资源简介

教学设计
课题 二次根式的混合运算 授课人
素养目标 1.正确进行二次根式的混合运算，灵活运用运算律、乘法公式使计算简便，掌握规范的解题过程，体会类比、化归等数学思想，培养学生知识迁移的能力． 2．经历观察、推理、类比、交流等数学活动过程，提高数学探究能力和归纳表达能力.
教学重点 二次根式的加、减、乘、除混合运算．
教学难点 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 借助梯形的面积导入新课的学习. 【情境导入】 生活中有许多梯形，比如足球球门的侧面．如果一个梯形的上、下底边长分别为2，4，高为，那么它的面积是多少？状状是这样算的： 梯形的面积：×(2＋4)×＝(＋2)×＝×＋2×＝＋2＝2＋6. 他的做法正确吗？ 答：正确. 【教学建议】 让学生相互讨论，可以引导学生利用计算器检验是否正确.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 引导学生类比整式学习二次根式的混合运算. 探究点1　二次根式的混合运算 1．对比(a＋b)c＝ac＋bc，想想(＋2)×＝×＋2×成立的依据是什么？ 答：分配律． 2．类似地，参考(a＋b)÷c＝a÷c＋b÷c，(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn，计算： (1)(＋)×；(2)(4－3)÷2；(3)(＋3)(－5)． 解：(1)原式＝×＋×＝＋＝4＋3； (2)原式＝4÷2－3÷2＝2－； (3)原式＝()2＋3－5－15＝2－2－15＝－13－2. 【对应训练】 计算： (1)(＋)；(2)(＋)÷；(3)(＋3)(＋2)． 解：(1)原式＝＋； (2)原式＝＋＝4＋2； (3)原式＝()2＋3＋2＋6＝5＋5＋6＝11＋5. 【教学建议】 指定学生代表解答，引导学生回忆整式乘法中的分配律，类比整式乘法来计算．告诉学生在二次根式的运算中，多项式的乘法法则仍然适用.
第2课时　二次根式的混合运算
教学步骤 师生活动
设计意图 引导学生运用乘法公式进行二次根式的运算. 探究点2　二次根式与乘法公式 1．对比(a＋b)(a－b)＝a2－b2，想想该怎么计算(＋)(－) 答：(＋)(－)＝()2－()2＝5－3＝2. 2．类似地，参考(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2，计算： (1)(＋)2；　　　　　　　　　(2)(3－2)2. 解：(1)原式＝()2＋2××＋()2＝2＋2＋3＝5＋2； (2)原式＝(3)2－2×3×2＋(2)2＝63－12＋12＝75－12. 【对应训练】计算： (1)(＋)(－); (2)(4＋)(4－)； (3)(＋)(－); (4)(＋2)2； －)2. 解：(1)原式＝()2－()2＝6－2＝4； (2)原式＝42－()2＝16－7＝9； (3)原式＝()2－()2＝a－b； (4)原式＝()2＋2××2＋22＝3＋4＋4＝7＋4； (5)原式＝(2)2－2×2×＋()2＝20－4＋2＝22－4. 【教学建议】 指定学生代表解答，引导学生回忆乘法公式，告诉学生在二次根式的运算中，乘法公式仍然适用．注意提醒学生将37平方时，要把3和7都平方.
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 帮助学生准确熟练地进行二次根式的混合运算. 例1　计算： (1)÷(－)－×＋； (2)(3－)(3＋)＋(2－)； (3)(3－2＋)÷2＋()2. 解：(1)原式＝－－＋2＝－4＋； (2)原式＝9－7＋2－2＝2； (3)原式＝(6－＋4)÷2＋＝×＋＝＋＝5. 例2　已知a＝3＋2，b＝3－2，求a2b－ab2的值． 解：ab＝1，a－b＝4，∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝1×4＝4. 【对应训练】1．计算： (1)－(＋2)÷；　　　　　　(2)(－1)×； (3)(－－)×(－2)． 解：(1)原式＝3－1－＝ －1； (2)原式＝－＝－＝1； (3)原式＝(－－ )×(－2)＝－ ×(－2)＝8. 2．先化简，再求值：2(a＋)(a－)－a(a－6)＋6，其中a＝－1. 解：原式＝2(a2－3)－(a2－6a)＋6＝2a2－6－a2＋6a＋6＝a2＋6a. 当a＝－1时，原式＝(－1)2＋6(－1)＝2－2＋1＋6－6＝4－3. 【教学建议】 提醒学生二次根式的混合运算顺序与有理数相同：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．一般先将每个二次根式化为最简二次根式再计算(可根据式子特点灵活选择，比如例1(1)中的48和12就没有先化简)，最后将结果中的每一项化为最简二次根式或整式.
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：以前学过的运算律、运算法则和乘法公式在二次根式的混合运算中依然适用吗？二次根式的混合运算最后的计算结果有什么要求？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P15习题16.3第4，6，7，8，9题． 2．相应课时训练．
板书设计 16.3　二次根式的加减 第2课时　二次根式的混合运算 1．二次根式的混合运算： 先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的． 2．运用乘法公式和运算律进行计算： 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.
教学反思 　 本课时要将整式运算的知识迁移到二次根式中来，教学中先用类比的方式引导学生理解，再用练习帮助学生在实例中掌握．本课时可以说是本章所学内容的综合运用，通过检查可以估计本章教学的基本要求是否达到，关注有哪些不足的地方，以便后续复习时查漏补缺.
