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2.1必要条件和充分条件
第1课时
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教学目标
)
理解必要条件，充分条件，充要条件的概念；
2．能够判断命题之间的充分必要关系.
(
教学重难点
)
重点：充分条件、必要条件的概念；
难点：判断命题的充分条件、必要条件.
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课前准备
)
PPT课件
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教学过程
)
（一）问题导入
问题1：阅读课本第14页第一段，回答下列问题：
（1）在初中，我们学习过命题，什么是命题？
（2）什么是真命题和假命题？你能举一些例子吗？并试着将你的例子改写成“若p，则q”的形式.
师生活动：根据学生列举的例子，教师和学生一起回顾初中学习的命题的相关知识：命题的概念、命题真假及其判断等，并引导学生关注到本节主要讨论的命题形式是：“若p，则q”，通过改写列举的命题，认识条件和结论.
预设的答案：初中学习过“命题”的知识，可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题.判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题.例如平面上两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等.
该命题为真命题，其中“平面上两条直线被第三条直线所截”是命题的前提，“如果两直线平行”是命题的条件，“那么同位角相等”是命题的结论.
设计意图：复习初中学过的关于命题、真命题、假命题的概念，认识命题的条件和结论，为后续学习做好铺垫.
引语：本节我们主要讨论“若，则”这种形式的命题，并进一步考察命题中和的关系，学习数学中的一些常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件.
（二）新知探究
小组讨论：
定理1：菱形的对角线互相垂直.
定理2：对顶角相等.
定理3：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等.
①将定理1、2改成“若，则”的形式.
预设的答案：
定理1：如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.
定理2：如果两个角是对顶角，那么它们相等.
追问1：定理1：如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.请问“对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必有的条件吗？
预设的答案：是，如果对角线不垂直，那么肯定不是菱形.
师生活动：定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说，如果能确定四边形为菱形，那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.
追问2：试用上面的方法分析定理2，定理3.
预设的答案：定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.也就是说，如果两个角是对顶角，那么一定可以得到这两个角相等，而若两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角.定理3如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等.也就是说，如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应的角相等，而若两个三角形对应的角不相等，那么这两个三角形一定不全等 .
教师总结：1、必要条件：一般的，当命题“若，则”是真命题时，称是的必要条件.即：，是的必要条件，因为如果不成立，则肯定不成立.如：①如果集合，那么.即“”，所以“”是“”的必要条件.②若实数，那么.“”，所以“”是“”的必要条件，如果，肯定.③甲同学数学成绩优异，说明他平时认真听讲了.“甲同学数学成绩优异”“平时认真听讲了”，所以“平时认真听讲”是“甲同学数学成绩优异” 的必要条件，如果“平时不认真听讲”，那么“甲同学数学成绩不会很好的”.
小组讨论：
定理4：若，则.
定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
定理6：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得三角形与原三角形相似.
以上定理，要得到结论，所给的条件充分吗？另外所给的条件是不是必要的呢？
预设的答案：定理4，条件“”是“”成立的充分条件，但不是必需(必要)的； 定理5，是充分的，也是必要的；定理6，是充分的，但不是必要的.
教师总结：2、充分条件：一般的，当命题“若，则”是真命题时，称是的充分条件.即：，是充分条件，因为要使成立，给条件足够了（充分）.再看上面的例子：①如果集合，那么.“”， “”是“”成立的充分条件.②若实数，那么.，所以“”是“”的充分条件.注意：①对于一个命题“若，则”，我们固定将称为命题的条件，称为命题的结论，所以如果就称“是的充分条件”，如果；就称“是的必要条件”.如上例，若实数，则.，所以“”是“”的充分条件，但，所以“”不是“”的必要条件.②对于充分条件和必要条件的判断问题，最常有的两种形式为“是的条件”和“的条件是”，两种叙述方式，都是“是条件，是结论”，然后只需判断“”和“”哪个是真命题即可.
追问3：如：请判断，对于集合，的什么条件是？
预设的答案：，则是充分条件，但，故不是的必要条件，所以的充分不必要条件是.
（三）初步应用
例1.将下面的性质定理写成“若则”的形式，并用必要条件的语言表述：
（1）平面四边形的外角和是360°；
（2）在平面直角坐标系中，关于(轴对称的两个点的横坐标相同).
师生活动：学生独立思考，展示交流.
预设的答案：
(1)“平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角 和为360°”，所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件；
(2)“在平面直角坐标系中，关于(轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直 角坐标系中的两个点关于(轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于(轴对称”的必要条件).
设计意图：从学生熟悉的命题出发，在判断“若p，则q”形式命题真假的基础上，明确“命题的真假”与“由p推出q”的关系，从而形成必要条件的定义.
例2.用充分条件的语言表述下列命题：
(1)若，则；
(2)若点是线段的中点，则；
(3)当，一元二次方程有两个不相等的实数根.
