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教学设计
课题 二次根式的除法 授课人
素养目标 1.理解最简二次根式的概念，并运用二次根式的性质把二次根式化成最简二次根式，感知数学转化思想的应用． 2．理解并掌握二次根式的除法法则：＝(a≥0，b＞0)．会用类比的数学思想方法来探究除法法则． 3．理解并掌握商的算术平方根的性质：＝(a≥0，b＞0)．体会二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的互逆关系． 4．利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行计算和化简，培养学生良好的运算习惯，提高运算能力和推理能力.
教学重点 会利用商的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的除法运算．
教学难点 二次根式的除法与商的算术平方根的性质的关系及应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 利用实际问题引入新课. 【情境导入】 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而收看到电视节目的区域就越广，电视塔高h(单位：km)与电视节目信号的传播半径r(单位：km)之间存在近似关系r＝，其中R是地球半径，R≈6 400 km.如果两个电视塔的高分别是h1 km，h2 km， 那么它们的传播半径之比是.你能将这个式子化简吗？ 化简这个式子需要学习二次根式的除法，下面我们一起来看看． 【教学建议】 让学生拓展知识，共同讨论，教师说明学完本课时就可以解决这个问题，调动积极性.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 引导学生观察总结出二次根式的除法法则. 探究点1　二次根式的除法法则 1．计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1)＝，＝；(2)＝，＝； (3)＝，＝. 答：规律：1.被开方数都是正数；2.左边的两个二次根式的商等于右边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的商等于右边的一个二次根式的被开方数． 2．你能用字母表示你发现的规律吗？ 答：二次根式的除法法则：＝(a≥0，b＞0)． 即二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． 【教学建议】 (1)学生口答问题1的填空，指定学生代表回答规律，教师补充完整． (2)学生讨论问题2，教师板书总结，提醒学生这里b＞0，因为b＝0时分母为0，没有意义．
第2课时　二次根式的除法
教学步骤 师生活动
设计意图 引导学生逆向思考，发现商的算术平方根的性质. 3．计算： (1)；(2)÷；(3)÷；(4)÷. 解：(1)＝＝＝＝2； (2)÷＝＝＝＝3； (3)÷＝÷＝＝＝＝3； (4)÷＝＝＝＝2y. 【对应训练】 计算： (1)÷；(2)；(3)；(4)÷. 解：(1)÷＝＝＝3； (2)＝＝＝＝2； (3)＝2＝2； (4)÷＝＝＝＝2a. 探究点2　商的算术平方根的性质 1．把＝反过来，可以得到什么？ 答：商的算术平方根的性质： ＝(a≥0，b＞0)．(利用它可以进行二次根式的化简) 2．化简： (1)；(2)；(3)；(4)(x＞0，y＞0)． 解：(1)＝＝； (2)＝＝＝； (3)＝＝＝； (4)＝＝. 3．(1)观察和，怎么去掉被开方数中的分母？ 答：综合利用分数的基本性质、商的算术平方根的性质．例如： (3)指定学生代表回答问题3，提醒学生计算二次根式的除法应注意：①结果中应不含能开得尽方的因数因式；②如果有系数，就将系数与系数相除，二次根式与二次根式相除，两者的积作为商；③如果有带分数，就先将带分数化为假分数，再进行计算． 【教学建议】 指定学生代表回答，提醒学生：(1)化简和计算的结果中应不含能开得尽方的因数或因式，分母中也应不含根号； (2)可先将分子与分母中公共的因数或因式约去，再转化为二次根式的商的形式进行化简； (3)根号下是带分数的应先化为假分数再化简．
教学步骤 师生活动
设计意图 引导学生发现总结最简二次根式的特点. 　＝＝＝，＝＝＝.(这里令分子、分母同乘一个数，使得分母变成完全平方数) (2)观察，，，怎么去掉分母中的根号？ 答：方法1：＝＝＝＝＝；(这里先用二次根式的除法法则，再用(1)中方法) 方法2：＝＝＝.(这里分子、分母同乘一个二次根式，使得分母变成有理数．) ＝＝＝＝＝. ＝＝＝. 【对应训练】 化简： (1)；(2)；(3)；(4)(b＞0)． 解：(1)＝＝； (2)＝＝＝； (3)＝＝＝； (4)＝＝. 2．计算： (1)；　　(2)÷. 解：(1)原式＝＝＝＝； (2)原式＝＝＝＝＝＝. 探究点3　最简二次根式 观察前面出现过的2，，等，这些式子有什么特点？ 答：(1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 概念引入：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 【对应训练】 【教学建议】 可先让学生讨论，再指定学生代表回答，教师进行总结．提醒学生根号下是小数时先化为分数.
