资源简介

教学设计
课题 勾股定理的应用 授课人
素养目标 1.进一步理解和掌握勾股定理． 2．能够利用勾股定理解决简单的实际问题． 3．通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会转化思想、模型思想，形成应用意识.
教学重点 运用勾股定理解决实际问题．
教学难点 勾股定理的灵活应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 借助实际情境，激发学生的学习兴趣. 【情境导入】 电视的尺寸是屏幕对角线的长度．元元的妈妈买了 一台55英寸(140 cm)的液晶电视，元元量电视屏幕 后，发现屏幕的长为122 cm，宽为68 cm.她觉得一 定是售货员搞错了，你同意她的想法吗？ 【教学建议】 让学生交流讨论，引导学生回忆勾股定理的内容，再借助计算器解决这个问题.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 培养学生把实际生活中的问题转化为数学问题的能力. 探究点　勾股定理的应用 例1　(教材P25例1)一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析： 解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5. 所以AC＝≈2.24 m. 因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过. 【教学建议】 让学生交流讨论，引导学生从实际生活的角度多方面考虑，从而分析出解决问题的关键条件：比较AC和木板的宽．教师总结：解决木板进门问题不仅需要考虑木板的长、宽和门的长、宽，有时还要考虑门的对角线．
第2课时　勾股定理的应用
教学步骤 师生活动
例2　(教材P25例2)如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 分析： 解：可以看出，BD＝OD－OB. 在Rt△AOB中，根据勾股定理， OB2＝AB2－OA2＝2.62－2.42＝1，所以OB＝＝1(m)． 在Rt△COD中，根据勾股定理， OD2＝CD2－OC2＝2.62－(2.4－0.5)2＝3.15，所以OD＝≈1.77(m)， 所以BD＝OD－OB＝1.77－1＝0.77(m)． 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移约0.77 m. 【对应训练】 1～2.教材P26练习． 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在 左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距 离地面2.4 m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜 靠在右墙上时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C ) A．0.7 m　　　　　B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m 【教学建议】 引导学生分析出梯子底端B外移的距离BD＝OD－OB，从而需要先计算出OD，OB的长度．从题中抽象出Rt△AOB和Rt△COD，分别利用勾股定理求出OB，OD.
活动三：重点突破，提升探究 例3　有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，求竹竿长与门高． 解：如图，设门高x尺，则竹竿长(x＋1)尺． 根据勾股定理可得x2＋42＝(x＋1)2， 即x2＋16＝x2＋2x＋1，解得x＝7.5. 则x＋1＝8.5. 故门高7.5尺，竹竿长8.5尺． 【对应训练】 如图，在树上距地面10 m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B处，再由B 处跑到C处，已知两只猴子所经过的路程都是15 m，求树高AB. 解：根据题意，得BD＝10 m，BD＋BC＝AD＋AC＝15 m， 所以BC＝5 m. 设AD＝x m，则AC＝(15－x) m，AB＝(10＋x) m. 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AB2＋BC2＝AC2， 即(10＋x)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2.所以AB＝12 m. 答：树高AB为12 m. 【教学建议】 引导学生画出草图分析问题，从中抽象出直角三角形模型．提示学生：当已知直角三角形两边的数量关系和第三边的长度时，一般设未知数，再借助勾股定理列方程求解.
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：想想生活中哪些物品可以利用勾股定理？只知道直角三角形一边的长和另两边的数量关系，能求出另两边的长吗？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P28习题17.1第2，4，5，8，9，10，11题． 2．相应课时训练．
板书设计 17.1　勾股定理 第2课时　勾股定理的应用 1．勾股定理的简单应用 2．勾股定理中的方程思想
教学反思 　 本节课以生活中常见的问题为例，引导学生想象、比较、分析，把实物抽象为直角三角形模型，再借助勾股定理来求解，充分培养学生把课本上的理论知识应用到实际生活中的能力．教学中发现学生的阅读理解和空间想象能力还有待提高，需要在后续的学习中加强.
勾股定理的应用
(1)利用勾股定理解决图形面积问题
例1　如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，求△ABC的面积．
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，设BD的长为x，则CD的长为14－x.
