答案：38
，那么任何大于34的除以3余1的数都可以表示成25加上一个3的倍数的奇合数的形式；任何大于44的除以3余2的数都可以表示成35加上一个3的倍数的奇合数的形式。因此不小于44的偶数是肯定满足条件的。
又都满足，因此不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的是38
6、如图，有一个圆锥形沙滩的底面直径为2厘米，母线的长度为6厘米。请问：
（1）如果一只蚂蚁想从点去点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥表面走）；
（2）如果一只蚂蚁需要由点出发到达线段上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？
（1）把圆锥的侧面展开，两点之间线段最短，如下图所示；
（2）同样先把圆锥的侧面展开。点到直线垂线段最短，如下图所示
7、如图，一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方
体，那么所得的长方体容积最大是多少？
答案：
设减去的小正方形的边长是，那么长方体的容积是：要求这个式子的最大值。我们知道，如果几个数的和固定，那么要它们的积最大，只需要这几个数的差尽量小就可以了。可是这里面3个数的和为，不固定。那么我们可以考虑这3个数：，这3个数的和是20，积是的4倍。而这3个数满足时积最大，此时。那么长方体容积的最大值是：。
8、一个的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列。已知任取个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么的最小值是多少？
答案：10
如果我们能找到其中2行中每行都有2个或以上的数，那么我们必能推出这2行中的所有数字，进而能推出整个方格中的所有数字。同理，找到其中2列中每列都有2个或以上的数亦然。
从最不利的情况考虑，我们取一整行和一整列的共计9个数字，此时我们无法推出其它任何数字（如图）。此时只要再知道任意一个数字，就满足上述条件。因此的最小值是10。第16讲最值问题二
内容概述
各种类型的复杂最值问题，通常采用枚举、局部调整和极端分析等方法．有些情况下，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．
典型问题
兴趣篇
1．用0，1，2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数a、b、c、d、e．请问：a – b + c – d + e最大可能是多少？
2．将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？
3．有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？
4．我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如8 = 3 + 5．有的数有几种不同的表示方法，例如100 = 3 + 97 =11 + 89 =17 + 83.请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？
5．一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？
6．(1)在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？
(2)从1至9中选取四个不同的数字填人算式中，使算式的结果小于1．这个结果最大是多少？
7．如图16-1，等腰直角三角形ABC中，
CA = CB = 4厘米，在其中作一个矩形CDEF，
矩形CDEF的面积最大可能是多少？
8．如图16-2，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形，这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？
9．在4×4的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点，请问：最多可以将多少个方格染成黑色？
10．古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图16-3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？
拓展篇
1．如图16-4所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架．这个长方体的体积最大可能是多少？
2．把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大，问：这个乘积最大可能是多少？
3．从1，2，…中选出8个数填人下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果．
口÷口×（口＋口）－（口×口＋口－口）．
4．有13个不同的自然数，它们的和是100.其中偶数最多有多少个？最少有多少个？
5．将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加，请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？
6．有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60.这5袋糖块总共最少有多少块？
7．已知算式9984 - 8 - 8 - … - 8的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？
8．用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．
9．所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？
10．把l至99依次写成一排，形成一个多位数：从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？
11．邮递员送信件的街道如图16-5所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？
12．如图16-6，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．
超越篇
1．一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键 “ + ” 尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？
2．用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数和一个两位数，再用0、2、4、6、8这5个数字组成一个三位数和一个两位数．请问：算式× - ×的计算结果最大是多少？
3．将l、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是多少？
4．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？
5．有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如24 =9 +15，100= 25+75.所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多少？
6．如图16-7，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为2厘米，母线AC的长度为6厘米．请问：
(1)如果一只蚂蚁想从B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线(蚂蚁只能在圆锥表面走）；
(2)如果一只蚂蚁需要由曰点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？
7．如图16-8，一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？
8．一个5×5的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列．已知任取n个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，n的最小值是多少？

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