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5.4 平移
教学设计
课题 平移 授课人
素养目标 1.通过实例了解平移的概念. 2.理解并掌握平移的性质. 3.能按要求作出平移后的图形.
教学重点 1.理解并掌握平移的性质. 2.能按要求作出平移后的图形.
教学难点 对平移特征的探索与理解.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 设计意图 用生活中的平移现象导入新课. 【情境导入】 仔细观察下面一些美丽的图案，它们有什么共同的特点？能否根据其中的一部分绘制出整个图案？ 这些图案都可以通过平行移动下方对应的图形得到，今天我们将要探索这种图形变换中隐藏的奥秘. 【教学建议】 学生观察图案找出共同特点，教师总结，初步发现平移的基本特征.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 通过实际动手操作，发现平移的性质并总结平移的概念. 探究点1平移的性质与概念 问题1如何在一张半透明的纸上，画出一排形状和大小如下图的雪人呢？ 答：可以把半透明的纸盖在图片上，先描出一个雪人，然后按同一方向陆续移动这张纸，再描出第二个、第三个…… 问题2把第二个雪人、第三个雪人……与第一个雪人进行比较，什么改变了？什么没改变？ 答：雪人的位置改变了，雪人的形状和大小均未改变. 归纳总结：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.（平移的性质1） 问题3在上面的操作中，第二个雪人和第三个雪人都可以看成是第一个雪人沿某一直线方向移动得到的，它们和第一个雪人的形状、大小完全相同，但是它们的位置不同. 【教学建议】 学生按问题顺序进行探究，总结出平移的性质.对于平移的性质2中的平行，可以让学生度量角度，结合平行线的判定进行验证.教师可通过让学生回顾点是构成图形的基本元素，来理解选择对应点研究平移性质的方法，由点及面将对应点的关系扩大到整个图形的关系.
教学步骤 师生活动
设计意图 根据平移的性质，画出平移前或平移后的图形. （1）你认为位置不同的原因是什么？ 答：它们移动的距离不同. （2）如何刻画它们移动的距离呢？以图②中的雪人a，b为例，你能说明测量方法吗？ 答：测量两个雪人鼻尖到鼻尖（或帽顶到帽顶）的距离. 问题4如图，在所画出的相邻两个雪人中，找出三组对应点(例如，它们的鼻尖A与A′，帽顶B与B′，纽扣C与C′)，连接这些对应点，观察得出的线段，它们的位置、长短有什么关系？ 答：如图，连接后得到线段AA′，BB′，CC′，这三条线段平行且相等，即AA′∥BB′∥CC′，并且AA′=BB′=CC′. 归纳总结：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等.（平移的性质2） 概念引入：通过对上述图形变换的研究，我们总结出如下概念：一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移. 问题5问题1中的画法是唯一的吗？是否还有其他画法？ 答：不唯一，纸的移动方向不同，呈现出的结果也不同（如图）. 图形平移的方向，不限于是水平的，如图. 【对应训练】 1.下列运动属于平移的是（ B ） A.树叶随风飘落 B.电梯升降 C.钟表指针转动 D.车轮转动 2.下列哪个图形是由左图平移得到的（ C ） 3.如图，三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，若EF=7cm，CE=3cm，求平移的距离. 理解平移的性质应注意以下几点： ①平移只是图形位置发生变化，不改变图形的大小和形状；②平移的方向不限于是水平的；③平移是由平移的方向和距离共同决定的；④图形中每个点移动的距离相同.
教学步骤 师生活动
解：观察图形可知，平移的距离可以看作是线段CF的长. ∵EF=7cm，CE=3cm， ∴CF=EF-EC=7-3=4(cm). ∴平移的距离为4cm. 探究点2平移作图 例1（教材P29例题）如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′. 在作图前，请先思考以下几个问题： （1）结合平移的性质，你是怎样理解由点A移动到点A′这个条件的？ 答：连接点A与点A′，点A到点A′的方向就是平移的方向，线段AA′的长度就是平移的距离. （2）三角形A′B′C′的一个顶点A′已经确定，你认为最少还需要找到几个对应点就可以画出三角形A′B′C′？ 答：由三个顶点可以确定三角形的形状，则最少还需要找到两个对应点，即点B′和点C′. （3）根据平移的性质，如何作出点B的对应点B′？ 答：根据平移的性质，由平移方向和平移距离确认点B的对应点B′.按此方法也可以作出点C的对应点C′. （4）平移前后的“对应点”与“对应顶点”相同吗？它们有什么联系和区别？ 答：不相同，“对应顶点”是“对应点”中比较特殊的一部分点，起到决定图形形状的作用. 请结合以上思考，画出平移后的图形. 解：如图，连接AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′=AA′，则点B′就是点B的对应点.类似地，作出点C的对应点C′，进一步连接A′B′，B′C′，C′A′就得到平移后的三角形A′B′C′. 平移作图的一般思路：①确定平移的方向和距离；②找出表示图形的关键点（通常情况下是顶点）；③过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；④按原图形的顺序连接对应点. 【对应训练】 1.如图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到了点A′处，请作出平移后的四边形A′B′C′D′. 解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求. 2.教材P30习题5.4第3题. 【教学建议】 学生思考问题后独立完成作图.作图时需要注意平移方向，不要在反方向上取对应点；画出全部关键点后，需要对照原图形顺次连接各关键点，打乱顺序会导致图形错误. 对于网格中的平移作图，可将平移拆分成水平和竖直两个方向，通过数格子的方式来确认关键点，然后画出图形.