∵AD2＝AB2－BD2，AD2＝AC2－CD2，∴AB2－BD2＝AC2－CD2，
∴132－x2＝152－(14－x)2，解得x＝5，∴BD＝5.∴AD2＝132－52，∴AD＝12，
∴S△ABC＝＝＝84，即△ABC的面积是84.
例2　如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝5－，CD＝6，∠ABC＝135°，∠BCD＝120°，求四边形ABCD的面积．
解：如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F.
∵∠ABE＝180°－∠ABC＝180°－135°＝45°，∠DCF＝180°－∠BCD＝180°－120°＝60°，
∴易知AE＝BE，CF＝CD＝×6＝3.
又AE2＋BE2＝AB2，CF2＋DF2＝CD2，
∴AE＝BE＝AB＝×＝，DF＝CD＝×6＝3，
∴S四边形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF
＝(AE＋DF)·EF－AE·BE－CF·DF
＝×(＋3)×(＋5－＋3)－××－×3×3
＝.
　　(2)利用勾股定理解决图形折叠问题
例3　如图，在长方形ABCD中，E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE，EF交AB于点G，CF交AB于点H，且GA＝GF.若CD＝10，BC＝6，则AE的长是.
解析：由长方形和折叠的性质，可知∠A＝∠D＝∠F＝90°，DE＝EF，CF＝CD＝10.
在△AGE和△FGH中， ∴△AGE≌△FGH(ASA)，
∴AE＝FH，GE＝GH，∴AH＝GA＋GH＝GF＋GE＝EF＝DE.
设AE＝FH＝x，则AH＝DE＝AD－AE＝BC－AE＝6－x，
∴BH＝AB－AH＝CD－AH＝10－(6－x)＝x＋4，CH＝CF－FH＝10－x.
∵BC2＋BH2＝CH2，∴62＋(x＋4)2＝(10－x)2，∴x＝，∴AE＝.故答案为.
例4　如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．
(1)若AB＝4，AD＝5，求折痕AE的长；
(2)若AE＝，且CE∶CF＝3∶4，求长方形ABCD的周长．
解：(1)由折叠可知，AD＝AF＝5，DE＝EF，∴BF＝＝＝3，
∴CF＝BC－BF＝5－3＝2.设EF＝DE＝x，则CE＝4－x.
∵CF2＋CE2＝EF2，∴22＋(4－x)2＝x2，解得x＝，∴DE＝，∴AE＝＝＝.
(2)设CE＝3x(x＞0)，则CF＝4x，∴EF＝＝5x，∴DE＝EF＝5x，∴AB＝CD＝DE＋CE＝8x.
设AF＝AD＝y(y＞0)，则BF＝y－4x.在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，∴(8x)2＋(y－4x)2＝y2，∴y＝10x，∴AD＝10x.
在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，∴(10x)2＋(5x)2＝()2，解得x＝或x＝－(舍去)，∴AD＝10x＝2，AB＝8x＝.∴长方形ABCD的周长为(2＋)×2＝.
例　如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16 cm，AC＝20 cm，P，Q是△ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm/s；点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，当一点到达终点时，另一点也随之停止，设出发的时间为t s.
(1)BC＝12 cm；
(2)当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？并求出此时CQ的长；
(3)当点Q在边AC上运动时，写出使△BCQ成为等腰三角形时t的值．
解：(2)当点P在边AC的垂直平分线上时，PC＝PA＝t cm，PB＝AB－PA＝(16－t) cm.在Rt△BPC中，BC2＋PB2＝PC2，即122＋(16－t)2＝t2，解得t＝.易知此时点Q在边AC上，CQ＝2×－12＝13 (cm)．
(3)①当CQ＝BQ时，如图①，则∠C＝∠CBQ.∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ.∴CQ＝AQ＝AC＝×20＝10(cm)，∴BC＋CQ＝12＋10＝22(cm)，∴t＝22÷2＝11；
　　　　　　　　
②当CQ＝BC时，如图②，则BC＋CQ＝12＋12＝24(cm)，∴t＝24÷2＝12；
③当BC＝BQ时，如图③，过点B作BE⊥AC于点E，则CE＝CQ.
∵S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，∴BE＝＝＝(cm)．
∴CE＝＝＝ (cm)，∴CQ＝2CE＝ cm.
∴BC＋CQ＝12＋＝(cm)，∴t＝÷2＝.
综上所述，当t的值为11或12或时，△BCQ为等腰三角形．　

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