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教学设计
课题 利用勾股定理作图、计算 授课人
素养目标 1.理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理的证明． 2．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点． 3．在数学活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯，并让学生体会勾股定理的应用价值.
教学重点 利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点．
教学难点 转化思想、方程思想、数形结合思想的灵活应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：交流新知，验证旧知 设计意图 让学生利用勾股定理证明之前学过的“HL”. 【回顾导入】 在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结 论吗？已知：如图，在Rt△ABC和 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′， AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°， 根据勾股定理，得BC＝，B′C′＝. 又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). 【教学建议】 师生共同画图，写出已知、求证，引导学生分析：锐角未知，只能通过“SSS”或“SAS”证明，并指定学生代表证明.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 引导学生探究在数轴上画出表示无理数的点. 探究点　利用勾股定理在数轴上表示实数 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？ (1)如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点．想一想，你能画出长为的线段吗？怎么画？说说你的画法． 答：画一个两条直角边的长都为1的直角三角形，它的斜边长就是. (2)长为的线段能否是直角边长为正整数的直角三角形的斜边呢？ 答：设斜边c＝，两直角边分别为a，b，根据勾股 定理有a2＋b2＝c2＝13，若a，b为正整数，则13必须 分解为两个完全平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4， b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边 长分别为正整数2和3的直角三角形的斜边长，如图所示． (3)在数轴上画出表示的点． 答：①如图，在数轴上找出表示3的点A， 则OA＝3； ②过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B， 使AB＝2； ③以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点． 【教学建议】 让学生交流讨论，教师给予适当提示．最后总结在数轴上画表示无理数的点的一般步骤： (1)利用勾股定理拆分出两条线段长的平方和等于所求无理数的平方(一般拆分的两条线段的长是正整数，这样作图较方便)； (2)以原点为直角三角形斜
第3课时　利用勾股定理作图、计算
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(4)我们知道了怎么画出斜边长为的直角三角形，那么怎么画出斜边长为的直角三角形呢？ 答：根据()2＋1＝3＝()2，先画出长为的线段，再以和1为直角边的长画直角三角形，则斜边长即为. (5)你能画出斜边长为(n是正整数)的直角三角形吗？你能在数轴上画出表示的点吗？ 答：类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点． 【对应训练】 教材P27练习第1题． 边的顶点，在数轴上作一条直角边，再作另一条直角边，构造直角三角形； (3)以数轴原点为圆心，以斜边长为半径画弧，弧与数轴的交点即为所求的表示该无理数的点(一般所求无理数是正的，所求点就是弧与正半轴的交点).
活动三：重点突破，提升探究 设计意图 从不同角度巩固学生对勾股定理的认识. 　例　如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( B ) A.＋1 B.－1 C．－＋1 D．－－1 【对应训练】 1．如图，数轴上点A表示的数为1，AB⊥OA，且AB＝OA.以原点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C所表示的数为( D ) A.－1 B．1－ C. D．－ 2．教材P27练习第2题． 【教学建议】 提醒学生解决此类题需注意：(1)画弧时所取的圆心在数轴上表示的数(有时不是0)；(2)弧与数轴的交点与圆心的位置关系(有时交点在圆心左侧).
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你会用勾股定理证明“HL”吗？你会在数轴上画出表示无理数的点吗？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P28习题17.1第6，12题． 2．相应课时训练．
板书设计 17.1　勾股定理 第3课时　利用勾股定理作图、计算 1．利用勾股定理证明“HL”． 2．利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.
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教学反思 　 本节课的重点和难点是在数轴上画出表示无理数的点，学生之前没有接触过这类题型，教学中教师要引导学生积极地发表自己的看法，梳理所学到的知识，逐步探究，加深对知识的理解和巩固.
1．利用勾股定理进行几何作图
例1　如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
(1)在图①的网格中画出长为的线段AB；
(2)在图②的网格中画出腰DE，DF的长为，面积为3的等腰三角形DEF；
(3)在图③的网格中画出三边长分别为，，2的三角形，并直接写出其面积为4.
解：(1)如图①，由＝可以构造一个两条直角边长分别为1和2的直角三角形，则斜边AB的长为.
(2)如图②，由＝可以构造一个底边长为6，高为1的等腰三角形DEF.
(3)由＝，＝，2＝＝可以构造如图③所示的三角形，
此三角形的面积为3×4－×1×2－×2×3－×2×4＝4.
例2　在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A和直线l的位置如图所示．
(1)将点A向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，请在图①中标出点B，并写出线段AB的长度：2；
(2)在(1)的条件下，在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，在图①中保留画图痕迹，并直接写出PA＋PB的最小值：6；
(3)在(1)的条件下，C为直线l上的格点，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，请在图②中标出点C，并写出线段AC的长度：2或2.
解析：(1)如图①，AB＝＝2.故答案为2.
(2)如图①，PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B＝＝6.故答案为6.
(3)如图②，存在两个符合条件的点，分别为C1，C2，AC1＝＝2，AC2＝＝2.故答案为2或2.
2．利用勾股定理解决最短路线问题
例3　如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程是( B )
A．20 dm　　　　　　　B．25 dm　　　　　　　C．30 dm　　　　　　　D．35 dm
解析：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20 dm，宽为(3＋2)×3＝15(dm)，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程是此长方形的对角线长．
故蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程为＝25(dm)．
故选B.
例4　如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm且与蜂蜜相对的点A处，则该蚂蚁从外壁A处爬到内壁B处的最短路程为20cm.(杯壁厚度不计)
解析：将圆柱体侧面展开，如图所示，
作点A关于PS的对称点A′，连接A′B交PS于点C，
则蚂蚁从点A爬到点C，再爬到点B，爬行的路程最短，最短路程等于A′B的长．
∵PA′＝PA＝3 cm，OQ＝5 cm，PQ＝14 cm，PS＝32 cm，
∴OA′＝14＋3－5＝12(cm)，OB＝PS＝16 cm.
在Rt△A′OB中，可得A′B＝＝20(cm)．
故该蚂蚁从外壁A处爬到内壁B处的最短路程为20 cm.故答案为20.
例5　如图，长方体的长、宽、高分别为8 cm，4 cm，5 cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm.
解析：把长方体按前面、上面展开如图①，由勾股定理可得AB＝＝(cm)；
把长方体按前面、右面展开如图②，由勾股定理可得AB＝＝13(cm)；
把长方体按左面、上面展开如图③，由勾股定理可得AB＝＝(cm)．
∵＜13＜，∴蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm.故答案为.
例　如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，连接AC，CE.设CD＝x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？求出这个最小值；
(3)根据上述结论，构图求出代数式＋的最小值．
解：(1)AC＋CE＝＋.
(2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．　
如图①，过点A作AF⊥ED的延长线于点F，连接AE，AC＋CE的最小值即为AE的长．
易知AF＝BD＝8，DF＝AB＝5，∴EF＝DF＋DE＝5＋1＝6.
在Rt△AEF中，AE＝＝＝10，∴AC＋CE的最小值是10.
(3)如图②，作BD＝15，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝3，DE＝5，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式＋的最小值．
过点A作AF⊥ED的延长线于点F，可得长方形ABDF，
则DF＝AB＝3，AF＝BD＝15，EF＝DE＋DF＝5＋3＝8，
∴AE＝＝＝17，
即＋的最小值为17.

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