教学步骤 师生活动
1．下列各式是最简二次根式的是( A ) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2．教材P10练习第2题．
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 巩固学生对二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质的理解. 　 例1　计算： (1)×÷；　(2)÷3×. 解：(1)×÷＝＝＝＝＝3×4＝12； (2)÷3×＝×＝＝＝×3＝1. 例2　解答教材P9例7. 【对应训练】 1．计算：÷(－)×3. 解：÷(－)×3＝－×3＝－×3＝ －3＝－3. 2．教材P10练习第3题． 3．解答活动一中提出的问题． 解：＝＝＝＝. 【教学建议】 (1)指定学生代表回答，提醒学生在进行二次根式的乘除混合运算时要遵循从左到右的顺序，可先观察式子特点再决定计算之前是否化简． (2)教师强调二次根式的运算结果应是最简二次根式或整式.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：二次根式的除法法则是什么？其逆向公式怎么表示？什么是最简二次根式？在二次根式的运算中，你认为应该注意哪些问题？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P10习题16.2第2，3，4，8，9，10，11，13题． 2．相应课时训练．
板书设计 16.2　二次根式的乘除 第2课时　二次根式的除法 1．二次根式的除法法则：＝(a≥0，b＞0)． 2．商的算术平方根的性质：＝(a≥0，b＞0)． 3．最简二次根式的概念：(1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 4．二次根式的运算要求：一般要把最后结果化为最简二次根式或整式，并且分母中不含二次根式.
教学步骤 师生活动
教学反思 前两个探究点注意引导学生用与乘法相类似的方法去学习，对最简二次根式的概念要逐步渗透．强调计算结果要化为最简形式，以规范做题． 在教学中感受到学生对分母有理化的运用不够灵活，应在今后的复习中强化巩固.
1．最简二次根式
(1)概念：符合下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
如：不是最简二次根式，因为＝＝＝13；是最简二次根式．
(2)化简二次根式一般分三步：
①化去分母：如果被开方数是分数或分式，运用商的算术平方根的性质将其化成的形式；
②能开则开：把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来；
③化去分母中的根号：如果分母中含有根号，则运用分式的基本性质化去分母中的根号．
例1　将化为最简二次根式．
解：＝＝＝＝＝.
注意：化简时别犯这种错误：＝×＝2×＝.
2．商的算术平方根的性质：＝(a≥0，b＞0)．
例2　若＝，且x＋y＝5，则x的取值范围是( D )
A．x＞　　　　　　　　B.≤x＜5　　　　　　　C.≤x＜7　　　　　　　D.＜x≤7
解析：∵＝，∴y＋2≥0，2x－1＞0，∴y≥－2，x＞.
∵x＋y＝5，∴y＝5－x，则5－x≥－2，解得x≤7.故x的取值范围是＜x≤7.故选D.
3．二次根式的除法法则：＝(a≥0，b＞0)．
例3　计算：÷·(m＞0，n＞0)．
解：原式＝·＝＝＝.
注意：计算时注意运算顺序，别犯这种错误：原式＝÷(·)＝m÷1＝m.
例4　计算：·(－)÷(－)．
解：原式＝·(－)·(－3)＝××3×＝＝·a2b2·＝9ab2.
例1　把二次根式(x－1)中根号外的因式移到根号内，结果是－.
解析：由题意得1－x＞0，则x－1＜0，∴(x－1)＝－＝－.故答案为－.
例2　已知＝，且x为偶数，求(1＋x)的值．
分析：＝在a≥0，b＞0时成立，再结合x为偶数得到x的值，然后化简式子，最后代入求值．
解：由题意得 ∴6＜x≤9.又x为偶数，∴x＝8.原式＝(1＋x)＝(1＋x)＝(1＋x)＝.∴当x＝8时，原式＝＝6.

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