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27.1图形的相似(2)
人教版 九年级 下册
教材分析
本节课通过类比相似多边形的概念，让学生尝试归纳相似三角形的概念.针对我们之前学过的全等三角形的判定方法，尝试让学生探究相似三角形的判定方法.本节课我们借助网格，通过计算得出两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.再通过探究活动，得出平行线分线段定理推论内容.相似三角形是全等三角形的拓展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，它是进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究，也是相似三角形性质的研究基础.
教学目标
教学目标：1. 理解相似三角形的概念.
2. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论.
3. 会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
教学重点:掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线
法判定三角形相似．
教学难点:运用平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法
判定三角形相似来解决问题．
新知导入
情境引入
对应角 ，对应边 的多边形，叫做相似多
边形。
2.对应边的比叫做 .
3. 如图，让△ABC 和 △A′B′C′ 相似，需要满足什么条件？
相等
成比例
相似比
A
B
C
A′
B′
C′
∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1
△ABC∽△A1B1C1
｝
△ABC 与 △A′B′C′
的相似比是k，当k=1时，两个三角形全等。
新知讲解
合作学习
例如： △ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我们称为相似三角形. 三角形相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
注意：对应顶点写在对应位置.
探究一:相似三角形的概念
A
B
C
A′
B′
C′
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交的平行线l3，l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
探究二:平行线分线段成比例（基本事实）
(1) 计算 的值，
它们相等吗？
(2) 任意平移 l5，根据上述 操作，度量AB，BC，DE， EF， 同（1）中计算，它们还相等吗？
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
可以发现，当l3，l4，l5平行时， ， ,
, 等.
提炼概念
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若l3∥l4∥ l5，则
， ，
，
归纳总结：
观察与思考：如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
探究三:平行线分线段成比例的推论
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
若把直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
若把 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例. (“A”型和“X”型)
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳总结：平行线分线段成比例的推论
符号语言：
如左图，∵A2B2∥ A3B3
探究四:三角形相似的判定定理一
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题（1） :△ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题（2） :它们的边长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
（1） 由DE∥BC及∠A是公共角得三个内角
对应相等；
（2）由前面的结论可得 ，而 中的DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论.
如何证明三边长对应成比例呢？
B
C
A
D
E
要证明 ，而除 DE 外，其他的线段都在
△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，
需要怎样做呢？
可以将 DE 平移到BC 边上去
证明：
在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A.
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F.
C
A
B
D
E
F
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴
∵ 四边形DEFB为平行四边形，
∴ DE=BF.
∴△ADE∽△ABC.
∴
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
相似三角形的判定定理（一）：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
典例精讲
例： 如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.
求证：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC.
（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.
同理可得
归纳概念
平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的
功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线
段成比例的基本思路是：
(1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：
“ 型”或“ 型”，得到相应的比例式；
(2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，
一般从分点或中点出发作平行线．
课堂练习
必做题
1.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(　 　)
A.AB:AD ＝1:2 B．AE:EC＝1:2
C.AD:EC＝1:2 D．DE:BC＝1:2
2.如图，直线l1∥l2∥l3.直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知 ， ＝ .
B
2
选做题
综合拓展题
4.如图所示,如果D、E、F分别在OA、OB、OC上,且DF∥AC,EF∥BC.求证：OD∶OA＝OE∶OB.
解：
作业布置
必做题
1、如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有(　　)
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对
D
选做题
2、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且 过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝________．
综合拓展题
3. 如图，已知菱形 ABCD 在△AEF的内部，AE=5 cm，AF = 4cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴CD∥AB，
∴
设菱形的边长为 x cm，则
CD= AD = x cm，DF = (4－x) cm，
∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm.
