资源简介

16.3　二次根式的加减
第1课时　二次根式的加减
教学设计
课题 二次根式的加减 授课人
素养目标 1.理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式． 2．理解和掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算． 3．通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认真细致的良好学习习惯.
教学重点 二次根式加减法则的理解及应用．
教学难点 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 利用实际问题引入新课. 【情境导入】 (教材P12问题)现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？ 【教学建议】 让学生相互讨论，引导学生列出式子＋.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 引导学生发现可以合并的二次根式. 探究点1　可以合并的二次根式 1．活动一中问题的关键是要比较＋与7.5的大小，用计算器算一下，＋＝成立吗？ 答：不成立.＋≈7.07，≈5.10. 2．将与化为最简二次根式，看看它们可以合并吗？为什么？ 答：＝2，＝3，可以合并，由于它们有共同的因数，可以利用分配律进行合并． 即＋＝2＋3＝(2＋3)＝5. 归纳总结：可以合并的二次根式：化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式． 3．若和最简二次根式3可以合并，则m＝3. 【对应训练】 1．下列各式中，能与合并的是( D ) A. B. C. D. 2．下列各组二次根式中，化简后能合并的是( D ) A.与 B.与 C.与 D.与 【教学建议】 提醒学生注意以下两点： (1)在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． (2)辨别两个二次根式能否合并，一定要先化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同，若相同则可以合并，若不同则不能合并.
教学步骤 师生活动
设计意图 引导学生掌握二次根式的加减的一般步骤. 探究点2　二次根式的加减 解答教材P13例1、例2，回答下列问题： 1．计算m＋n－p，并说明其中的依据． 答：m＋n－p＝(m＋n－p).将看成共同的因式，依据是分配律． 2．教材P13例1和例2的计算中先做了什么？后做了什么？ 答：先把每个二次根式化简成了最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式进行合并． 归纳总结：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 3．比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 答：二次根式的加减，第一步是化简，第二步是合并被开方数相同的二次根式，第二步类似于整式的加减中的合并同类项． 【对应训练】 教材P13练习. 【教学建议】 指定学生代表解答，提醒学生在二次根式的加减中注意：(1)若被开方数中含有带分数或者小数，则要先化成(假)分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，特别注意需要变号的情况，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么样的二次根式可以合并？二次根式的加减的一般步骤是怎样的？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P15习题16.3第1，2，3，5题． 2．相应课时训练．
板书设计 16.3　二次根式的加减 第1课时　二次根式的加减 1．化简后被开方数相同的二次根式才可以合并． 2．二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
教学反思 实际问题引出二次根式的加减，要注意引导学生自主探究，用合并同类项的方法来解决二次根式的加减．运算中的主要难点在于化简二次根式，教学中要注意找到学生不熟练的地方加以巩固.
1．可以合并的二次根式
例1　若最简二次根式与二次根式可以合并，求a，b的值．　
分析：先把化简，再根据最简二次根式的概念和二次根式可以合并的条件，列方程组进行求解．
解：首先把二次根式化为最简二次根式，即
＝＝|b|·.
由题意得整理得 解得 故a＝1，b＝1.
2．二次根式的加减
例2　已知4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求(x＋y2)－(x2－5x)的值．
分析：首先将已知等式变形成两个完全平方式的和的形式，然后结合非负数的性质求出x，y的值．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，最后代入求值．
解：∵4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，∴4x2－4x＋1＋y2－6y＋9＝0，∴(2x－1)2＋(y－3)2＝0.∴x＝，y＝3.
原式＝x＋y2－x2＋5x＝2x＋－x＋5＝x＋6.
当x＝，y＝3时，原式＝×＋6＝＋3.
3．二次根式的大小比较方法：比较二次根式的大小，通常有平方比较法、作差比较法、作商比较法、倒数比较法、分子有理化法等．
(1)运用平方法
如：比较3和2的大小．
解：∵(3)2＝32×2＝18，(2)2＝22×3＝12，又18＞12，∴3＞2.
(2)运用作差法
如：比较3和2的大小．
解：∵3－2＝－＝－＞0，∴3＞2.
(3)运用作商法
如：比较3和2的大小．
解：∵＝＝＝＞1，∴3＞2.
(4)运用倒数法
如：比较－与－的大小(其中n为正整数)．
解：∵＝＝＋，
＝＝＋，
又n为正整数，∴＋＞＋，∴－＜－.
(5)运用分子有理化法
如：比较－与－的大小．
解：∵－＝＝＝，
－＝＝＝，
又＋＞＋，∴＜，
即－＜－.
例1　已知a，b为实数，且a＋b＝－8，ab＝8，则b＋a＝－12.
解析：∵a＋b＝－8＜0，ab＝8＞0，∴a＜0，b＜0，
∴b＋a＝－－＝－(＋)＝－.
把a＋b＝－8，ab＝8代入上式，得
原式＝－×＝－×6＝－12.故答案为－12.
注意：本题一定先要根据已知条件判断出a＜0，b＜0，否则结果会得出正数．
例2　“比差法”是数学中常用的比较两个数的大小的方法，
即：
例如：比较－2与2的大小．
∵－2－2＝－4，又＜＜，即4＜＜5，
∴－4＞0，∴－2＞2.
请根据上述方法解答以下问题：
(1)的整数部分是5，7－的小数部分是6－；
(2)比较2－与－3的大小；
(3)已知(a＋b)(a－b)＝a2－b2，试用“比差法”比较＋与2的大小．
分析：(1)首先估算出5＜＜6，再逐步推算即可；
(2)根据“比差法”比较两个数的大小即可；
(3)根据“比差法”，得＋－2＝(－)－(－)＝－，再根据(a＋b)(a－b)＝a2－b2，化简比较即可求解．
解：(1)解析：∵5＜＜6，∴的整数部分是5，－6＜－＜－5，∴1＜7－＜2.
∴7－的整数部分是1，小数部分是7－－1＝6－.
故答案为 5，6－.
(2)2－－(－3)＝5－＝－＞0，∴2－＞－3.
(3)＋－2＝(－)－(－)
＝－
＝－.
∵＋＞＋，∴－＜0，∴＋＜2.

展开更多......

收起↑