1．化简二次根式初步达到求简意识
(1)对被开方数进行因数或因式分解．
(2)分解后把能开得尽方的开出来．
例1　化简二次根式的结果是( D )
A. B. C．－ D．－
解析：根据题意，知∴x＜0，∴原式＝＝·(－x)＝－.故选D.
注意：在利用积的算术平方根的性质化简时，一定不能忽视被开方数均为非负数的条件，不能犯这样的错误：＝×.
2．根据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，结合已知条件列不等式组确定字母的取值1．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．如：－是＋的有理化因式；m＋n是m－n的有理化因式．
例1　阅读材料，解答问题：
材料：已知－＝1，求＋的值．
张山同学是这样解答的：
∵(－)(＋)＝()2－()2＝18－x－11＋x＝7，
∴＋＝7.
问题：已知＋＝7.
(1)求－的值；
(2)求x的值．
解：(1)∵(＋)(－)＝()2－()2＝30－x－9＋x＝21，
又＋＝7，∴－＝3.
(2)由得＝5，
∴30－x＝25，∴x＝5.
经检验，x＝5符合题意．故x的值为5.
　2.分母有理化：把分母中的根号化去，通常是分子、分母同乘同一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
如：＝＝－.
例2　在化简时，甲、乙两位同学的解法如下：
甲：＝＝＝－.
乙：＝＝＝－.
则对甲、乙两人的解法的判断正确的是( B )
A．两人都对　　　　　　B．甲错，乙对　　　　　　C．甲对，乙错　　　　　　D．两人都错
解析：当x＝y时，－＝0，根据分式的基本性质可知甲的解法不正确，乙的解法正确，故选B.
例3　阅读下列材料，然后回答问题：
＝＝－1；＝＝－；＝＝－2.
(1)求的值；
(2)求(n为正整数)的值；
(3)计算：＋＋＋…＋＋.
解：(1)＝＝＝－；
(2)＝＝＝－；
(3)原式＝－1＋－＋－＋…＋－＋－＝－1＝10－1＝9.
3．混合运算
注意：①在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律．②进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)是非负数(式)．
例4　计算：(－2)2 024×(＋2)2 025＝＋2.
解析：原式＝(－2)2 024×(＋2)2 024×(＋2)＝[(－2)(＋2)]2 024×(＋2)＝(－1)2 024×(＋2)＝＋2.
例5　已知a＝，求－的值．
解：∵a＝，∴a＝2－，＝2＋，∴a－1＝2－－1＝1－＜0.
∴原式＝－＝－＝a－1－＝a－1＋＝1－＋2＋＝3.
4．二次根式的求值
(1)变形后降次或整体求值
例6　已知x＝＋3，则代数式x3－x2－26x＋5的值为－15.
解析：∵x＝＋3，∴x－3＝，x2－6x＋9＝5，∴x2＝6x－4，∴原式＝x2(x－1)－26x＋5＝(6x－4)(x－1)－26x＋5＝6x2－10x＋4－26x＋5＝6(6x－4)－36x＋9＝－15.故答案为－15.
(2)运用乘法公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2求值
例7　已知a＝＋1，b＝－1.
(1)求＋的值；(2)求a2＋b2＋7ab的值．
解：∵a＝＋1，b＝－1，∴a＋b＝2，ab＝2.
(1)＋＝＝＝－2＝－2＝－2＝4.
(2)a2＋b2＋7ab＝(a＋b)2＋5ab＝(2)2＋5×2＝12＋10＝22.
例1　小芳同学在研究化简时发现：首先把化为，由于4＋3＝7，4×3＝12，即()2＋()2＝7，×＝，所以＝＝＝＝2＋.请解答下列问题：
(1)填空：＝＋1，＝－；
(2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b(a＞b)，使a＋b＝m，ab＝n，即()2＋()2＝m，·＝，那么＝±；
(3)化简：＋＋＋＋＋＋＋(请写出化简过程)．
解：(1)解析：＝＝＝＋1；
＝＝＝－.
故答案为＋1，－.
(2)解析：＝＝＝±.
故答案为±.
(3)原式＝＋＋＋＋＋＋＋
＝－1＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－
＝－1
＝3－1
＝2.
例2　阅读材料：实数的整数部分与小数部分．
由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：
①对于正实数，如实数9.23，在整数9和10之间，则整数部分为9，小数部分为9.23－9＝0.23.
②对于负实数，如实数－9.23，在整数－10和－9之间，则整数部分为－10，小数部分为－9.23－(－10)＝0.77.
依照上述规定解决下列问题：
(1)已知的整数部分为a，小数部分为b，求a，b的值；
(2)若x，y分别是8－的整数部分与小数部分，求(x＋)y的值；
(3)设p＝，m是p的小数部分，n是－p的小数部分，求m2＋n2＋2mn的值．
解：(1)∵2＜＜3，∴a＝2，b＝－2.
(2)∵3＜＜4，∴－4＜－＜－3.
∴4＜8－＜5，∴x＝4，y＝4－.
∴(x＋)y＝(4＋)(4－)＝16－11＝5.
(3)∵p＝＝＝＋1，
∴p的整数部分为2，小数部分为m＝＋1－2＝－1.
∵－p＝－－1，
∴－p的整数部分为－3，小数部分为n＝－－1－(－3)＝2－.
∴m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2＝(－1＋2－)2＝1.

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