资源简介

教学设计
课题 二次根式的混合运算 授课人
素养目标 1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理． 2.述勾股定理，并能应用它进行简单的计算． 3.过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践和创新能力.
教学重点 运用割补、拼图的方法证明勾股定理的正确性，并能进行简单计算．
教学难点 “数形结合”思想方法的理解和应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 介绍我国古代数学成就，激发学生的学习兴趣. 【情境导入】 国际数学家大会是全球性的数学科学学术会议， 被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开过第24 届国际数学家大会，如图是该届大会会徽的图案． 你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形 组成？这个图案有什么特别的意义？ 【教学建议】 简单介绍“赵爽弦图”的背景与组成图形.
活动二：问题引入，自主探究 设计意图 引导学生探索、发现、证明勾股定理. 探究点　勾股定理的认识与证明 1．特殊直角三角形中勾股定理的探究 毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传2500多年前， 毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺 成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系， 如图①所示． (1)你能说出图①中正方形A，B，C的面积之间的关系吗？ 答：正方形A，B的面积之和等于正方形C的面积．(SA＋SB＝SC) (2)正方形A，B，C所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系？ 答：等腰直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．一般直角三角形中勾股定理的探究 等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直 角三角形是否也满足“两直角边的平方和等于斜 边的平方”呢？ 观察图②，其中每个小方格的面积均为1. 请你分别计算出图②中正方形A，B，C，A′， B′，C′的面积． 答：A的面积＝4，B的面积＝9，C的面积＝13，A′的面积＝9，B′的 【教学建议】 (1)可提示学生通过数等腰直角三角形的个数得到图①中正方形A，B，C的面积的数量关系，再引导学生由正方形的面积等于边长的平方得出等腰直角三角形的三边之间的关系； (2)可提示学生利用割补法计算图②中正方形C，C′的面积
第十七章　勾股定理
17．1　勾股定理
第1课时　勾股定理
教学步骤 师生活动
面积＝25，C′的面积＝34. 正方形A，B，C的面积之间有什么关系？正方形A′，B′，C′的面积之间有什么关系？ 答：A的面积＋B的面积＝C的面积，A′的面积＋B′的面积＝C′的面积．(SA＋SB＝SC，SA′＋SB′＝SC′) (3)直角三角形三边之间的关系用命题形式怎么表述？ 答：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 3．勾股定理的证明 阅读教材P23，24，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述命题的，我国把这个命题称为勾股定理，感兴趣的同学可以自己用拼图试一试． (等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积)，再引导学生得到命题； (3)可以让学生拿一张长方
活动三：知识运用，典例讲练 设计意图 帮助学生巩固对勾股定理的认识. 例1　请你补全下列证明勾股定理的一种方法． 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC， ∠ACB的对边分别为a，b，c. 求证：a2＋b2＝c2. 证明：整个图形可以看作是边长为c的大正方形，它的 面积为c2；也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为b－a的小正方形组成，其面积为4×ab＋(b－a)2.所以可以得到等式：4×ab＋(b－a)2＝c2.化简，得a2＋b2＝c2. 例2　在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝17，b＝15，求a； (3)已知c＝14，a＝6，求b. 解：(1)c＝＝＝＝5. (2)a＝＝＝＝8. (3)b＝＝＝＝4. 【对应训练】 1～2.教材P24练习． 3．如图是传说中毕达哥拉斯的证法，利用这两个图形证明勾股定理．提示：图①中拼成的正方形与图②中拼成的正方形面积相等． 证明：从图上可以看到，这两个大正方形的边长都是a＋b，所以面积相等．所以a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab，化简整理得 a2＋b2＝c2. 【教学建议】 (1)告诉学生用拼图方法证明勾股定理通常有两种情况：①一个图形就利用它的两种不同面积表示方法列等式；②两个图形就利用它们的面积相等列等式． (2)提醒学生牢记直角所对的边是斜边，并要掌握勾股定理公式的其他变形(直角边为a，b，斜边为c时的情况)： a2＝c2－b2， b2＝c2－a2， c＝， a＝， b＝.
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是勾股定理？你知道几种证明它的方法？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P28习题17.1第1，3，7，13，14题． 2．相应课时训练．
板书设计 17.1　勾股定理 第1课时　勾股定理 1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 2．勾股定理的证明：“赵爽弦图”“毕达哥拉斯拼图”等.
教学反思 　 本节课以“情境导入－从特殊到一般－假设猜想－拼图验证”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，达到更好的学习效果．勾股定理的证明是本节课的难点，可以设计一些拼图活动，让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究，从而突破这一难点.
1．勾股定理的证明方法
例1　以a，b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积都等于ab，把这两个直角三角形拼成如图所示的形状，使A，E，B三点在一条直线上．求证：a2＋b2＝c2.
