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第2课时　二次根式的性质
教学设计
课题 二次根式的性质 授课人
素养目标 1.了解代数式的概念，领会字母“代”数的思想，能正确书写代数式． 2．经历二次根式的三条性质：≥0(a≥0)；()2＝a(a≥0)；＝a(a≥0)的探究概括过程，学会类比的数学观念，掌握二次根式的基本运用． 3．利用二次根式的性质进行计算和化简，培养学生思维的严谨性和良好的运算习惯.
教学重点 二次根式的性质的理解及运用．
教学难点 会运用二次根式的性质进行化简.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：知识回顾，导入新课 【回顾导入】 我们知道中a≥0，那么有没有可能小于0？它还有哪些性质？今天我们来学习 【教学建议】 让学生讨论，带着疑问进入新课.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 引导学生探究二次根式的双重非负性. 设计意图 引导学生根据实例归纳出()2＝a(a≥0). 探究点1　≥0(a≥0) 1．当a≥0时，表示什么含义？其数值有什么特点？ 答：当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a＝0时，表示0的算术平方根，因此＝0.所以当a≥0时，≥0，即当a是非负数时，也是非负数． 归纳总结：二次根式具有双重非负性，即≥0(a≥0)． 2．我们还学过哪些非负数？ 答：一个数的绝对值；一个数的偶次幂． 【对应训练】 1．已知实数m，n满足|m＋3|＋＝0，则m＝－3，n＝1. 2．已知(x－2)2＋＝0，则xy的值为. 探究点2　()2＝a(a≥0) 1．根据算术平方根的意义填空： ()2＝4； ()2＝2； ()2＝； ()2＝0. 解析：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数．因此有()2＝4. 同理，可得()2＝2，()2＝，()2＝0. 2．观察上述等式，如果a≥0，那么()2等于多少？ 答：一般地，()2＝a(a≥0)． 3．解答教材P3例2.(第(2) 小题利用了(ab)2＝a2b2这个结论) 【教学建议】 (1)挑选学生代表回答，引导学生分情况讨论，中间要点出“因为a表示a的算术平方根，而负数没有算术平方根，所以a不可能小于0”来回答活动一的问题，然后总结出二次根式的双重非负性． (2)提醒学生：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.比如：若x＋y2＋|z|＝0，则x＝y＝z＝0.【教学建议】 学生口答问题1.可以先让学生猜想问题2，然后教师利用算
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设计意图 引导学生发现总结出a2＝|a|. 设计意图 让学生了解代数式的概念. 【对应训练】 1．教材P4练习第1题． 2．计算： (1)(－)2；　　　　　　(2)()2. 解：(1)原式＝(－1)2×()2＝1×0.5＝0.5； (2)原式＝＝.(这里利用了()2＝这个结论) 探究点3　＝|a| 1．填空： ＝2；＝0.1；＝；＝0.当a＞0时，＝a；当a＝0时，＝0. 归纳总结：若a是非负数，则有这么一个结论：＝a(a≥0)． 2．填空： ＝2；＝0.1；＝.当a＜0时，＝－a. 3．如果a是任意实数，那么如何化简？ 答：＝|a|＝ 【对应训练】 教材P4练习第2题． 探究点4　代数式 阅读教材P4例3和练习之间的内容，回答下列问题： 基本运算包括哪些？含等号、不等号的式子是不是代数式？ 答：基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方．含等号、不等号的式子不是代数式，因为等号、不等号不是基本运算符号． 【对应训练】 1．判断下列各式是否为代数式，是的打√，不是的打×. (1) ( √ ) (2) S＝πr2 ( × ) (3)a＋b≥2( × ) (4)()2＋( √ ) 2．教材P5习题16.1第3(1)题． 术平方根的意义进行分析，总结出(a)2＝a(a≥0)．指定学生代表解答问题3，教师讲解时注意强调(ab)2＝a2b2和(ab)2＝a2b2在二次根式计算中的应用，并指出整式的运算性质在实数范围内都适用． 【教学建议】 学生口答问题1和2，引导学生参照探究点2的过程，借助算术平方根的意义进行归纳总结．学生共同讨论问题3，指定学生代表回答，教师总结出a2＝|a|. 【教学建议】 提醒学生单独的一个数或一个字母也是代数式；含有等号、不等号的式子不是代数式.