师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程.
预设的答案：(1)““”的充分条件；
(2)“点是线段的中点”是“”的充分条件；
(3)“”是“一元二次方程有两个不相等的实数根”的充分条件.
思考讨论：
(1)，请判断是的什么条件；
(2)，则的 的条件是.
预设的答案：
(1)由，但所以是的充分条件的，但不是必要条件；
(2)由问题的表述可知：是条件，是结论， ，但，所以是的必要条件，但不是充分条件.
追问4：判断是否为的充分条件，是否为的必要条件的依据和方法是什么？
师生活动：学生独立思考，展示交流，给出总结及解释.
预设的答案：判断充分（必要）条件的依据是：充分条件和必要条件的定义.
具体方法是：命题法：判断命题“若，则”的真假.
设计意图：利用定义解决问题，形成方法.
追问5：对于命题（1）满足，那么若不成立，成立吗？请你解释．对于命题（4）呢？一般地，当时，那么若不成立，成立吗？你能据此说明为什么此时称为的必要条件？
师生活动：学生独立思考，展示交流.
预设的答案：是的充分条件，即成立足够推出成立；是的必要条件，即如果不成立，一定不成立，所以对于成立而言是必要的.
设计意图：通过对具体例子的辨析，学会判断充分条件和必要条件的方法；借助具体例子，明确充分条件和必要条件的含义，突破理解必要条件这一难点.
追问：根据上述分析，你认为充分条件与判定定理之间有怎样的关系？（答案：数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.）
设计意图：一是进一步熟悉利用判断命题真假来判定充分条件的方法，同时了解利用集合关系判断充分条件的方法，比如（4）；二是通过典型的数学命题，理解数学中的判定定理和充分条件的关系，进一步深化对充分条件的理解.
【课堂练习一】
已知
若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
师生活动：学生独立思考，然后讨论交流，形成（1）的解题思路．然后学生独立写出（1）的解答过程．
预设的答案：
因为p是q的充分条件，所以条件p对应的数集中的每个元素都应该在条件q对应的数集中，所以，从而将问题转化为已知集合关系求参数范围.
解：（1）因为p是q的充分条件，所以解得；
【课堂练习二】
（2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围.
追问6：对于（1），根据充分条件的定义，两个条件p与q对应的数集之间应该有怎样的关系？对于（2）呢？
师生活动：学生类比（1）完成（2）的解答，展示交流，教师帮助学生规范过程.
预设的答案：
（2）因为p是q的必要条件，所以解得．
设计意图：通过充分条件、必要条件的逆用，将问题转化为集合之间关系问题，进一步在变化的情境中加深对概念的理解.
（四）归纳总结、布置作业
问题5：本节课我们学习了充分条件和必要条件，充分条件和必要条件的含义分别是什么？对于“若p，则q”命题，判断p是否为q的充分条件或者必要条件的方法有哪些？充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理有什么关系？对照问题1中给出的研究内容和思路，你有没有需要补充的内容？
师生活动：师生一起总结.
预设的答案：充分条件和必要条件的含义：p是q的充分条件，即p成立足够推出q成立；q是p的必要条件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的.
对于“若p，则q”命题，判断p是否为q的充分条件或必要条件的方法：命题法和集合法.（1）命题法：判断命题“若p，则q”的真假，若其为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若其为假，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.（2）集合法：集合，集合，若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
研究内容及思路：在大量实例感知的基础上，抽象出充分条件、必要条件的概念；然后依据定义寻找判断充分条件、必要条件的方法；并利用新知重新认识以前的一些知识（判定定理、性质定理）.
设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生进一步明确充分条件、必要条件的含义以及它们在数学中的地位，同时进一步梳理它们的研究思路．
课后作业：教材16页练习1，2题.
五、目标检测设计
1．下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？哪些命题中的是的必要条件？
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；
（4）若，则集合中至少有一个为空集.
设计意图：考查充分条件与必要条件的判断方法.
2．（1）设，则的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
（2）写出“x＜4”的一个充分条件：_________．
设计意图：考查充分条件与必要条件的概念.
3.设，是的充分条件，则实数的取值范围是__．
设计意图：考查充分条件的逆用.
4．已知集合，，若成立的一个充分条件是，求实数m的取值范围.
设计意图：考查充分条件的逆用.
5.设命题，命题，若是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值组成的集合.
设计意图：考查充分条件 、必要条件的逆用.
参考答案：
1．
（1）p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；
（3）p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（4）p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
2．（1）A；（2）．
说明：答案不唯一.
3
若是的充分条件，则．
∴实数m的取值范围是．
4．解：因为是的充分条件．
所以，则，解得.
由得或，∴．
5.由是的必要条件，但不是的充分条件得且，从而有B A．
∴或或．
当时，，∴；
当时，，无解；
当时，，无解；
综上：实数a的取值组成的集合为．

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