课堂总结
说一说
1、平行线分线段成比例的基本事实是什么？
2、平行线分线段成比例的推论是什么？符合语言是什么？
3、三角形相似的判定定理一是什么？符号语言是什么？
本节课你有哪些收获？
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第27章
课标要求 1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑艺术上的实例了解黄金分割； 2）通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比； 3）掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 4）了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明； 5）了解相似三角形的性质定理，相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方； 6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小； 7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．
内容分析 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似.本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究.本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形.此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换-位似．
学情分析 本章有很多内容需要让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼学生动手能力，并体会数学知识是从实践中产生出来的，确认数学是有用的。所以教师在课堂要给学生充裕的时间，重视对学生技能的训练与培养． 识图能力的培养:教师在教学中应当引导学生认识基本图形，并使学生会描述基本图形的对应关系，以及在复杂图形中分离出基本图形．
单元目标 （一）教学目标 1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质; 2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律. （二）教学重点、难点 教学重点:1）利用相似三角形的知识解决实际的问题； 2）位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形. 教学难点:把实际问题抽象为相似三角形、位似图形这一数学模型并求解．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 1.从实际间题引入数学内容，通过对实际问题的分析解决得出结论，认识相似图形的特征与性质，让学生充分感受到数学与现实世界的联系． 2.通过观察、测量、画图、推理等方法让学生探索得出结论，强调发现结论的过程，加强合情推理。3.逐步渗透一些逻辑思维方法，体现数学的理性特征． 4.教材中给学生留下适当的探索空间，也给教师的教学留有一定的余地，有助于学生的思维活动，有助于教师的创造性教学，也有助于教师与学生的合作． 5.强调相似三角形在现实生活中的应用． 6.加强了坐标与现实生活的联系． 7.通过用坐标来研究图形变换的内容，让学生初步体会数形间的关系． 2.本章教学中应注意的问题： 相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索并证明相似图形的一些重要性质，不仅可以使学生更好地认识、描述物体的形状体会、理解图形的相似在刻画现实世界中的作用意义，而且可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生应用数学知识的能力，在判定图形的关系和证明图形性质的过程中，还可以提高学生的逻辑思维和推理能力，因此，本部分知识在中考中非常重要，相似三角形是中考的必考内容，位似图形在全国各地中考题中也经常出现． 3.本章教学建议： 1.在"用坐标来确定位置"中，首先要让学生认识到现实生活中可以利用直角坐标系来确定方位，教学中可以让学生查找城市地图中的某地点(一些地图用字母A、B、C.....和数字1、2、3.....来确定某个地点的位置，方便人们查找)，让学生体会他的实际应用.然后要求学生能根据实际问题和背景建立怡当的坐标系来描述物体的位置． 2.教材中小明通过角度和距离来表述物体的位置，实际上是极坐标方，教材中没有明确，但教学时可以告诉学生，这也是一种用坐标来表示物体位置的方法，这种方法在军事和地理中常常用到，也要求学生掌握． 3.到本章为止，我们己经学过平移、旋转、对称、相似等变换在本节中都可以让学生去体会图形经过这些变换后坐标的变化情况，这样对图形的变换有史深的认识而H初步渗透数形结合的思想.突出了以下三点:(1)图形变换的数学思想方法:(2)探索图形性质的有效工具:(3)合情推理和演绎推理的有机结合． 4.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数27.1.1图形的相似(1) 127.1.227.1图形的相似(2) 127.2.1 (1)27.2.1 相似三角形的判定（1） 127.2.1 (2)27.2.1 相似三角形的判定（2） 127.2.1(3)27.2.1 相似三角形的判定（3） 127.2.1 (4)27.2.1 相似三角形的判定（4） 127.2.227.2.2相似三角形的性质127.2.3　27.2.3　相似三角形应用举例127.3.1（1）27.3.1位似（1）127.3.1（2）27.3.1位似（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务27.1图形的相似(1) 1.理解并掌握两个图形相似的概念． 2.学会判断相似图形，在动手操作中认识相似图形． 3.联系生活实际初步认识相似图形，在观察、操作、比较、交流中，探索并发现相似图形的规律． 1.对相似图形概念的理解． 2.正确地运用相似图形的特征解决生活中实际问题．活动一：学生自主探索出相似图形的基本特征． 活动二：观察、操作、比较、交流中，探索并发现相似图形的规律.27.1图形的相似(2) 1.了解比例线段的定义． 2.掌握相似多边形的判定和相似多边形的性质． 3.学会根据相似多边形判定来识别两个多边形是否相似，会运用其性质进行相关的计算． 4.经历相似图形的认识过程，观察相似图形的关系，得到相似多边形对应边成比例，对应角相等的性质． 1.会根据相似多边形判定来识别两个多边形是否相似，会运用其性质进行相关的计算． 2.掌握相似多边形的判定和相似多边形的性质. 活动一：学生思考、交流 ． 活动二：共同探究关于相似多边形的判定． 活动三：探究巩固例题． 27.2.1 相似三角形的判定（1） 1.了解相似三角形的概念； 2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似； 3.应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题； 经历平行线分线段成比例的认识过程，得到利用平行线法判定三角形相似的方法． 1.掌握相似三角形的概念质． 2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似．活动一：学习关于相似三角形的知识，熟记相似的表示符号． 活动二：回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识． 活动三：探究巩固例题．27.2.1 相似三角形的判定（2） 1.理解并掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法． 2.会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题． 3.经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力. 1.会“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法． 2．运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题． 活动一：学生自己动手、动脑，掌握三边成比例的两个三角形相似的知识. 活动二：完成例题学习巩固知识点．27.2.1 相似三角形的判定（3） 1.理解并掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理． 2.会运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题． . 1.“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法. 2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验.活动一：从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 活动二：共同探究关于两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识. 活动三：完成例题学习巩固知识点．27.2.1 相似三角形的判定（4） 1.理解并掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 2.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理． 3.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法. 2.运用两个三角形相似的判定方法解决简单问题.活动一：学生观察导入中的图片，认真思考问题. 活动二：共同探究关于两角分别相等的两个三角形相似的知识. 活动三：完成例题学习巩固知识点．27.2.2相似三角形的性质1.掌握相似三角形对应高线、中线和角平分线的比与相似比之间的关系． 2.