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第二章　函数
2.2函数
第2课时　函数的表示法
1．了解函数常见的三种表示法：解析法、列表法和图象法；对比这三种表示法，了解它们各自的特点；能从不同角度全面理解y＝f(x)中f的意义．
2．理解分段函数的概念及表示，通过函数的不同表示法的转化和综合使用，加强数形结合观念，提升学生的直观想象素养．
3．通过对max{f(x)，g(x)}这种符号化表示的理解，提升学生的数学抽象素养．
教学重点：了解函数常见的三种表示法及其综合应用．
教学难点：理解分段函数的概念及表示．
PPT课件．
一、复习引入
问题1：你能说说函数有哪些表示法吗？它们各自的特点又是什么？
师生活动：学生结合初中学习经验以及第一节生活中的变量关系的学习，一般能回答出三种表示法，但是对各自的特点可能感受不深，叙述不准确，老师借机给出新的例题，导入新课．
预设的答案：我们已经接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法．
上图分别是用列表法、图象法表示的列车时刻表和成绩变化图．
设计意图：梳理已有知识经验，使学生感受学习函数表示法的必要性．
引语：解析法、列表法和图象法各有特点，而且有的函数只能采取某种表示法，本节课我们专门讨论函数的表示法．（板书函数的表示法）
二、新知探究
问题2：画出函数的图象．
师生活动：老师通过设问，引导学生将新问题转化为熟悉的旧问题．具体而言将含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题．学生在画图时可能忽略定义域，导致错误，教师要及时指出，并示范这道题的画图步骤，讲解分段函数的概念．
预设的答案：解:由绝对值的意义，可知；
函数的图象为第一、二象限的角平分线，如图所示．
追问1：不属于之前学过的任何一类函数，你能将解析式变形，化为不含绝对值的形式吗？
预设的答案：根据绝对值的定义，分类讨论；当时，；当时，．
追问2：如何画的图象？
预设的答案：在同一直角坐标系中分别画出，和，；的图象就是这两部分图象的组合．
追问3：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．那么判断一个图形是否为函数图象的依据是什么？
预设的答案：任意垂直轴的直线与图象至多有一个交点．
像例2中，这样的函数称为分段函数．
分段函数的特点：在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同．
追问4：你能举出生活中可以用分段函数描述的实际问题吗？
预设的答案：如出租车的计费、天然气的计费、银行的利率等．
设计意图：前3个追问引导学生分析问题，培养学生通过将新问题转化为旧问题，进而分析问题、解决问题的能力．追问4以实例的方式帮助学生理解分段函数的概念与表示．
问题3：设是任一实数，表示不超过的最大整数，如、、、等，我们把函数叫作取整函数（高斯函数）；试画出取整函数的局部图象．
师生活动：教师引导学生分析函数的定义域、值域、解析式，让学生试图画出函数图像，教师指导点拨．
预设的答案：根据题意，函数的定义域为，值域为；
函数的解析式为；
函数的图象如图所示．
设计意图：通过实例理解函数的概念，体会分段函数的研究方法．
追问1：比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？
函数表示方法 优点 缺点
解析法 ①简明、全面地概括了变量间的关系 ②通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值 不够直观形象
列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值 只适用于自变量数目少的函数
图像法 直观形象反映变化趋势 不精确
追问2：所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明．
预设的答案：
不是所有的函数都能用这三种方法表示，有的函数只能采取某一种表示法；比如心电图，不能用解析法和列表法表示；再比如课本第54页给出的狄利克雷函数，不能用图象法表示．
设计意图：介绍了一个可以用三种方法表示的函数．通过这个例子，让学生体会三种表示方法各自的特点．
★资源名称：【知识点解析】函数的表示方法．
★使用说明：本资源为《函数的三种表示方法》的讲解视频，其目的是帮助学生更好的理解函数和函数的表示方法,同时对该知识相关重难点进行了归纳小结，带领学生梳理知识脉络，加深理解．
注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
三、巩固练习
1．下列图象中不能表示函数的图象的是( )
A． B． C． D．
师生活动：学生独立完成，说明选择的答案和理由．
预设的答案：D﹒
