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第十六章 二次根式
16．1　 二次根式
第1课时　二次根式的概念
教学设计
课题 二次根式的概念 授课人
素养目标 1.理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式，感悟利用数学符号表示实际问题的意义. 2.理解二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想. 3.会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，在解题过程中利用不等式(组)模型来培养全面思考问题的正确习惯.
教学重点 二次根式的识别，理解二次根式有意义的条件．
教学难点 会求二次根式中字母的取值范围.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习回顾，旧知启发 设计意图 引导学生回忆已学的内容，为突破本课时的难点做准备. 【知识回顾】 1.16的平方根是 ±4 ，算术平方根是 4 . 2.0的平方根是 0 ，算术平方根是 0 . 3.－2有没有平方根？有没有算术平方根？ 答：－2没有平方根，也没有算术平方根. 【教学建议】 学生代表独立回答，教师提示并总结，引出二次根式的有关知识.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 这里是利用开方开不尽的式子引出二次根式的概念．通过第2点，并结合复习回顾要引导学生说出只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根．通过第3，4点，要使学生理解二次根式的概念. 探究点1 二次根式的概念 阅读教材P2例1上方的部分，回答下列问题： 1.教材P2上方的思考中三个问题的答案依次为，，，. 2.上述四个式子有什么共同特征？ 答：它们表示一些正数的算术平方根. 3.什么样的式子叫做二次根式？ 答：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．“”称为二次根号. 4.想一想：如果a＜0，那么是否为二次根式？ 答：不是. 【对应训练】 1.判断下列各式是否为二次根式. (1)( √ )　　　　　　　　　(2)( × ) (3)6( × ) (4)( √ ) (5)( √ ) (6)(x，y异号)( × ) (7)( √ ) (8)( × ) (9)( √ ) 2.教材P3练习第1题． 【教学建议】 学生思考，并完成相应的问题．老师应了解学生是否掌握上述问题的结果中式子的特点. 【教学建议】 学生独立思考并完成，教师总结二次根式应满足两个条件：①形式上带有二次根号；②被开方数是非负数(正数或0)，即a≥0.第2题是二次根式的应用，目的是感知二次根式的产生是实际的需要，注意开方应满足的条件.
教学步骤 师生活动
设计意图 引导学生关注求二次根式有意义的条件的依据和解题步骤. 探究点2　二次根式有意义的条件 阅读教材P2例1及下方思考的部分，回答下列问题： 1.确定式子中字母x的取值范围的依据是什么？解题步骤是什么？ 答：依据：二次根式的概念．解题步骤：由x－2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义. 2.(教材P3练习第2题)当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)；　　　(2)；　　　　(3)；　　　　(4). 解：(1)a≥1；(2)a≥－；(3)a≤0；(4)a≤5. 3.若在实数范围内有意义，则x ≤0 . 【对应训练】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) x≥3 　　　　　　　(2) x≤0 (3) 全体实数 (4) x≠0 (5) x>0 (6) x≥0 求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？ 答：①被开方数大于等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零. 【教学建议】 学生独立思考，解决问题，教师统一答案，教师关注如下问题： 学生对例题中不等式得出的依据是否清楚. 范围的一般步骤是：①根据中a≥0的条件列不等式；②解不等式；③确定字母的取值范围. (3)指导学生分析使与在实数范围内有意义的条件. 【教学建议】 学生口答，最后教师总结得出结论.
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 巩固对二次根式有意义的条件的认知. 例　(1)若二次根式＋有意义，则x的取值范围是2≤x≤5. (2)若二次根式＋有意义，则x的值为5. 解析：(1)∵二次根式＋有意义，∴∴2≤x≤5. (2)∵二次根式＋有意义，∴∴x＝5. 【对应训练】 已知x，y为实数，且y＝－＋4，求的算术平方根. 解：∵x，y为实数，y＝－＋4， ∴∴x＝9.∴y＝4.∴＝＝6，∴的算术平方根为. 【教学建议】 学生在独立思考的基础上讨论解答．教师适时引导学生观察例题中两个二次根式的关系，特别提醒学生注意第(2)小题，可以发现两个二次根式的被开方数互为相反数，则这两个二次根式的值都等于0.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：本节课你学到了哪一类新的式子？二次根式有意义的条件是什么？二次根式与算术平方根有什么关系？
教学步骤 师生活动
【知识结构】 【作业布置】 1.教材P5习题16.1第1，5，6，7题. 2.相应课时训练.
板书设计 16.1　二次根式 第1课时　二次根式的概念 二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
教学反思 　 本节课属于概念数学，概念数学经历“引入概念——形成概念——深化概念”三个环节．本节课通过平方根的知识引入二次根式的概念，在解决用式子表示数量关系的过程中利用类比归纳的方法形成概念，在不断的实例分析中深化概念. 本节课的重难点是二次根式概念的理解，学生容易片面地理解概念，所以要将二次根式和前后的知识点联系起来，形成知识网络. 在教学过程中，教师要及时提出问题，让学生充分讨论，横向比较，然后一起总结二次根式概念当中的注意点.
1．二次根式的概念：(1)二次根式的概念是从式子的结构和形式上界定的，必须含有二次根号“”，如是二次根式，而就不是二次根式．(2)被开方数a可以是数也可以是整式或分式，但a的值必须是非负数．(3)形如a(b≥0)的式子也是二次根式，二次根号前面的因式若是带分数，书写时要写成假分数的形式，如不可写成1的形式．
例1　下列式子：，－，，，，，中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
解：二次根式有：－，，，；不是二次根式的有：，，.
注意：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.
2．如何求二次根式中字母的取值范围：(1)单个二次根式(如)有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加(如＋)有意义的条件：(3)二次根式作为分式的“分母”(如)时有意义的条件：B>0；(4)二次根式与分式的和或积(如＋或)有意义的条件：(5)零指数幂、负整数指数幂的底数不等于零；(6)根据实际问题得到的二次根式除了本身的限制条件外，还要考虑其实际意义．
例2　当x取何值时，＋在实数范围内有意义？
解：依题意，得2x＋3≥0，x＋1≠0，∴x≥－且x≠－1.
∴当x≥－且x≠－1时，＋在实数范围内有意义．
注意：(1)在求二次根式的被开方数中字母的取值范围时，常将其转化为解不等式(组)的问题．
(2)在求与二次根式有关的字母的取值范围时，应把限制条件考虑全面．
例1　(1)使式子在实数范围内有意义的未知数x有横线横线1个；
(2)设m，n都是实数，且满足n＝，求的值．
解：(1)解析：由题意可得－(x－5)2≥0，∴(x－5)2≤0.又(x－5)2≥0，∴(x－5)2＝0，∴x＝5.
故使式子在实数范围内有意义的未知数x有1个．故答案为1.
(2)∵n＝，∴∴m2－4＝0.
又m－2≠0，∴m＝－2，则n＝－，∴＝1.
例2　已知a满足|4－a|＋＝a，求a的值．
解：由a－5≥0，得a≥5，∴4－a＜0，∴|4－a|＝a－4.
∵|4－a|＋＝a，∴a－4＋＝a，∴＝4.∴a－5＝16，∴a＝21.

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