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 巩固对二次根式的性质的理解. 例　计算：－＋()2. 解：原式＝5－3＋(5－)＝7－. 【对应训练】 1．若＝－x成立，则x满足的条件为( B ) A．x≥0　　　　　B．x≤0　　　　　C．x＞0　　　　　D．x＜0 2．已知是整数，则正整数n的最小值是2. 3．计算：(2)2＋－()2. 解：原式＝12＋π－3－(π－3)＝12. 【教学建议】 指定学生代表回答．【对应训练】问题1中提醒学生不要遗漏x＝0的情况．问题2引导学生对n从1开始讨论．问题3中教师可总结：当a＜0时，a2＝(－a)2.
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活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：今天学习了二次根式的哪些性质？什么样的式子叫代数式？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P5习题16.1第2，3(2)，4，8，9，10题． 2．相应课时训练．
板书设计 16.1　二次根式 第2课时　二次根式的性质 1．二次根式的性质： (1)≥0(a≥0)；(2)()2＝a(a≥0)；(3)＝|a|. 2．代数式：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
教学反思 　 本课时是二次根式的性质，教学时需结合具体的实例，通过观察、分析、类比等方法来引导学生进行总结．要多让学生之间进行讨论，找出认识的误区，也可以培养他们合作交流的意识.
1．代数式的书写格式要注意的事项：
(1)表示数的字母相乘时，可用“·”代替乘号或省略不写．如：a×b 通常写作a·b或ab；
(2)数和字母相乘时，数字应写在字母前面．如：a×2通常写作2a；
(3)带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数．如：3×a通常写作a；
(4)含有字母的除式中用分数线代替除号．如：3÷y 通常写作 ；
(5)最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来．如：温度由2 ℃上升t ℃后是(2＋t) ℃.
2．非负性：几个非负数的和为零，那么每个加数都必为零．
例1　已知实数a，b，c满足|6－c|＋＋b2－6b＋9＝0，则(a＋b－c)2 025＝－1.
解析：∵|6－c|＋＋b2－6b＋9＝0，∴|6－c|＋＋(b－3)2＝0.
∴ ∴ ∴(a＋b－c)2 025＝(－1)2 025＝－1.故答案为－1.
注意：在利用非负性解题时，有时要对所给的式子进行代数恒等变形，如用到完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
3．性质的逆运用：由()2＝a(a≥0)可得a＝()2(a≥0)．
例2　在实数范围内分解因式：x4－9.
解：x4－9＝(x2＋3)(x2－3)＝(x2＋3)(x＋)(x－)．
例1　实数a，b在数轴上的位置如图所示，
化简|a＋1|－＋＝2.
解析：由实数a，b在数轴上的对应点的位置可得－1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a＋1＞0，b－1＞0，a－b＜0，
∴|a＋1|＝a＋1，|b－1|＝b－1，|a－b|＝－(a－b)＝b－a.
∴|a＋1|－＋ ＝|a＋1|－|b－1|＋|a－b|＝a＋1－(b－1)＋(b－a) ＝a＋1－b＋1＋b－a ＝2.
故答案为2.
例2　阅读下列解题过程：
若＋＝2，求a的取值范围．
解：＋＝|2－a|＋|a－4|.
当a＜2时，原式＝(2－a)＋(4－a)＝6－2a＝2，∴a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时，原式＝(a－2)＋(4－a)＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a－2)＋(a－4)＝2a－6＝2，∴a＝4.
综上所述，a的取值范围是2≤a≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据该方法，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＋＝4；
(2)化简：|a－1|＋；
(3)若＋＝6，求a的值．
解：(1)解析：当3≤a≤7时，3－a≤0，a－7≤0，
∴＋＝|3－a|＋|a－7|＝－(3－a)－(a－7)＝a－3－a＋7＝4.
故答案为4.
(2)|a－1|＋＝|a－1|＋＝|a－1|＋|a－6|.
当a＜1时，a－1＜0，a－6＜0，∴原式＝1－a＋6－a＝7－2a；
当1≤a≤6时，a－1≥0，a－6≤0，∴原式＝a－1＋6－a＝5；
当a＞6时，a－1＞0，a－6＞0，∴原式＝a－1＋a－6＝2a－7.
∴|a－1|＋＝
(3)＋＝＋＝|a＋1|＋|a－3|.
当a＜－1时，a＋1＜0，a－3＜0，∴原式＝－1－a＋3－a＝2－2a＝6，∴a＝－2；
当－1≤a≤3时，a＋1≥0，a－3≤0，∴原式＝a＋1＋3－a＝4≠6，∴－1≤a≤3时不存在符合题意的a的值；
当a＞3时，a＋1＞0，a－3＞0，∴原式＝a＋1＋a－3＝2a－2＝6，∴a＝4.
综上所述，a的值为－2或4.

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