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教学设计
课题 勾股定理的逆定理 授课人
素养目标 1.理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形． 2.探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用． 3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及其关系． 4.会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律.
教学重点 勾股定理的逆定理的理解及其应用．
教学难点 探究勾股定理的逆定理.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：引用故事，导入新课 设计意图 通过讲古代数学故事，引出勾股定理的逆定理的学习. 【故事导入】 同学们知道古埃及人没有三角板是怎么画直角的吗？ 据说，古埃及人用右图的方法画直角：把一根长绳 打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结 间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个 三角形，其中一个角便是直角． 你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因. 【教学建议】 引导学生思考，让学生讨论，激发学习兴趣．可介绍我国古代大禹治水测量工程时，也用类似方法确定直角.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 引导学生动手探究，发现勾股定理的逆定理. 探究点1　勾股定理的逆定理 类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果． (1)让一根绳子的一端与0刻度线重合，分别在3 cm，7 cm，12 cm处做标记，得到长度分别为3 cm，4 cm，5 cm的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形． 答：是直角三角形． (2)类似(1)的操作，以2.5 cm，6 cm，6.5 cm和4 cm，7.5 cm，8.5 cm的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形． 答：是直角三角形． (3)结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形？用命题形式表述． 答：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 探究点2　互逆命题与互逆定理 1．互逆命题 (1)回想17.1，其中的命题(如果直角三角形的两条直角边长分别为a， 【教学建议】 (1)提前让学生准备好三根长于20 cm的方便测量和做标记的绳子，可以让学生分组合作． (2)引导学生发现直角都是两条较短边所夹的角． (3)让学生讨论，指定学生代表回答猜想的命题，根据情况提示边长的平方关系．
17.2　勾股定理的逆定理
第1课时　勾股定理的逆定理
教学步骤 师生活动
2.互逆定理 我们在“探究点1”中得到的命题只是我们的猜想，怎么证明它呢？ 如图①，已知△ABC的三边长分别为a，b， c，且满足a2＋b2＝c2，怎么证明△ABC是直 角三角形呢？ 回想17.1中用勾股定理证明“HL”，借助全 等三角形的知识，如图②，画一个Rt△A′B′C′， 使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°.△ABC与△A′B′C′全等吗？可以说明△ABC是直角三角形吗？ 答：全等．根据勾股定理，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2＝c2，∴ A′B′＝c. 在△ABC和△A′B′C′中，BC＝a＝B′C′，AC＝b＝A′C′，AB＝c＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形． (2)我们知道两个内角互余的三角形是直角三角形，现在还可以依据什么判断一个三角形是直角三角形？ 答：还可以依据上面证明的命题． 归纳总结：我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据． 补充说明：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． (3)勾股定理是正确的，其逆命题也是正确的，是不是说明原命题成立，其逆命题一定成立呢？有没有反例说明？ 答：不一定．比如命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立． 例1　(教材P32例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15. 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289， 所以152＋82＝172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形． (2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225， 所以132＋142≠152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形． 延伸概念：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 【对应训练】 1．以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有( B ) ①5，12，13；②1，2，4；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5. A．1个　　　　 　B．2个　　　　 　C．3个　　　　 　D．4个 2．有下列4组数：①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④ 【教学建议】 指定学生回答，告诉学生以下几点： (1)每一个命题一定有逆命题，而每一个定理不一定有逆定理． (2)勾股数必须满足两个条件：①以三个数为边长的三角形是直角三角形；②三个数必须是正整数． (3)写出一个题设、结论不太明显的命题的逆命题时，可以先将原命题改写成“如果……那么……”的形式来确定题设和结论，再互换题设和结论得到其逆命题.
