资源简介

第1课时 垂线
教学设计
课题 垂线 授课人
素养目标 1.了解垂直、垂线的概念. 2.掌握垂线的性质“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”. 3.会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线.
教学重点 掌握垂直中角度和位置的双重含义；理解垂线的性质1，并会利用所学知识进行简单的推理.
教学难点 过直线上（外）一点作已知直线的垂线.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾旧知，新课导入 设计意图 回顾相交线所成的角，以生活实例引入垂直的概念. 【回顾导入】 在前面我们学习了两条直线相交形成的四个角，这四个角形成了4对邻补角和2对对顶角.大家还记得邻补角和对顶角的定义吗？ 如果两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线有怎样的特殊关系？下面的图片是日常生活中存在这种关系的一些实例.今天我们就来研究这个问题. 【教学建议】 教师带领学生回顾相交线的知识，以所成角的特殊情况引入对垂直的探究.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 通过对相交线模型的探究，引入垂线的相关知识. 探究点1认识垂线和垂直 问题 在相交线的模型中，固定木条A，转动木条B.当B的位置变化时，A，B所成的∠α也会发生变化.在B转动的过程中，当A，B所形成的夹角∠α=90°时，木条A与B所形成的其他三个角的度数是多少？ 答：另外三个角也是90°. 概念引入：当∠α=90°时，我们说A与B互相垂直，记作A⊥B. 垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直.如图，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.这个推理过程可写成什么形式？ 【教学建议】 学生动手探究两直线垂直所形成的四个角之间的关系，“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.
教学步骤 师生活动
设计意图 通过回顾垂线的画法，引入对垂线性质的探究. 答：因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD(垂直的定义). 反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOC是多少度？请你写出推理过程. 答：因为AB⊥CD（已知），所以∠AOC=90°（垂直的定义）. 这说明垂直的定义具有双重含义. 请找出“活动一”图片中互相垂直的直线. 【对应训练】 1.教材P5练习第1题. 2.如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（ C ） A.40° B.45° C.50° D.55° 探究点2垂线的性质1 问题1回顾小学学过的画垂线的方法，画已知直线l的垂线，这样的垂线能画几条？ 答：能画无数条. 问题2 如图，现有一条已知直线l，分别过直线上一点A和直线外一点B，画l的垂线，这样的垂线你能画出几条？ 通过实际操作，我们得出：经过直线上一点能画1条直线与已知直线垂直；经过直线外一点能画1条直线与已知直线垂直. 归纳总结：将上述结论合并在一起，我们得出垂线的性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【对应训练】 1.下列说法正确的有（ B ） ①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线； ④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.教材P5练习第2题. 【教学建议】 学生独立思考并动手操作，教师总结常规画法.画垂线的方法多种多样，对于学生使用的其他正确的方法，教师应予以肯定与鼓励.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可以在线段（射线）上，也可以在线段的延长线（射线的反向延长线）上.
教学步骤 师生活动
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 利用垂直的定义，结合邻补角、对顶角等知识解决角度问题. 例如图，直线AB,CD相交于点O，MO⊥AB于点O. (1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数; (2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD的度数. 【对应训练】 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，FO⊥AB于点O. （1）若∠COF=50°，求∠COE的度数； （2）若∠DOE=2∠BOD，求∠COF的度数. 【教学建议】 学生独立思考作答，教师统一答案.教师应提醒学生注意：垂直和直线夹角成90°是相互对应的关系，但两者存在一定的区别，垂直是两条直线的位置关系，90°是角的度数.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：如何用三角板或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线？垂线的性质是什么？文字语言、图形语言和符号语言之间是如何转化的？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P8习题5.1第3，4，5，6，12题. 2.相应课时训练.
板书设计 5.1.2垂线 第1课时垂线 1.垂直的定义. 2.垂线的相关概念：垂线、垂足. 3.垂线的画法：①靠；②过；③画. 4.垂线的性质1.
教学反思 本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况——垂直，可类比前面两条直线相交时的一般情况学习新知识.之后复习垂线的画法来探究过一点画已知直线的垂线的情况，通过实际动手操作，体会垂线的存在性和唯一性.
1.由垂直形成的角是直角（90°）结合对顶角或邻补角的性质解题.
例1如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O.若∠DOE∶∠BOE=1∶3，则∠AOC的度数为 60°.
解析：因为EO⊥AB，所以∠BOE=90°.因为∠DOE∶∠BOE=1∶3，所以∠DOE=30°.所以∠BOD=∠BOE-∠DOE=90°-30°=60°.由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=60°.
例2如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，且OD平分∠BOE，则∠AOD的度数是（ D ）
A.120° B.125°
C.130° D.135°
2.垂线的性质的应用.
例3如果直线ON⊥直线A，直线OM⊥直线A，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ D ）
A.两点确定一条直线
B.在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.两点之间，线段最短
例1如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OB，OF平分∠AOD.若∠BOD=∠COE，
则∠AOF=（ C ）
A.38° B.45° C.63° D.68°
解析：因为OE⊥OB，所以∠AOE=∠BOE=90°.由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC.因为∠BOD=∠COE，∠AOE=∠AOC+∠COE，所以∠COE+∠COE=90°.所以∠COE=36°.所以∠BOC=∠COE+∠BOE=36°+90°=126°.所以∠AOD=126°.因为OF平分∠AOD，所以∠AOF=∠AOD=×126°=63°.故选C.
例2 如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数（用含α的式子表示）.
解：（1）由邻补角的定义，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-40°=140°.
因为OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=70°.由对顶角相等，得∠DOE=∠COF=70°.
因为OA⊥OB，所以∠AOB=90°，所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-40°=50°.
所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=70°-50°=20°.
（2）由邻补角的定义，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-α.
因为OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=90°-α.
由对顶角相等，得∠DOE=∠COF=90°-α.
而∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α，所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=90°-α-(90°-α)= α.
例3如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD.
（1）若∠BOC=40°，请依题意补全图形，并求∠BOE的度数；
（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的式子表示）.
解：（1）补全图形如图所示.
因为OA⊥OB，所以∠AOB=90°.
因为OD平分∠BOC，∠BOC=40°，
所以∠COD=∠BOD=∠BOC=×40°=20°.
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+20°=110°.
因为OE平分∠AOD，所以∠DOE=∠AOD=×110°=55°.
所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=55°-20°=35°.
（2）∠BOE=45°-α.
解析:同（1）可得∠COD=∠BOD=α，∠AOD=α+90°，∠DOE=∠AOD=α+45°，则∠BOE=∠DOE-∠BOD=α+45°-α=45°-α.

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