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第二十六章 反比例函数
26.2实际问题与反比例函数
教案
教学目标：
1.根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式
2.通过所列的反比例函数解析式解决实际问题
3.在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型
教学重点：
1.根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式
2.通过所列的反比例函数解析式解决实际问题
教学难点：
通过所列的反比例函数解析式解决实际问题
教学过程:
复习提问，引入新课
教师提出问题：我们已经学习了反比例函数的定义、图象和性质，回顾一次函数、二次函数的学习过程，接下来我们应该探究什么？
类比一次函数、二次函数的学习过程，引出如何应用反比例函数解决实际问题.
二、探究新知
探究一：
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少？
(结果保留小数点后两位)
思考：（1）圆柱的体积公式是什么？
（2）该探究题中包含哪些量？哪些是常量？哪些是变量？你能写出S与d的关系式吗？你能从函数的角度来解释这个关系式吗？
（3）把储存室的底面积S定为500m2 ，从函数角度来看，你怎么理解？把储存室的深度改为15m又是什么意思呢？
解：(1)∵
∴
(2)∵底面积S定为500 m2
∴
∴
(3)∵深度改为15 m
∴
答：(1)函数关系式为；
(2)当S定为500 m2时，应掘进20m；
(3)当深度改为15m时，底面积应改为约666.67 m2.
总结：应用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①仔细审题，确定变量和常量；
②适当方法，得到函数解析式；
③根据已知，代入求出未知量；
④结合所求，写出实际问题答案.
探究二：
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t(单位：天)之间有怎样的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
解：(1)∵
∴
(2)∵要求船上的货物不超过5天卸载完毕
∴
∴
答：(1)函数关系式为；
(2)平均每天至少要卸载48吨.
师生活动：学生独立思考，教师适时提问，在这个问题中常量是什么 变量是什么？是否符合反比例函数的模型，如果是反比例函数，那么其比例系数是什么？在此基础上，学生写出平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间的函数关系式.教师引导学生从函数角度出发，该如何理解“不超过5天卸载完毕”，并进行讨论，寻求解决问题的方法.学生交流展示，教师对学生中出现的不同解法给予点评，并规范书写过程.
三、例题练习
例题1
小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.(助力×阻力臂=动力×动力臂)
(1)动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？
(2)若想使动力 F 不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？
解：(1)∵
∴
∵动力臂为1.5m
∴
(2)∵动力 F 不超过所用力的一半
∴
∴
∴
答：(1)撬动石头至少需要 400 N 的力；
(2)动力臂 l 至少要加长 1.5 m.
例题2
一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω.已知电压为 220 V.
(1)功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？
(2)这个用电器功率的范围是多少？
解：(1)∵
∴
(2)∵
∴
∴
答：(1)函数关系式为：；
(2)这个用电器功率的范围是 220～440 W.
目的:让学生进一步体会数学建模思想，并用反比例函数解决实际问题.
四、课后练习
1.某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为( )
A. B. C. D.
解析：由城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，
则平均每人拥有绿地.
故选：C.
2.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为________.
答案：400
2.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为________.
3.某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力F为__________.
答案：2500
解析：设功率为P，由题可知，即，将，代入解得，
即反比例函数为：，
将代入，
得，
故答案为：2500.
4. 在质量不变的情况下，某物体的密度与体积成反比例，其函数图象如图所示，解答下列问题：
（1）试确定与之间的函数表达式；
（2）当时，求物体的密度.
答案：（1）.
（2）.
解析：（1）设与之间的函数表达式为，
将的坐标代入得， ，
，
与之间的函数表达式为.
（2）当时， 物体的密度 .
六、小结
今天我们学习了哪些知识？
1.能够根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式
2.通过所列的反比例函数解析式解决实际问题
七、板书设计
实际问题与反比例函数
应用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①仔细审题，确定变量和常量；
②适当方法，得到函数解析式；
③根据已知，代入求出未知量；
④结合所求，写出实际问题答案.

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