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第二章 函数
2.1生活中的变量关系
1.从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系，能利初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别．
2.在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识．
重点：感受生活中处处有变量，加深理解初中的函数概念．
难点：依赖关系和函数关系的差别．
新课导入
生活中变化的事物无处不在，你感受到了哪些事物的变化？请举例并加以说明？
例如：温度随四季的变化，身高随年龄的变化，汽车行驶里程随时间的变化等．
　设计意图：引导学生用数学的眼光，关注生活中的变量．
新知探究
活动1：分析生活中的变化现象，认识变量之间的关系．
问题1：生活中温度的变化．
我们能感受到每天温度的变化，怎么刻画这种变化呢？在一个标准大气压下定义了摄氏零度的概念，这样就可以用温度值的大小表示温度的变化，温度的变化与季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等很多客观因素都有关系．
引导学生依据生活中的情境，围绕以下问题进行小组讨论交流：
⑴生活情境是什么？其中的变化怎样描述？这种变化有什么需要说明的条件吗？
⑵变化的过程中存在哪些变量？哪些常量？
⑶变量之间是什么关系？这种关系是怎样描述的？
答案：⑴生活情境是每天温度的变化，这种变化用温度值描述，这种变化要限制季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等客观因素．
⑵变化过程中一个标准大气压下摄氏零度是常量，季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等是变量．
⑶对于季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等每一个不同的值都对应一个温度．
设计意图：通过一个简单的例子，引导学生用数学的方式分析生活现象．
问题2：高速公路的加油站
经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪儿？是怎么储存的？如图是某高速公路加油站的图片.加油站的油是存放在地下，常用圆柱体罐储存.储油罐的长度为d，截面半径为r，油面高度为h、油面宽度为w、储油量记作V.这些量哪些是常量，哪些是变量？量与量之间存在着怎样的关系？这些关系是同一类关系吗？有什么不同？
答案：储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h、油面宽度w、储油量V是变量.当油面高度h和油面宽度w发生变化时，储油量V也随之改变即油面高度h和油面宽度w与储油量V是依赖关系．但这两种关系又不完全相同，对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V与它对应．而对于油面宽度w取定一个值可以有两种油面高度和它对应．
设计意图：在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识．
问题3：阅读下面材料，回答问题．
自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅速发展，截至2017年年底运营里程突破25 000 km.下图表示的是中国高铁年运营里程的变化．
从图中可以看出：随着时间的变化，高铁运营里程与年份存在着依赖关系．依据图中的数据，你能得出哪些结论？
答案：通过观察图不难看出，（1）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多．
随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系．对于年份的每一个取值，都有唯一的运营里程与它对应．
初中我们学习过函数的概念：
如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
判断两个变量是否有函数关系：对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应．
因此在问题2与问题3中，储油量V是油面高度h的函数，高铁运营里程是年份时间的函数，但是储油量V不是油面宽度w的函数．
设计意图：通过以上三个问题的分析，复习初中的函数概念，即在一个变化的过程中，有两个变量x，y，对于变量x的每一个取值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量．另外，在现实生活中，要确定两个变量之间是否具有函数关系，关键是判断对于变量x的每一个取值，变量y是否都有唯一确定的值与之对应，这点非常重要，需要学生认真理解．
活动2：分析事物中变量间的函数关系，叙述刻画函数关系的不同方法．
阅读下面的材料，思考以下问题，学生之间交流讨论．
（1）确认变量之间是否存在函数关系．
（2）材料中采用什么方法描述函数关系的？
材料1：表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：
气压/ 0.5 1.0 2.0 5.0 10
沸点/℃ 82 100 121 152 180
材料2：下图是某市的甲、乙两个气温观测点在某一天的气温曲线图，为方便比较，将两条曲线画在同一平面直角坐标系中，每一条曲线表示在一个观测点的观测情况．
材料3：某地电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法.居民每月应缴电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW h）的关系是
y=
答案：（1）材料1，2，3中的变量之间均存在着函数关系．
（2）材料1，2，3分别用列表法、图象法和解析法来表示函数．
尤其是在材料3中，给定范围内，对于自变量x的取值范围不同所对应的函数关系也不同，我们称这样的函数为分段函数．
设计意图：通过分析学生理解材料中隐含着函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．
活动3：1.对于问题２中的储油罐的问题中还有很多量，如储油罐长度、油面面积等，找出这些量中的常量和变量，并指出哪些变量之间是函数关系．
答案：
常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等；变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；
（2）储油量和油的体积、储油量和圆柱底面上弓形的面积、油的体积和油面宽度之间都存在依赖关系；
（3）储油量是油体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上弓形面积的函数．
2.选定超市、邮局、公路或其他一个场景，观察分析其中有哪些常量和变量，哪些变量之间是函数关系？
答案：略．结论很开放，由学生交流各自的结论．
设计意图：鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活．
应用举例
1．某电器商店以2 000元/台的价格购进了一批电视机，然后以2100元/台的价格售出，随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化的？利润和售出的台数之间存在函数关系吗？
答案：随着售出台数的变化，商店的利润也会增加，利润和售出的台数间存在函数关系．
2.坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？
答案：坐电梯时，电梯距地面的高度随时间的确定而确定．
3.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？
答案：在一定量的水中加人燕糖，糖水的浓度随所加蔗糖的质量的确定而确定．
课堂练习
1．下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
（1）球的体积和它的半径；
（2）速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
（3）家庭的收入与其消费支出；
（4）正三角形的面积和它的边长．
答案：（1）中，球的体积V与半径r间存在的关系．
（2）中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系．
（3）中，家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性．
（4）中，正三角形的面积s与其边长a间存在的关系．
综上可知（1）（2）（3）（4）中两个变量间都存在依赖关系，其中（1）（2）（4）是函数关系．
2．下图是我国某年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份（单位：月），纵轴为降雨量（单位：cm）.由图中曲线可判断该地该年的降雨量与时间是否具有函数关系？
答案：因为对于该年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得该年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．
课堂小结
1.依赖关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的改变引起变量y的改变，则这两个变量是依赖关系．
2.函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，则这两个变量是函数关系，在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．
3.依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．
六、布置作业
教材第51页习题2-1A组、B组．

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