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 利用平移的性质解决面积问题或周长问题. 例2如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移，平移的距离等于AD的长，得到三角形DEF，已知∠ABC=90°，AD=6，EF=8，CG=3，求图中阴影部分的面积. 解：根据平移的性质可知，BE=AD=6，BC=EF=8，S三角形ABC=S三角形DEF. ∴BG=BC-CG=8-3=5. ∵S三角形ABC = S阴影+ S三角形BDG， S三角形DEF = S梯形BEFG + S三角形BDG， ∴S阴影 = S梯形BEFG. S梯形BEFG = (BG+EF)·BE=×(5+8)×6=39. 故图中阴影部分的面积是39. 例3如图，已知三角形ABC的周长为10cm，将三角形ABC沿边BC向右平移2.5cm得到三角形DEF，求四边形ABFD的周长. 解：根据平移的性质可知，DF=AC，AD=CF=2.5cm. ∵三角形ABC的周长=AB+BC+AC=10cm， ∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD =AB+(BC+CF)+AC+AD=AB+BC+AC+CF+AD =10+2.5+2.5=15（cm）. 【对应训练】 1.教材P31习题5.4第4题. 2.如图，在三角形ABC中，AC=4cm，BC=3cm，三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF.若AE=8cm，BD=2cm.求： （1）三角形ABC沿AB方向平移的距离； （2）四边形AEFC的周长. 解：（1）观察图形可知，线段AD的长即为平移的距离. 根据平移的性质可知，AD=BE. ∵AE=8cm，BD=2cm， ∴AD=12(AE-BD)=12×(8-2)=3（cm）， 即三角形ABC沿AB方向平移的距离是3cm. （2）由平移的性质可知，CF=AD=3cm，EF=BC=3cm. ∵AE=8cm，AC=4cm， ∴四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18（cm）. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师可适当提示将所求图形的面积转化为其他规则图形的面积.平移前后，图形的面积不变，对应线段相等，平移距离相等，由此可得到相关条件.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：平移的性质是什么？在探究平移性质的过程中，你能归纳探究平移性质的思路吗？画平移图形时需要注意哪些地方？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P30习题5.4第1，2，5，6题. 2.相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 5.4平移 1.平移. 2.平移两要素：①平移方向；②平移距离. 3.平移的性质. 4.平移作图.
教学反思 本节课通过生活中的实例引入平移的概念，在教学过程中，注意引导学生分析、观察、概括得出平移的性质，并通过例题和练习加深对平移性质的理解，为后面学习“轴对称，旋转”等图形变换埋下伏笔.平移的作图是本节课的重点，应让学生加强训练，结合解题中的错误分析原因，举一反三.
1.判断平移：平移前后图形形状不变，大小不变，连接各组对应点的线段相等.
例1泉城济南，泉甲天下，将如图所示的泉城图标平移后可以得到（ A ）
2.利用平移的性质计算：根据平移的性质、平行线的性质进行求解.
例2如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①AD∥BE；②∠B=∠ADE；③DE⊥AC；④BE=AD，其中正确的有（ D ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：∵三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，∴AD∥BE，BE=AD，故①④正确.∵AD∥BE，∴∠ADE=∠DEF.又∠B=∠DEF,∴∠B=∠ADE，故②正确.∵∠BAC=90°，∴∠EDF=90°.∴ED⊥DF.∵AC∥DF，∴DE⊥AC，故③正确.故选D.
3.平移作图以及计算：根据平移要素进行平移作图，根据平移的性质进行计算.在网格中求图形的面积时，常把图形补成长方形，然后用长方形的面积减去旁边的小三角形的面积即可得所求图形的面积.
例3在网格中，每个小正方形的边长都为1，三角形ABC的三个顶点都在格点上，位置如图所示，现将三角形ABC平移得三角形EDF，使点B的对应点为点D，点A的对应点为点E.
（1）画出三角形EDF；
（2）线段BD与AE有何关系？
（3）连接CD，BD，则四边形ABDC的面积为 6 .
解：（1）三角形EDF如图所示.
（2）BD与AE平行且相等.
（3）6解析:利用点A，D所在网格竖线和点B，C所在网格水平线，构造出一个长方形.则四边形ABDC的面积=4×3-×2×3-×1×2-×1×3-×1×1=12-3-1--=6.故答案为6.
例1如图，网格中每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的顶点都在格点上.将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A′B′C′.（注：格点指网格线的交点）
（1）请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；
（2）画出平移后的三角形A′B′C′的中线B′D′；
（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是平行且相等；
（4）在三角形ABC的整个平移过程中，线段AB扫过的面积为12；
（5）若三角形ABC与三角形ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有10个.
解：（1）如图，三角形A′B′C′为所作.
（2）如图，中线B′D′为所作.
例2如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=112°，点E，F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF.
（1）求∠EOB的度数.
（2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值.
解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°-∠C=180°-112°=68°.
∵OE平分∠COF，∴∠COE=∠EOF.
∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×68°=34°.
（2）∠OBC∶∠OFC的值不变.
∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∠AOF=∠OFC.
∵∠FOB=∠AOB，∴∠OBC=∠FOB.
又∠AOF=∠AOB+∠BOF，
∴∠OFC=∠AOF=∠AOB+∠FOB=∠OBC+∠OBC=2∠OBC.
∴∠OBC∶∠OFC=1∶2，是定值.

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