证明：∵Rt△EAD≌Rt△CBE，∴∠ADE＝∠BEC.
∵∠AED＋∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°.
∴∠DEC＝180°－90°＝90°.
∴△DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于c2.
又∠DAE＋∠EBC＝90°＋90°＝180°，∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是一个直角梯形，它的面积等于(a＋b)2.
∴(a＋b)2＝2×ab＋c2.∴a2＋b2＝c2.
例2　作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使H，C，B三点在一条直线上，连接BF，CD.求证：a2＋b2＝c2.
证明：如图，过点C作CL⊥DE于点L，交AB于点M.
∵∠FAC＝∠BAD＝90°，∴∠FAC＋∠CAB＝∠BAD＋∠CAB，即∠FAB＝∠CAD.
又AF＝AC，AB＝AD，∴△FAB≌△CAD(SAS)，∴S△FAB＝S△CAD.
∵△FAB的面积等于AF·AC＝a2，△CAD的面积等于AD·DL(即长方形ADLM面积的一半)，∴ 长方形ADLM的面积＝a2.
如图，连接AK，CE，同理易证△ABK≌△EBC，∴易得长方形MLEB的面积＝b2.
∵ 正方形ADEB的面积＝长方形ADLM的面积＋长方形MLEB的面积，
∴c2＝a2＋b2，即a2＋b2＝c2.
2．利用勾股定理求边长
应用勾股定理求直角三角形的边长时，经常利用a2＋b2＝c2和其变式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，c＝，a＝，b＝.
例3　在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( C )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．10 B．8 C．10或6 D．10或8
分析：本题要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长．
解析：如图①，由勾股定理，得BD＝＝＝8，CD＝＝＝2，
∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.
　　如图②，由勾股定理，得BD＝＝＝8，CD＝＝＝2，
∴BC＝BD－CD＝8－2＝6.
综上所述，BC的长为10或6.故选C.
例4　已知直角三角形的两边长x，y满足|x2－4|＋＝0，则第三边长为( D )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.或 D.，或
解析：∵|x2－4|＋＝0，∴x2－4＝0，(y－2)2－1＝0.
∴x＝2或－2(舍去)，y＝3或1.
①当直角三角形的两边长为2和3时，若两直角边的长分别是2，3，则第三边的长为＝；
若3为斜边长，则第三边的长为＝.
②当直角三角形的两边长为2和1时，若两直角边的长分别是2，1，则第三边的长为＝；
若2为斜边长，则第三边的长为＝.
综上所述，第三边的长为，或.故选D.
注意：解题时注意分类讨论思想的应用，考虑问题不全面就会导致漏解．
例1　如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，E为AC上一点，连接BE，DE，延长DE交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°.
(1)求证：DF⊥AB；
(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2＋b2＝c2.
证明：(1)∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°.
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL), ∴∠BAC＝∠EDC.
∵∠BAC＋∠ABC＝90°，∴∠EDC＋∠ABC＝90°.
∴∠BFD＝90°，∴DF⊥AB.
(2)由(1)知Rt△ABC≌Rt△DEC，DF⊥AB，∴EC＝BC＝a，DC＝AC＝b，DE＝AB＝c.
由阴影部分面积，得S△BCE＋S△ACD＝S△AED＋S△BED.
又AC⊥BD，DF⊥AB，∴a2＋b2＝c·AF＋c·BF＝c·(AF＋BF)＝c·AB＝c·c＝c2，
∴a2＋b2＝c2.
例2　勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．勾股定理具体内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
(1)关于勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图①②③中任选一种来证明该定理．(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)
　 　　　　 　　　
(2)解答下列各题：
①如图④⑤⑥，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有3个．
　 　　 　　　　　 　　　　
　　②在如图⑦所示的“勾股树”中，设大正方形M的边长为m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2＋b2＋c2＋d2＝m2.(结果用含m的代数式表示)
(3)如图⑧，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明．
解： (1)在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即 c2＝ab·4＋(b－a)2，化简得a2＋b2＝c2；
在图②中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即(a＋b)2＝c2＋ab·4，化简得a2＋b2＝c2；
在图③中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即(a＋b)(a＋b)＝ab·2＋c2，化简得a2＋b2＝c2.
(2)①解析：在图④中，S1＋S2＝a2＋b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3；
在图⑤中， S1＋S2＝π·(a)2＋π·(b)2＝π(a2＋b2)，S3＝π·(c)2＝πc2.
∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3；
在图⑥中，易得S1＋S2＝(a2＋b2)，S3＝c2.∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.
∴图④⑤⑥中面积关系满足S1＋S2＝S3的有3个．故答案为3.
(3)结论：S1＋S2＝S3.证明如下：
∵S1＋S2＝π·()2＋π·()2＋S3－π·()2，
∴S1＋S2＝π(a2＋b2－c2)＋S3.
∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.

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