教学步骤 师生活动
30，40，50.其中，勾股数有( B ) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3～4.教材P33练习第1～2题．
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 巩固学生对勾股定理的逆定理的认识. 例2　四边形ABCD的各边长如图所示，对角线BD＝10，求四边形ABCD的面积． 解：∵AD＝8，AB＝6，BD＝10，CD＝26，BC＝24， ∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝CD2. ∴△ABD和△BDC都是直角三角形， 且∠A＝90°，∠DBC＝90°. ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝×6×8＋×10×24＝144. 答：四边形ABCD的面积是144. 【教学建议】 提醒学生记住常见的几组勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17，碰到时就可以较快地联想到直角三角形.
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：勾股定理的逆定理是什么？什么是逆命题？什么样的数叫做勾股数？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P34习题17.2第1，2，7题． 2．相应课时训练．
板书设计 17.2　勾股定理的逆定理 第1课时　勾股定理的逆定理 1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 2．互逆命题与互逆定理 (1)互逆命题：如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题就叫做互逆命题． (2)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 3．勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
教学反思 　 本节课以古代数学故事导入，让学生动手操作，猜想并验证勾股定理的逆定理，并延伸出逆命题、逆定理等概念，过程中要引导学生积极参与．本节课的难点在于勾股定理的逆定理的证明，要适当给予学生提示和引导．本节课涉及的新概念也较多，对学生有一定难度，要注意把握适度的要求.
1．勾股定理的逆定理
若a2＋b2＜c2，则以a，b，c为三边长的三角形是钝角三角形；
若a2＋b2＝c2，则以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形；
若a2＋b2＞c2，则以a，b，c为三边长的三角形是锐角三角形．
(在以上三角形中，c均为最长边)
2．勾股数
(1)满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数．
(2)勾股数有无数组，如对于任意两个整数m，n(m＞n＞0)，用含字母的代数式表示勾股数：
n2－1，2n，n2＋1(n≥2，n为正整数)；
2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1(n为正整数)；
m2－n2，2mn，m2＋n2(m＞n，m，n为正整数)．
(3)如果a，b.c为一组勾股数，那么na，nb，nc(n是正整数)也是一组勾股数．
例如3，4，5是一组勾股数，则6，8，10也是一组勾股数，9，12，15也是一组勾股数．　
注意：只满足勾股定理，但不满足都是正整数的三个数不是勾股数．
例1　已知△ABC的三边长分别为a，b，c，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是否为直角三角形．
分析：本题中已给出三角形的三边长，判断该三角形是否为直角三角形，只需看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方就可以了，其关键是确定最大边长．
解：∵m，n是正整数，且m＞n，
∴c－b＝m2＋n2－2mn＝(m－n)2＞0，c－a＝m2＋n2－(m2－n2)＝2n2＞0，
∴c＞b，c＞a.∴△ABC的最大边长为c.
∵a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4，c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4，
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形．
例2　若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，试判断△ABC的形状．
分析：由等式条件来判断三角形的形状，就是将已知的等式进行代数恒等变形，再根据它的结构特点，得出a，b，c的关系，从而判断三角形的形状．
解：由已知得a2＋b2＋c2－12a－16b－20c＋200＝0，
∴(a2－12a＋36)＋(b2－16b＋64)＋(c2－20c＋100)＝0，
∴(a－6)2＋(b－8)2＋(c－10)2＝0.
∵(a－6)2≥0，(b－8)2≥0，(c－10)2≥0，
∴(a－6)2＝0，(b－8)2＝0，(c－10)2＝0.
∴a＝6，b＝8，c＝10.
∴a2＋b2＝62＋82＝36＋64＝100＝102＝c2.
∴△ABC是直角三角形．
例3　王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
　　(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1；
(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想；
(3)请你观察下列四组勾股数：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；(9，40，41)，分析其中的规律，直接写出第五组勾股数：(11，60，61)．
解：(2)以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．证明如下：
∵a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1，
∴c－a＝n2＋1－(n2－1)＝2＞0，c－b＝n2＋1－2n＝(n－1)2＞0，
∴最大边长为c.
∵a2＋b2＝(n2－1)2＋4n2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，
∴a2＋b2＝c2.
∴ 以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．

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