理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质． 3.能够运用相似三角形的性质解决相关问题1.掌握相似三角形的性质． 2.会运用相似三角形的性质解决相关问题．活动一：从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。 活动二：完成例题学习巩固知识点．27.2.3　相似三角形应用举例1.进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题． 2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力． 运用相似三角形解决实际问题． 2.把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，在实际问题中建立数学模型．活动一：回顾相似三角形的内容，起到以旧引新，建立新旧知识间的联的作用． 活动二：完成例题学习巩固知识点．27.3.1位似（1）1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质． 2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．1.了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质． 2.利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．活动一：学生观察，认真、积极思考，回答问题． 活动二：学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导．27.3.1位似（2）1.掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，掌握对应点的坐标变化的规律． 2.学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换． 3.学会在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形1.会在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形． 2.掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．活动一：学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导． 活动二：共同探究在平面直角坐标系中的位似图形坐标变换的规律． 活动三：完成例题学习巩固知识点．
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分课时教学设计
第3课时《 27.2.1 相似三角形的判定（1） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课通过类比相似多边形的概念，让学生尝试归纳相似三角形的概念.针对我们之前学过的全等三角形的判定方法，尝试让学生探究相似三角形的判定方法.本节课我们借助网格，通过计算得出两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.再通过探究活动，得出平行线分线段定理推论内容.相似三角形是全等三角形的拓展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，它是进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究，也是相似三角形性质的研究基础．
学习者分析 经历平行线分线段成比例的认识过程，得到利用平行线法判定三角形相似的方法。让学生自己动手、动脑，掌握平行线分线段成比例的基本事实．
教学目标 1.了解相似三角形的概念； 2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似； 3.应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题； 经历平行线分线段成比例的认识过程，得到利用平行线法判定三角形相似的方法．
教学重点 掌握相似三角形的概念质．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似．
教学难点 运用平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似来解决问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 【复习知识】1.相似多边形的特征是什么？ 相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 2.怎样判定两个多边形相似？ 对应角相等，对应边成比例多边形是相似多边形。 3.什么叫相似比？ 相似多边形对应边的比叫做相似比. 探究一:相似三角形的概念 相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1， =k ，即三个角分别相等，三条边成比例，那么△ABC与△A1B1C1相似，相似比为k。 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”， △ABC与△A1B1C1相似记作“△ABC∽△A1B1C1”. 如果△ABC∽△A1B1C1相似，相似比为k。 那么△A1B1C1与△ABC的相似比为。 教师：判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边相等外，还可以使用简便的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）。 类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 学生活动1： 通过探究活动理解． 一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，联系生活实际初步认识相似图形，掌握相似三角形的概念质． 进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 【活动探究】1.如图，小方格的边长都是1，任意画两条直线l1，l2 ，再画三条与l1，l2 都相交的平行线 l3， l4，l5 ，请分别计算l3 , l4, l5在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, 相等吗？ 由勾股定理计算得： AB=2，BC=， DE=，EF=3。 =，==∴ 。 2.任意平移l5 , 再计算AB, BC, DE, EF的长度, 还相等吗？ 由勾股定理计算得： AB=2，BC=2， DE=，EF=2 ∴ = 由勾股定理得:AC=4，DF=4 ∴ ，. 探究结论： 当l3 //l4//l5时， 有，， ，等。 平行线分线段成比例 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 符号语言： 若l3 //l4//l5，则 ，（） ，（） ，（） ，（）… 【活动探究】如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段。如果把直线 l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？ 把直线l1 向左平移到D与A重合的位置，说一说图中有哪些成比例线段？ 把直线l1 向左平移到B与E重合的位置，说一说图中有哪些成比例线段？ 如果把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ 成比例线段: ，，， … 仍然成立。 教师讲解：平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 学生活动2： 学生相互交流． 师生共同探究关于平行线分线段成比例的推论. 活动意图说明： 引导学生建立模型，培养学生学以致用的能力，运用平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似来解决问题。，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例： 如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证： 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题． 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点，使学生学会从数学的角度认识世界，从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(　 　) A.AB:AD ＝1:2 B．AE:EC＝1:2 C.AD:EC＝1:2 D．DE:BC＝1:2 B 2.如图，直线l1∥l2∥l3.直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知 ， ＝ . 2 选做题： 【综合拓展类作业】 4.如图所示,如果D、E、F分别在OA、OB、OC上,且DF∥AC,EF∥BC.求证：OD∶OA＝OE∶OB.
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1、如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有(　　) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 D 选做题： 2、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且 过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝________．
【综合拓展类作业】 3. 如图，已知菱形 ABCD 在△AEF的内部，AE=5 cm，AF = 4 cm，求菱形的边长.
教学反思
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