设计意图：由函数图像巩固函数的概念．
2．给定函数．
(1)在同一直角坐标系中分别画出函数f(x)与g(x)的图象；
(2) x∈R，用M(x)表示f(x)与g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}．
例如，当x＝2时，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3，9}＝9．
请分别用图象法和解析法表示函数M(x)．
师生活动：第(1)问学生独立完成．第(2)问比较抽象，在完成第(1)问之后，老师通过问题引导学生完成．
预设的答案：(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象(图1)；
(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(图2)，
由(x＋1)2＝x＋1，得x(x+1)＝0，解得x＝－1或x＝0，
结合图2，得出函数M(x)的解析式为M(x)＝．
设计意图：结合实例，理解分段函数的概念，突破难点．
追问1：如图3，你能说说f(x)>g(x)对应图象上有什么特征吗？
预设的答案：当自变量x的取值相同时，函数f(x)对应的点比函数g(x)对应的点高．
追问2：你能从图象上观察并回答M(x)的取值情况吗？
预设的答案：当x<－1时，g(x)＝(x＋1)2的图象位于f(x)＝x＋1的上方，g(x)＝(x＋1)2为较大者，此时M(x)＝(x＋1)2；
当－1当x>0时，g(x)＝(x＋1)2的图象位于f(x)＝x＋1的上方，g(x)＝(x＋1)2为较大者，此时M(x)＝(x＋1)2；
当x＝ 1或x＝0时，g(x)＝(x＋1)2与f(x)＝x＋1的图象相交，f(x)与g(x)相等，此时M(x)＝f(x)＝g(x)．
追问3：你能用代数方法求出M(x)的表达式吗？
预设的答案：令f(x)>g(x)，即x＋1>(x＋1)2，解得 1令g(x)>f(x)，即(x＋1)2>x＋1，解得x< 1或x>0；
令f(x)＝g(x)，即x＋1＝(x＋1)2，解得x＝ 1或x＝0．
综上可得：M(x)＝．
方法总结：例题1中，我们的分析过程是从数到形；例题2中，则是从形到数；这两个例子充分说明，函数的不同表示方法之间可以相互转化，我们可以根据题目要求选取恰当的表达方式解决问题．
设计意图：加深学生对分段函数的理解，提升学生的直观想象能力和抽象思维能力．
【课堂练习】
1．设，则的值为( )
A．16 B．18 C．21 D．24
师生活动：已知自变量求值，学生独立完成，核对答案．
预设的答案：B．
因为，所以．
2．已知函数，若，则的取值集合是( )
A． B．
C． D．
师生活动：已知函数值求自变量，考查函数思想．
预设的答案：A．
若，可得，解得，(舍去)；
若，可得=5，可得，与相矛盾，故舍去；
综上可得：．
四、归纳小结
问题3：请同学们回顾本节课的内容，回答下列问题．
(1)函数常用的表示法有哪些？它们各自的特点是什么？
(2)结合本节课的学习，你对如何学习函数又有什么体会？
师生活动：学生先独立思考，再由学生代表回答，其他学生依次补充，老师最后总结．
预设的答案：(1)解析法、表格法和图象法，其中解析式是精确的，图象是直观的，表格是直接的．
(2)解析式、表格、图象是对应关系f的不同的表现形式，但实质相同，为了更好地分析和解决问题，有时需要进行不同表示法的转化和综合使用．
设计意图：引导学生构建知识体系，全面理解函数的内涵．
作业布置：教材第55页练习1 5题，第56页习题2 2，A组第1 3题．
五、目标检测设计
1．把直截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x(单位：cm)，面积为y(单位：cm2)，把y表示为x的函数．
设计意图：考查函数的解析法，强化定义域的重要性．
2．画出函数y＝|x 2|的图象．
设计意图：考查对分段函数的理解．
3．给定函数f(x)＝ x＋1，g(x)＝(x 1)2，x∈R．
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；
(2) x∈R，用m(x)表示f(x)与g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，请分别用图象法和解析法表示函数m(x)．
设计意图：考查对抽象符号的理解和对分段函数的理解．
参考答案：
1．解：y＝x，x∈(0，50)．
2．解：图象如图6．
3．解：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图7，
(2)由图7得出函数m(x)的图象8，
由图8得到函数m(x)的解析式m(x)＝．

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